Скалярное произведение векторов
Термином (билинейные операции над векторами) иногда называют операции скалярного и векторного произведений двух векторов.
Определение. Скалярным произведением двух векторов
и
называют величину
Cosф, где ф – угол между векторами. Обозначения
или (
,
).
По этому определению двум векторам ставится в соответствие скаляр, который можно истолковать как работу постоянной по величине и направлению силы на прямолинейном участке пути.
Из определения вытекают простейшие свойства такого произведения.
1.
=
; 2. С(
)=(С
)
. 3. (
+
)
=
+
и 4.
=0
для ненулевых векторов, если векторы ортогональны (перпендикулярны).
Можно получить формулу для вычисления скалярного произведения,
если векторы заданы в координатной форме (своими координатами). Пусть
=ax
+ay
+az
и
=bx
+by
+bz
. Тогда
= ax bx +ay by +az bz. Т.к. при перемножении по свойству 3 с учетом определения остальные слагаемые будут равны нулю.
Из последнего соотношения следует, что
=
2.Читается – скалярный квадрат равен квадрату модуля.
Из определения и полученных соотношений вытекают другие формулы. Например, для проекции одного вектора на другой получаем
=
. Условие перпендикулярности векторов axbx+ayby+azbz=0.
2.3.Векторное произведение векторов
Определение. Векторным произведением двух векторов
и
называют вектор
, который:
-имеет модуль, равный произведению модулей перемножаемых векторов на синус угла меду ними -
=
sinф;
-ортогонален (перпендикулярен) каждому из векторов
и
(т.е. плоскости с векторами
и
);
-вместе с векторами
и
в порядке
,
,
образует правую тройку векторов. Обозначают векторное произведение
или [
,
].
Комментарий. Классическое понятие правой тройки векторов
,
,
в указанном порядке: если наблюдать с конца любого вектора поворот от следующего за ним к предыдущему в направлении против часовой стрелки, то тройка векторов правая. В противном случае – левая.
Примером правой тройки будет набор декартовых базисных векторов
,
,
. А в бытовом понятии правую тройку связывают с правым буравчиком (правой резьбой), когда при вращении по часовой стрелке буравчик (винт, гайка) продвигается вглубь от вращающего.
Т.к.
sinф, то геометрически определение говорит о том, что площадь параллелограмма, построенного на множителях
и
равна модулю вектора
.
![](https://konspekta.net/lektsiacom/baza5/5305410159531.files/image324.jpg)
К определению ![](https://konspekta.net/lektsiacom/baza5/5305410159531.files/image316.gif)
В качестве механической интерпретации векторного произведения может быть взят момент
силы
(постоянной по величине и направлению), приложенной к точке А относительно точки О. Вектор
направлен так, что образует правую тройку с перемножаемыми векторами и численно равен величине
Sinф.
![](https://konspekta.net/lektsiacom/baza5/5305410159531.files/image334.jpg)
Механическая интерпретация
.
Справедливы следующие свойства векторного произведения.
С1.Для коллинеарных векторов
и
справедливо
=0.
С2.
=
.
С3.
=l(
).
Координатная форма вычисления
. Пусть
=ax
+ay
+az
и
=bx
+by
+bz
. Тогда
=(ax
+ay
+az
)х(bx
+by
+bz
). Далее используем взаимное расположение векторов
,
,
и свойство 3 получим по определению
axbx
х
+aybx
х
+azbx
х
+aхbу
х
+aуby
х
+azbу
х
+ +axbz
х
+ay bz
х
+az bz
х
= (aхbу-aybx)
+( azbx- axbz)
+
+( ay bz - azbу)
=
. Полученная символическая формула не противоречит ни свойствам определителя о смене знака при смене местами параллельных рядов, ни свойству векторного произведения о смене знака при смене порядка множителей. Из нее получается простое правило проверки коллинеарности векторов – равенство отношений
(или пропорциональность координат).
2.4.Смешанное произведение векторов
Рассмотрим произведения трех векторов:
((
,
),
) – уже известное нам произведение скаляра на вектор – и потому ничего нового;
[[
,
],
] - двойное векторное произведение, которое имеет узкое приложение в механике;
([
,
],
) – векторно-скалярное (смешанное) произведение, которое имеет широкое применение в математике и приложениях.
Анализируя известное произведение [
,
] по Рис.2.2, можно получить геометрическую интерпретацию для смешанного произведения
([
,
],
). Модуль векторного произведения – площадь параллелограмма, построенного на векторах-множителях и равной
=½
½. Если теперь перемножить скалярно векторы
и
, то получим отрезок ОВ, равный высоте параллелепипеда, построенного на векторах-сомножителях
,
,
как на ребрах. Т.о., модуль ([
,
],
) численно равен объему параллелепипеда, построенного на векторах множителях.
![](https://konspekta.net/lektsiacom/baza5/5305410159531.files/image350.jpg)
К определению ([
,
],
)
Используя координатную форму векторного произведения, получаем координатную форму смешанного произведения
([
,
],
)=
( сx
+сy
+сz
)=(( aхbу - aybx )
+( azbx- axbz)
+( ay bz - azbу)
) ) ( сx
+сy
+сz
)=( aхbу - aybx ) сx +( azbx- axbz) сy +( ay bz - azbу) сz = =
. Если в последнем определителе переставим местами 1-ю и 3-ю строки, то определитель не изменится и мы получим более удобную запись координат перемножаемых векторов в порядке их следования в произведении.
Из последней формулы для вычисления смешанного произведения следует возможность проверки компланарности (параллельности одной плоскости) трех векторов – если ([
,
],
)=0, то векторы-множители компланарны. И следствием последнего равенства будет условие линейной зависимости трех векторов в пространстве.
2.5.Типовые задачи, решаемые средствами векторной алгебры
Популярное: