Деление отрезка в данном отношении k.

Определение. Пусть дан отрезок АВ и точка М на нем или его продолжении. Говорят, сто М делит АВ в отношении к, если k= АМ/MB. При этом знак + берут, если векторы и сонаправлены и знак --, если противоположно направлены.

Решение задачи. Из определения следует соотношение =к . Но точно таким же соотношением связаны соответствующие координаты указанных векторов. Получаем из которой следуют формулы для вычисления координат делящей точки х_М= и т.д.

Получение единичного вектора данного направления . Дан вектор (а_х, а_у, a_z) – своими координатами. Найти вектор единичной длины и того же направления.

Решение. Интересующий нас вектор равен

= (a_x +a_y +a_z )= Cos + Cos + Cos .

Угол между векторами Cos ф= .

Проверка параллельности и перпендикулярности векторов.

Вычисление площадей многоугольников, разбиением их на треугольники и используя равенство из геометрической интерпретации векторного произведения. Имеем =0, 5 .

Расстояние от точки М_о(х_о; у_о) до прямой с вектором .

d= .Используя рисунок, видно, что числитель – это площадь,

а знаменатель – это основание параллелограмма со сторонами и .

Аналитическая геометрия.

Отличительной особенностью разделов аналитической геометрии является принцип манипулирования с формулами, истолковывая действия как геометрические преобразования некоторых геометрических объектов. Важно усвоить этот принцип и тогда решение задач принимает простой и интересный процесс.

Уравнения линий и поверхностей

Опред. Множество (совокупность, семейство) точек плоскости с введенной системой декартовых координат, координаты каждой из которых удовлетворяют уравнению F(x, y)=0, называют линия на плоскости, а само уравнение – уравнением этой линии.

Комментарий. Даже в случае отсутствия фактической линии в аналитической геометрии уравнение принято называть уравнением линии. Например, уравнение х2+у2+9=0 только внешне похоже на уравнение окружности, а фактически таковой не представляет. И тогда его называют уравнением мнимой окружности.

Следуя определению, можно рассматривать два типа задач:

1-й тип – дано уравнение и требуется изобразить линию;

2-й тип – дано описание линии и требуется по этому описанию составить(вывести, получить) уравнение линии.

Первый тип частично решен еще в школьном курсе и частично будет решаться в разделах 3 и 4. Второй тип решается всегда по одной и той же схеме:

1-й шаг – берем произвольную точку М(х; у) и предполагаем, что она принадлежит искомой линии;

2-й шаг – математическими средствами связываем координаты точки М и характеристики линии из ее описания и получаем уравнение линии.

В некоторых случаях вместо указанных двух этапов используют готовые шаблоны уравнений. Делают это если такие шаблоны есть в наличии (см. 6.2, 6.4).

Пример 6.1. Составить уравнение линии, каждая точка которой равноудалена от концов отрезка АВ, где А(-1; 0), В(3; 0).

Решение. Из геометрии известно, что искомая линия – серединный перпендикуляр. Получим его уравнение. Возьмем М(х; у). Пусть М принадлежит искомой линии. Тогда справедливо равенство АМ=ВМ. Фактически мы уже записали уравнение линии. Остается его преобразовать к виду F(x, y)=0. Известно, что АМ= . Аналогично ВМ= . Получаем = . Полученное гораздо ближе к требуемому. Остаетс преобразовать его и получить окончательно х=1.

Опред. Множество точек пространства с введенной системой координат, координаты каждой из которых удовлетворяют уравнению F(x, y, z)=0, называют поверхностью. А уравнение – уравнением поверхности в пространстве.

Для этого определения справедливы те же задачи, что и выше как и схема их решений.

Опред. Систему принято называть уравнениями линии в пространстве.

Как видим, для линии следует говорить ‘уравнения линии’.

Опред. Алгебраическими линиями(поверхностями) называют линии (в пространстве или на плоскости), уравнения которых представлены полиномами от переменных.

Опред. Порядок линии (поверхности) – это суммарная наивысшая степень переменных в каждом слагаемом полинома.

Предыдущая 1 2 3 4 567 Следующая