Смешанное (векторно – скалярное) произведение векторов.

Смешанным произведением векторов ` а, `b, `с называют скалярное произведение вектора ` а ´ `b на вектор ` с, т.е. `а`b`с = (`а ´ `b)`с (1.23)

Свойства смешанного произведения:

1) смешанное произведение равно нулю, если:

а) хоть один из перемножаемых векторов равен нулю;

б) два из перемножаемых векторов коллинеарны;

в) перемножаемые векторы компланарны.

2) смешанное произведение не изменится, если знаки векторного и скалярного произведения поменять местами, т.е (`а ´ `b)`с = `а (`b ´ `с).

3) смешанное произведение не меняется, если перемножаемые векторы переставлять в круговом порядке: ` а `b`с = `b`с`а = `с`а `b

4) при перестановке двух любых векторов смешанное произведение меняет знак: ` b`а `с = –`а `b`с; `с `b`а = –`а `b`с; `а `с`b = –`а `b`с

Если векторы заданы своими координатами, то: (1.24)

Условие компланарности векторов принимает вид:

(1.25)

(Компланарные вектора параллельны одной плоскости; векторное произведение двух векторов даст вектор, перпендикулярный этой плоскости и, соответственно, третьему вектору и их скалярное произведение будет равно нулю).

Объемы призмы V₁ и пирамиды V₂ построенных на ` а, `b, `с определятся так: V₁= |`а `b`с | и V₂ = 1 / 6 |`а `b`с | (1.26).

Тесты

1. Даны три вектора = (1; 2; -1); = (-2; 1; 3) и = (3; -1; 2). Смешанное произведение равно:

1) –32; 2) 14; 3) 48; 4) 32.

2. Даны точки А (3; 1; -1), В (0; 2; -4), С (-2; 1; 3) и Д (-5; 0; 7). Объем пирамиды АВСД численно равен:

1) 8; 2) ; 3) ; 4) –8.

3. Какие из векторов = (3; 1; -2); = (7; -3; 2); = (3; -7; 8), = (1; -1; 1) компланарны:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

4. Два соседних вектора в смешанном произведении поменяли местами. Что верно?

1) = ; 2) = - .

5. Векторы = (1; 2; 3), = (3; 4; 5) и = (5; 6; Х). Х =

1) –7; 2) –8; 3) 7; 4) 8.

5.5 Собственные значения и собственные векторы матрицы. Характеристическим уравнением матрицы называют уравнение = 0 (1.27)

Корни этого уравнения называют характеристическими числами (собственными значениями) матрицы.

Система уравнений , в которой l имеет одно из значений и определитель которой в силу этого равен нулю, определяет тройку чисел (х₁, х₂, х₃), соответствующую данному характеристическому числу. Эта совокупность чисел с точностью до постоянного множителя определяет ненулевой вектор , называемый собственным вектором матрицы. Таким образом, квадратная матрица 3-его порядка имеет три собственных значения и три собственных вектора. (В общем случае среди собственных значений могут быть и кратные (одинаковые), в том числе и комплексные и мнимые. Собственные значения симметрической матрицы- только действительные числа.) Векторы эти могут быть записаны в матричной форме, в виде вектора-столбца, где t – произвольное постоянное

число.

(1.28)

(Зачастую его удобнее использовать, чем уже привычный вектор-строку).

Пример: Найти собственные значения и собственные векторы матрицы: . Характеристическое уравнение матрицы примет вид: Раскроем определитель по элементам первой строки

Теперь можно найти собственные векторы матрицы

Используя (1.10) найдём

II.

(1) - разделим 3-ий столбец на 2, (2) - заменим строки столбцами, (3) - вычтем из 2-ой строки 1-ую, (4 - вычтем из 3-ей строки 2-ую, используя (1.10) найдём: .

III. Аналогично вычисляется собственный вектор и для .

Тесты

1. Характеристическим уравнением матрицы А= называют уравнение:

1) =0; 2) =0; 3) =0.

2. Дана матрица А= , ее характеристические числа:

1) 2; -3; -6; 2) –2; -3; 6; 3) 2; 3; 6; 4) –2; -3; -6.

3. А = собственные векторы равны:

1) (1; 1); 2) (1; -1); 3) (-1; 1); 4) (4; -5).

4. А = ; Собственные значения матрицы:

1) (Х; 3); 2) (Х; Х); 3) (3; 3).

5. Дана диагональная матрица А = ; Можно ли утверждать, что = t(1; 2; 3) – собственный вектор?

1) Да; 2) Нет.

5.6. Линейные (векторные) пространства. Линейные преобразования. Квадратичные формы.

Рассмотрим множество R элементов x, y, z, … для любых и которого определена сумма х+у и для любого действительного числа определено произведение

Если эти операции удовлетворяют условиям:

1. х+у = у+х;

2. х+(у+z) = (x+y)+z;

3. Существует такой элемент , (нуль- элемент) что х+0 = х для любого ;

4. Для каждого существует такой, что х+у = 0 (у = -х, т.е. х+(-х) =0);

5. ;

то множество называют линейным (или векторным) пространством, а его элементы x, y, z, … - векторами.

Очевидно, что множество геометрических векторов, рассмотренное ранее, является линейным пространством, а предложенное определение расширяет понятие вектора.

Линейная независимость векторов определяется через соотношение (1.15), рассмотренное ранее. Максимально возможное число n линейно независимых векторов называют размерностью этого пространства (обозначение: ) - его называют n -мерным и обозначают Rⁿ (рассматриваем конечномерные пространства). Любые n линейно независимых векторов в пространстве Rⁿ образуют базис в этом пространстве. По векторам базиса можно единственным образом разложить любой вектор пространства.

Линейные преобразования.

Говорят, что в линейном пространстве R задано преобразование А, если каждому вектору по некоторому правилу ставится в соответствие вектор А . Преобразование называют линейным, если для любых х и у и любого действительного числа выполняются равенства А(х+у)=Ах+Ау и А( х)= Ах (его можно рассматривать как линейное преобразование координат точки или вектора- переход к другим координатам). Пусть в пространстве R³ с базисом задано линейное преобразование А. Каждый из векторов можно единственным образом разложить по векторам базиса

матрица линейного преобразования А в базисе . (аналогично - в пространстве при ).

Действия над линейными преобразованиями сводятся к действиям над их матрицами. Например, если вектор переводится в вектор преобразованием А, а вектор переводится в вектор преобразованием В, это равносильно преобразованию С, переводящему вектор в вектор (его называют произведением составляющих преобразований).

Матрица этого линейного преобразования С = ВА.

Пример: Даны два линейных преобразования

и или и , где и

Искомое преобразование С определится произведением А и В

и .

Вид матрицы линейного преобразования определяется выбором базиса. Если за базис принять совокупность собственных векторов (см. 1.5.5), то матрица линейного преобразования принимает диагональный вид, причём на главной диагонали стоят собственные значения. Например, в R² это матрица , линейное преобразование: .

Квадратичные формы.

Квадратичной формой переменных х₁, х₂, …, х_n называют многочлен второй степени относительно этих переменных, не содержащий членов нулевой и первой степени.

При n=2

при n=3

А = , где a_ij = a_ji называют матрицей квадратичной формы . Матрица А симметрическая, собственные значения её- действительные числа.

Пусть нормированные собственные векторы в ортонормированном базисе е₁, е₂, е₃. Векторы также образуют ортонормированный базис. - матрица перехода о т базиса е₁, е₂, е₃ к базису . Формулы преобразования координат при переходе к новому ортонормированному базису примут вид:

Переходя к новым координатам получаем квадратичную форму не содержащую членов с произведениями переменных. Квадратичная форма приведена к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования. (Предполагалось, что среди собственных чисел матрицы А нет кратных. В случае, если они есть, задача решается немного сложнее).

Пример: Привести к каноническому виду уравнение линии 17х²+12ху+8у²=80. В левой части - квадратичная форма с матрицей . Найдём собственные значения: Матрица преобразования принимает вид квадратичная форма преобразуется к канонической, а уравнение линии к виду или - (каноническое уравнение эллипса).

Тесты

1. Даны две системы четырех действительных чисел: I (а; в; 0; 0), (с; d; 0; 0), (е; f; 0; 0) и II (а; в; 1; 1), (с; d; 1; 1), (е; f; 1; 1). (авсd – всевозможные действительные числа). Является хоть одна из них (если да, то какая) линейным пространством?

2. В линейном пространстве с базисом , дано линейное преобразование А. Какова матрица обратного преобразования А^-1, если А = , А = ?

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

3. Каноническая форма уравнения линии 4xy + 3y²+ 16 = 0 имеет вид:

1) ; 2) ; 3) .

Линия на плоскости. Прямая.

Всякая линия на плоскости представляет собой совокупность точек. Если известно аналитическое соотношение (формула), связывающее координаты любой (текущей) точки М(х, у), лежащей на этой линии, говорят – линия задана своим уравнением у = f (x) (в общем случае F(x, y) = 0 ).

Если в уравнение линии подставить координаты любой ее точки, то уравнение обратится в тождество.

Всякое уравнение первой степени (линейное) относительно х и у вида

Ах + Ву + С = 0 (1.29),

( А, В, С – постоянные величины, причем А²+ В² ¹ 0 ) определяет на плоскости некоторую прямую и называется общим уравнением прямой. Рассмотрим частные случаи:

1. А ¹ 0, В ¹ 0, С = 0. Очевидно, что Ах + Ву = 0 – уравнение прямой проходящей через начало координат.

2. А = 0, В ¹ 0, С ¹ 0. Уравнение (1.29) преобразуется к виду у = – С / В = b и определяет прямую параллельную оси Ох (При С = 0 => b = 0 и прямая совпадает с осью Ох )

3. А ¹ 0, В = 0, С ¹ 0. Уравнение (1.29) принимает вид х = – С /А = а и определяет прямую параллельную оси Оу (При С = 0 => a = 0 и прямая совпадает с осью Оу )

4. Если В ¹ 0, то, разрешив (1.29) относительно у, получим уравнение вида

у = кх + b (1.30)

( к = – А / В, b = – С / В ), называемое уравнением с угловым коэффициентом, ( к = tga, где a – угол между прямой и положительным направлением оси Oх. b – ордината точки пересечения прямой с осью Оу ).

5. Если в (1.29) С ¹ 0, то разделив обе части равенства на - С, получим уравнение вида (х / а) – (у / b) = 1 (1.31)

( а = – С/А; b = – С/В, называемое уравнением прямой в отрезках ( |a| и |b| – длины отрезков, отсекаемых на осях Ох и Оу от начала координат).

6. Умножив обе части (1.29) на (нормирующий множитель, знак которого выбирают из условия m С < 0 ) получим нормальное уравнение прямой х соs j + y sin j – p = 0 (1.32),

, где р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а j – угол между ним и осью Ох.

Используя предложенные формы уравнений прямой можно получить следующие соотношения:

Острый угол между прямыми у = к₁х + b₁, у = к₂х + b₂, определится по формуле: (1.33)

Из нее легко получить условие параллельности к₁ = к₂ (1.34)

и перпендикулярности к₂ = – 1 / к₁ (1.35) прямых.

Уравнение прямой, проходящей через точку М₀(х₀, у₀) под заданным углом a к оси Ох (с заданным угловым коэффициентом к = tga ) примет вид

у – у₀ = к (х – х₀) (1.36),

а уравнение прямой, проходящей через заданные точки М₁(х₁, у₁) и М₂(х₂, у₂).

(1.37)

Найти координаты точки пересечения прямых можно решив систему уравнений, определяющих эти прямые.

Расстояние от точки М₀(х₀, у₀) до прямой Ах + Ву + С = 0 определяется по формуле: (1.38)

Деление отрезка в данном отношении. Приведем еще одно соотношение, часто используемое в аналитической геометрии. Проведем прямую через точки А(х₁, у₁) и В(х₂, у₂). Всякая третья точка С(х, у) прямой делит отрезок АВ в некотором отношении l = ± АС / СВ (если точка С лежит внутри отрезка АВ, то l > 0, если вне, то l < 0 ). Координаты точки С определяются выражениями:

(1.39) ( l = 1, если точка С – середина отрезка).

Тесты

1. Общее уравнение прямой имеет вид:

1) ;

2) (А²+В²¹ 0);

3) y = kx + в;

4) .

2. Угол между прямыми определяется выражением:

1) ; 3) ;

2) ; 4) .

3. Условия перпендикулярности прямых:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

4. Уравнение прямой проходящей через данную точку М (х₀, y₀) с заданным угловым коэффициентом имеет вид:

1) y – y₀= k (x + x₀);

2) y – y₀= k (x - x₀);

3) y – х₀= k (x - у₀);

4) y₀ – х₀= k (у - x).

5. Уравнение прямой, проходящей через точки А(2; -3) и B(-2; 3) имеет вид:

1) ; 2) ; 3) .

Кривые второго порядка.

Общее уравнение кривой второго порядка на плоскости хОу имеет вид

Ах² + Вху + Су² + 2Дх + 2Еу + F = 0 (1.40)

(Порядок кривой определяется наивысшей степенью неизвестных, входящих в ее уравнение). Можно показать, что это уравнение описывает либо две пересекающиеся прямые, либо одну из следующих кривых: эллипс, гиперболу или параболу (включая вырожденные случаи). В любом случае кривую можно определить как геометрическое место точек, обладающих некоторым общим свойством. Используя преобразование координат (изменяя расположение кривой по отношению к осям координат) можно сделать так, чтобы в новых координатах уравнение кривой принимало наиболее простую и удобную для анализа форму. Рассмотрим последовательно кривые, именно так расположенные на плоскости хОу.

Эллипс. Окружность.

Эллипсом называют множество (геометрическое место) точек, суммы расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (ее обозначают через 2а ), причем эта величина больше расстояния между фокусами (его обозначают через 2с ).

Если фокусы эллипса размещаюся на оси Ох симметрично началу координат в точках F₁(c, 0) и F₂(-c, 0) (рис.1.7), то уравнение эллипса примет простейшую (каноническую) форму: (1.41)

где а и b – большая и малая полуоси эллипса, причем а, b, с связаны соотношением а² = b² + с². Форма эллипса (мера сжатия) характеризуется эксцентриситетом (1.42).

Очевидно, что 0 £ е £ 1; е = 1 при b = 0 и эллипс вырождается в отрезок длиной 2а; е = 0 при b = a, когда эллипс вырождается в окружность радиуса а.

Расстояния произвольной точки М(х, у) эллипса от его фокусов называются фокальными радиусами – векторами этой точки, обозначаются r₁ и r₂ и могут быть вычислены по формулам r₁ = а – ех (1.43) (правый радиус – вектор) и r₁ = а + ех (1.43`) (левый радиус – вектор).

При е = 0 (а = b = r) уравнение примет вид х² + у²= r² (1.44)

Это уравнение окружности – геометрического места точек равноудаленных от данной точки, называемой центром (в ней «сошлись» фокусы эллипса), с центром в начале координат. Уравнение окружности с центром в заданной точке С(а, b) примет вид (х – а)² + (у – b)² = r² (1.44`)

Гипербола. Гиперболой называется геометрическое место точек, абсолютная величина разности расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (ее обозначают через 2а ),

причем эта величина меньше расстояния между фокусами (ее обозначают через 2с ).

Если фокусы гиперболы расположены на оси Ох симметрично началу координат в точках F₁(с, 0) и F₂(–с, 0), уравнение гиперболы примет каноническую форму

(1.46), причем b² = c² – a² (1.47).

Гипербола состоит из двух ветвей и расположена симметрично относительно осей координат. Точки А₁(а, 0) и А₂(–а, 0) называются вершинами гиперболы (рис.1.8). Отрезки А₁А₂ = 2а и В₁В₂ = 2b называют действительной и мнимой осями гиперболы. Прямые (1.48) - наклонные асимптоты гиперболы.

(Прямая называется наклонной асимптотой кривой, если расстояние между этой прямой и точкой М(х, у) кривой стремится к нулю при стремлении х к ± ¥ (х ® ± ¥ ) ).

Величину (1.49) называют эксцентриситетом гиперболы. Очевидно, что 1 £ е < ¥; при b = 0 (е = 1) гипербола вырождается в две полупрямые, лежащие на оси Ох и разделенные промежутком (–а, а).

Фокальные радиусы – векторы определяются соотношениями:

Левая ветвь гиперболы	Правая ветвь гиперболы
r₁ = – ex + a	Правый	r₁ = ex – a	Правый	(1.50)
r₂ = – ex – a	Левый	r₂ = ex + a	Левый

При а = b (e = ) (такая гипербола называется равнобочной) асимптоты гиперболы – биссектрисы координатных углов.

Две гиперболы и , имеющие одни и те же оси и асимптоты (мнимая ось одной совпадает с действительной осью другой) называют сопряженными.

Парабола. Параболой называется геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.

Если фокус параболы в точке F(р/2, 0), а уравнение директрисы х = –р / 2, то уравнение параболы примет вид у² = 2рх (1.51).

Эта парабола симметрична относительно оси Ох и при р > 0 расположена как на рис. (1.9). х² = 2ру (1.51`) уравнение параболы, симметричной относительно оси Оу. Фокальный радиус – вектор параболы (1.51) определяется соотношением:

r = x + (p / 2) (p > 0) (1.52).

Тесты

1. Какое из уравнений описывает кривую второго порядка:

1) х + у + 7 = 0; 3) х²у + 7 = 0;

2) х² + у + 7 = 0; 4) ху + + 7 = 0.