Свойства симметрических матриц

Опред. Матрицу называют симметрической, если a_ij=a_ji. Для всех i, j.

Теорема. Собственные значения симметрической матрицы – действительные числа, собственные векторы – ортогональны.

Док. Ограничимся матрицей размерности 2. Имеем А= . Характеристическое уравнение имеет вид к²-(а₁₁+а₂₂)+(а₁₁а₂₂-а₁₂²)=0. Его дискриминант равен (а₁₁+а₂₂)²-4(а₁₁а₂₂-а₁₂²)= (а₁₁-а₂₂)²+4а₁₂² 0. А это значит – корни квадратного уравнения действительные числа.

Рассмотрим случай разных корней. Тогда по Виету имеем к₁+к₂= а₁₁+а₂₂, и к₁к₂= а₁₁а₂₂-а₁₂².С другой стороны для к₁ найдем собственный вектор ₁ из системы Как известно, в этой системе одно из уравнений лишнее, т.к. rancA=1. И потому мы отбросим, например, второе уравнение в системе и возьмем х₂=а₁₁-к₁. Тогда получим собственный вектор ₁=(-а₁₂а₁₁-к₁)^T. Из аналогичных рассуждений найдем ₂=(-а₁₂а₁₁-к₂)^T. Теперь вычислим их скалярное произведение ₁ ₂=а₁₂²+(а₁₁-к₁)(а₁₁-к₂)= а₁₂²+а₁₁²- а₁₁(а₁₁+ а₂₂)+ а₁₁а₂₂-а₁₂² =0.

Если же корни равны, то это происходит только тогда, когда одновременно а₁₂=0 и а₁₁- а₂₂=0. Но это может быть только если к₁= к₂ = а₁₁. Но тогда в качестве ₁ можно взять ₁=(1 0)^T, а в качестве ₂ можно взять ₂=(0 1)^T. И все равно они будут ортогональны.

Квадратичные формы и их приведение к каноническому виду

Пусть в ЛП размерности 2 задан =( х1 х2)T в нормированном евклидовом ортогональном базисе i, j.

Опред. Выражение ф(х1, х2)= а11х12+2а12 х1 х2 +а22х22=0 где aij - действительные числа, называют квадратичной формой двух переменных х1, х2. Ее можно записать иначе ф(х1, х2)= (а11х1+а12х2) х2+(а12 х1+а22х2)х2. Затем, используя умножение матрицы на вектор получить ф(х1, х2)= =(( ), )=(Ах, х), причем матрица А – симметрическая и, как известно, ее ее собственные векторы ортогональны. Пусть это будут векторы 1 и 2. Тогда их можно нормировать и принять в качестве базисных в ортонормированном евклидовом ЛП. Построим единичные векторы в новом базисе (базисе собственных векторов матрицы А). Получаем и - новые единичные. И в этом новом базисе вектор =( х’1 х’2)T. Но в этом случае и квадратичная форма примет новый вид ф(х1, х2)= (А(х’1 + х’2 ), х’1 + х’2 ). Но т.к. и - собственные для А, то получаем ф(х1, х2)=( (х’1 к1 + х’2 к2 ), х’1 + х’2 )= к1(х’1)2+ к2(х’2)2. Получен новый вид квадратичной формы, в котором отсутствует произведение текущих координат. Такой вид носит название – канонического вида квадратичной формы.

Т.о. в декартовом базисе собственных нормированных векторов матрицы квадратичной формы сама форма принимает канонический вид.

Остается важная задача: установить связь между координатами вектора =( х1 х2)T начального базиса i, j и координатами того же вектора

=( х’1 х’2)T в новом базисе нормированных собственных векторов матрицы квадратичной формы.

Мы имеем = х1i+х2j = х’1I+х’2J. Но I и J тоже векторы, правда единичной длины. И потому I=iCos +jCos(90- ), J= iCos +jCos(90+ ). Или после подстановки полученного вместо координат х’1, х’2 получим связь между старыми и новыми координатами = ( х’1 х’2)T, которая соответствует матрице поворота плоскости на некоторый угол.

Векторная алгебра

В этом разделе рассматриваются основные действия с векторами, изучаемыми в курсе математики технического ВУЗа и применяемыми в специальных дисциплинах.

2.1.Линейные операции над векторами

(Обзор и дополнения)

Определение. Вектором в математике принято называть направленный отрезок.

Обозначают вектор либо , либо , если использовать его начало А и конец В (порядок букв в записи не нарушать).

Вектор характеризуют направлением и длиной (модулем). Последний обозначают или просто АВ.

В приложениях векторной алгебры используют три вида векторов: сободные (только они изучаются в данном разделе), которые остаются неизменными при параллельном переносе; скользящие (физика), которые можно перемещать только вдоль их линии приложения и связанные (теоретическая механика), которые рассматривают только для точки их приложения.

Для свободных справедливо = , если точки А и С совпадают как и точки В и D. Фактически, это – определение равных векторов.(действие, операция равенства).

Договоримся (определим) называть суммой двух векторов вектор, соединяющий начало одного слагаемого с концом второго, при условии, что начало второго совпадает с концом первого(правило треугольника).

Можно определить сумму векторов по правилу параллелограмма. Первое определение оказывается более удобным при суммировании большого числа векторов. Оно же удобно при построении векторных диаграмм при расчете электрических цепей переменного тока.

Противоположными будем называть векторы, совпадающие своими концами, но направленные в разные стороны.

Если векторы расположены параллельно одной прямой, то их называют коллинеарными.

Произведением вектора на константу с называют вектор, модуль которого равен с и который коллинеарен вектору . При этом при положительном с направления и с совпадают, при отрицательном – направления противоположны.

Определение. Линейной комбинацией векторов называют выражение = + + +…+ . - некоторые действительные константы. Это - обобщение линейных операций.

Определение. Векторы называют линейно-независимыми, если их линейная комбинация равна нулю тогда и только тогда, когда все коэффициенты линейной комбинации равны нулю.

В противном случае векторы называют линейно-зависимыми. В этом случае один из них можно представить линейной комбинацией остальных, т.к. уравнение + + +…+ =0 оказывается разрешимым относительно вектора, перед которым записан ненулевой коэффициент.

Определение. Множество линейно-независимых ненулевых векторов называют векторным базисом.

В этом случае имеется возможность любой вектор, который не входит в базис представить линейной комбинацией базисных векторов. Коэффициенты такой линейной комбинации называют координатами вектора в данном базисе. Для пространства и плоскости такое действие в физике называют разложением вектора по направлениям составляющих векторов. В математике – разложением по базису (в базисе) Рис 2.1.

Рис 2.1. Разложение вектора в базисе и .

Если анализировать разложение на Рис 2.1, то видно, что = , а = из условия коллинеарности. И тогда по правилу параллелограмма при суммировании получаем = + = + - о чем и было сказано выше.

Наиболее простым и широко распространенным является декартов базис – три взаимно перпендикулярных вектора , , , такие что = = =1. Если с этими векторами связать соответственно координатные оси Ох, Оу, Oz и расположить их общее начало в точке О, то и будет получен декартов базис. Это очень удобно, т.к. термин “координаты векторa” в таком базисе совпадает с термином “координаты точки”. Следует быть осторожным в использовании этих терминов, т.к. оба они полностью совпадают только для радиуса-вектора , начало которого всегда в точке О. В новых терминах запишем обозначение вектора в декартовом базисе =a_x +a_y +a_z . Или в компактном виде

( a_x; a_y; a_z)

Используя разложение вектора в декартовом базисе (далее будем говорить – координатную форму вектора или просто координаты вектора), найдем модуль вектора как диагональ прямоугольного параллелепипеда = . А, используя действие умножения вектора на действительное число, получим единичный вектор направления вектора . Его обозначим . И он равен = (a_x +a_y +a_z )= Cos + Cos + Cos . Координаты единичного вектора называют направляющими косинусами. Направляющие косинусы обладают важным свойством

Cos² +Cos² +Cos² =1, т.к. сумма слева есть длина единичного вектора. Это свойство обобщает известное основное тригонометрическое тождество.

Отметим попутно важное практическое правило – линейные операции, выполняемые над векторами, эквивалентны тем же операциям, выполненным над соответствующими координатами векторов.

Это правило удобно применять, если возникает вопрос о том, будет ли данный набор векторов образовывать базис, а также при разложении вектора, заданного в декартовом базисе по произвольному базису из векторов, заданных своими декартовыми координатами.

Предыдущая 1 2 345 6 7 Следующая