Плоскость и прямая в пространстве.

Плоскость.

Рассмотрим в декартовом базисе произвольную плоскость Р и вектор нормали (перпендикулярный) к ней ` n (А, В, С). Возьмем в этой плоскости произвольную фиксированную точку М₀(х₀, у₀, z₀) и текущую точку М(х, у, z). Очевидно, что × `n = 0 (1.53)

(см.(1.20) при j = p /2). Это уравнение плоскости в векторной форме. Переходя к координатам, получим общее уравнение плоскости

А(х – х₀) + В(у – у₀) + С(z – z₀) = 0 Þ Ах + Ву + Сz + D = 0 (1.54).

( D = –Ах₀– Ву₀ – Сz₀; А² + В² + С² ¹ 0 ).

Можно показать, что в декартовых координатах каждая плоскость определяется уравнением первой степени и, обратно, каждое уравнение первой степени определяет плоскость, (т.е. плоскость есть поверхность первого порядка и поверхность первого порядка есть плоскость).

Рассмотрим некоторые частные случаи расположения плоскости, заданной общим уравнением:

А = 0 – параллельна оси Ох; В = 0 – параллельна оси Оу; С = 0 – параллельна оси Оz. (Такие плоскости, перпендикулярные одной из координатных плоскостей, называют проектирующими); D = 0 – проходит через начало координат; А = В = 0 – перпендикулярна оси Оz (параллельна плоскости хОу ); А = В = D = 0 – совпадает с плоскостью хОу (z = 0). Аналогично анализируются все остальные случаи.

Если D ¹ 0, то, разделив обе части (1.54) на - D, можно привести уравнение плоскости к виду: (1.55),

а = – D /А, b = –D/ В, с =–D /С. Соотношение (1.55) называетcя уравнением плоскости в отрезках; а, b, с – абсцисса, ордината и аппликата точек пересечения плоскости с осями Ох, Оу, Оz, а |a|, |b|, |c| – длины отрезков, отсекаемых плоскостью на соответствующих осях от начала координат.

Умножая обе части (1.54) на нормирующий множитель (mD < 0) получим нормальное уравнение плоскости:

xcosa + ycosb + zcosg – p = 0 (1.56)

где cosa = Аm, cosb = Вm, cosg = Сm – направляющие косинусы нормали к плоскости, р – расстояние до плоскости от начала координат.

Рассмотрим основные соотношения, используемые в расчетах. Угол между плоскостями А₁х + В₁у + С₁z + D₁ = 0 и А₂х + В₂у + С₂z + D₂ = 0 легко определить как угол между нормалями этих плоскостей `n₁ (А₁, В₁, С₁) и

`n₂ (А₂, В₂, С₂): (1.57)

Из (1.57) легко получить условие перпендикулярности

А₁А₂+ В₁ В₂ + С₁ С₂ = 0 (1.58)

и параллельности (1.59) плоскостей и их нормалей.

Расстояние от произвольной точки М₀(х₀, у₀, z₀) до плоскости (1.54)

определяется выражением: (1.60)

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки М₁(х₁, у₁, z₁), М₂(х₂, у₂, z₂), М₃(х₃, у₃, z₃) удобнее всего записать используя условие компланарности (1.25) векторов где М(х, у, z) – текущая точка плоскости.

(1.61)

Приведем уравнение пучка плоскостей (т.е. множества плоскостей, проходящих через одну прямую) – его удобно использовать в ряде задач.

(А₁х + В₁у + С₁z + D₁) + l(А₂х + В₂у + С₂z + D₂) = 0 (1.62)

Где l Î R, а в скобках - уравнениядвух любых плоскостей пучка.

Тесты

1. Какое из уравнений называют уравнением плоскости в отрезках?

1) Ах + Ву + Сz + D = 0;

2) ;

3) .

2. Условие перпендикулярности плоскостей имеет вид:

1) ;

2) ;

3) .

3. Угол между плоскостями определяется выражением:

1) ; 3) ;

2) ; 4) .

4. Какие из плоскостей – проектирующие?

1) 3х + 2у – 7 = 0; 3) 3х – 7z = 0;

2) 3х + 2у – 7z = 0; 4) -3х + 2у – 7z = 0.

5. Вектор нормали к плоскости = (0; 1; 0). Плоскость параллельна плоскости:

1) xOy; 2) xOz; 3) yOz.

Прямая.

Плоскости, нормали которых не коллинеарны, или пересекаются, однозначно определяя прямую как линию их пересечения, что и записывается следующим образом:

(1.63)

Через эту прямую можно провести бесконечно много плоскостей (пучок плоскостей (1.62)), в том числе и проектирующие ее на координатные плоскости. Чтобы получить их уравнения, достаточно преобразовать (1.63), исключив из каждого уравнения по одной неизвестной и приведя их, например, к виду (1.63`).

Поставим задачу – провести через точку М₀(х₀, у₀, z₀) прямую, параллельную вектору ` S (l, m, n) (его называют направляющим). Возьмем на искомой прямой произвольную точку М(х, у, z). Векторы и должны быть коллинеарны, откуда получаем канонические уравнения прямой.

(1.64) или (1.64`)

где cosa, cosb, cosg – направляющие косинусы вектора ` S. Из (1.64) легко получить уравнение прямой, проходящей через заданные точки М₁(х₁, у₁, z₁) и М₂(х₂, у₂, z₂) (она параллельна )

или (1.64``)

(Значения дробей в (1.64) равны для каждой точки прямой и могут быть обозначены через t, где t R. Это позволяет ввести параметрические уравнения прямой

Каждому значению параметра t соответствует набор координат х, у, z точки на прямой или (иначе) - значения неизвестных, удовлетворяющих уравнениям прямой).

Используя уже известные свойства векторов и операций над ними и канонические уравнения прямой легко получить следующие формулы:

Угол между прямыми: (1.65)

где ` S₁ и ` S₂ – направляющие векторы прямых.

Условие параллельности (1.66).

перпендикулярности l₁l₂ + m₁m₂ + n₁n₂ = 0 (1.67) прямых.

Угол между прямой и плоскостью (легко получить, найдя угол между прямой и нормалью к плоскости, составляющий в сумме с искомым p/2 )

(1.68)

Из (1.66) получаем условие параллельности Al + Bm + Cn = 0 (1.69)

и перпендикулярности (1.70) прямой и плоскости. Необходимое и достаточное условие нахождения двух прямых в одной плоскости легко получить из условия компланарности (1.25).