Построить сечение параллелепипеда по данным точкам

Построить сечение тетраэдра

1. Через указанные точки построить сечение

2. Построить сечение через отмеченные точки, параллельно ребру АД

3. Построить сечение, точки задать произвольно

Критерии оценки –5- 6 заданий – 3(удовл.)

7 заданий – 4 (хорошо)

8 -9 заданий – 5 (отлично)

Форма отчета -

выполняется проверочная контрольная работа по теме.

Самостоятельная работа №11

«Элементы комбинаторики»

Время выполнения -4 часа

Цель работы: закрепить умение вычислять перестановки, сочетания, размещения, решать комбинаторные задачи

Теоретический материал

Определение(перестановки). Перестановкой из n элементов называется упорядоченный набор, состоящий из n элементов, выбранных из данных n элементов, причем элементы в этом упорядоченном наборе не повторяются.

Определение(размещения без повторений). Размещением без повторений из n элементов по m элементов называется упорядоченный набор, состоящий из m элементов, выбранных из данных n элементов, причем элементы в этом упорядоченном наборе не повторяются.

Определение (сочетаний). Сочетанием из n элементов по m элементов называется неупорядоченный набор, состоящий из m элементов, выбранных из данных n элементов, причем элементы в этом неупорядоченном наборе не повторяются.

Пример: Сколько различных дробей можно составить из чисел: 4, 5, 7, 13?

Решение: т.к. каждая дробь состоит из двух чисел, числителя и знаменателя и порядок важен, применяем формулу размещения

Решите задачи

Задача 1. Сколькими способами можно расположить шесть разных книг в ряд на одной полке?

Задача 2. Алхимик использует семь ингредиентов для приготовления эликсира жизни. Сколько существует различных порядков вливания их в сосуд?

Задача 3. Сколько различных дробей можно составить из чисел: 2, 5, 9, 17?

Задача 4. Сколько пятизначных чисел без повторяющихся цифр можно записать, используя цифры 0, 1, 2, 3, 4?

Задача 5. Каждый их девяти человек обменялся рукопожатиями с восемью остальными. Сколько было рукопожатий?

Задача 6. На флагштоке 5 мест и 5 флагов (2 красных и 3 белых). Сколько различных сигналов можно изобразить, используя все флаги одновременно.

Задача 7. В шахматном кружке 12 юношей и 8 девушек. Для участия в соревнованиях из них нужно составить команду, в которую должны войти 9 юношей и 3 девушки. Сколькими способами это можно сделать?

Задача 8.Сколько «слов» можно получить, переставляя буквы в слове топот.

Задача 9. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составляются всевозможные пятизначные числа без повторяющихся цифр.

1. Сколько получится чётных и сколько нечётных чисел?

2. Сколько получится чисел кратных трём?

Задача 10. На собрании кооператива присутствуют 20 человек. Сколькими способами из присутствующих можно выбрать

а) правление в составе 5 человек

б) председателя правления, его заместителя, бухгалтера.

Задача 11. Из отряда солдат в 50 человек назначают в караул 4 человека. Сколькими способами это можно сделать?

Задача 12. На прямой отмечены 5 точек: А, В, С, Д, Е. Сколько отрезков определяют эти точки?

Задача 13. Сколькими способами группу из 12 юношей и 8 девушек можно разбить на две группы по 10 человек так, чтобы в каждой из образовавшихся групп, оказалось по 4 девушки?

Задача 14. Для приготовления коктейля используется 4 вида мороженого. Сколько различных коктейлей можно составить из 10 видов мороженого

Задача 15.Сколько «слов» можно получить, переставляя буквы в слове класс.

Задача 16. У мамы 2 яблока и 3 груши. Каждый день в течение 5 дней подряд она выдает по одному фрукту. Сколькими способами это может быть сделано?

Задача 17. Предприятие может предоставить работу по одной специальности 4 женщинами, по другой - 6 мужчинам, по третьей - 3 работникам независимо от пола. Сколькими способами можно заполнить вакантные места, если имеются 14 претендентов: 6 женщин и 8 мужчин?

Задача 18. Сколькими способами можно распределить купюру в 50 рублей, 3 купюры по 100 рублей, 3 купюры по 500 рублей и 4 купюры по 1000 рублей на пять человек?

Задача 19. Сколько чисел меньше 100 000 можно написать с помощью цифр 7 и 0?

Задача 20. В лифт сели 9 человек. Сколькими способами они могут выйти на 3-х этажах?

Дополнительно

Задача 1. Сколькими способами можно разделить колоду карт (36) пополам так, чтобы в каждой пачке было по 2 туза?

Задача 2. Сколько существует треугольников, длины сторон которых принимают одно из значений 4, 5, 6, 7?

Задача 3.Сколькими способами можно распределить 5 апельсинов, 4 банана, 1 яблоко, 1 грушу и 2 ананаса на 5 человек (людей различать)?

Задача 4.Сколькими способами можно составить набор (5 папок и 3 блокнота) из 8 различных папок и 10 различных блокнотов?

Задача 5.Для премии на математической олимпиаде выделено 3 экземпляра одной книги, 2 экземпляра другой и 1 экземпляр третьей книги. Сколькими способами могут быть вручены премии, если в олимпиаде участвовало 20 человек, и никому не дают двух экземпляров одной и той же книги, но могут быть вручены 2 или 3 различные книги?

Критерии оценки –10- 13 заданий – 3(удовл.)

14 – 17 заданий – 4 (хорошо)

18 -20 заданий – 5 (отлично)

Форма отчета -

выполняется проверочная контрольная работа по теме.

Самостоятельная работа №12

«Координаты и векторы»

Время выполнения -4 часа

Цель работы: повторить и углубить знания по теме «Векторы на плоскости», закрепить знания по теме «Векторы в пространстве»

Теоретический материал

Координаты вектора по координатам его начала и конца.

( )

Координаты середины отрезка по координатам его концов.

( )

Расстояние между двумя точками.

( )

Скалярное произведение векторов, косинус угла между векторами

Уравнение окружности данного радиуса с центром в донной точке и уравнение окружности с центром в начале координат.

Пример:

1.Лежит ли точка A(1; -3) на окружности, заданной уравнением

Решение: подставляем в уравнение окружности х=1, у=-3, получаем

1+36≠ 25 следовательно точка A(1; -3) не принадлежит окружности

2. Найдите длину вектора .

Решение:

3. Найдите расстояние между точками A(-2; 5) и B(2; 4).

Решение:

Задачи

1.Лежит ли точка A(2; -1) на окружности, заданной уравнением ?

2.Найдите длину вектора .

3.Найдите координаты середины отрезка PQ, если P(5; -3), Q(3; -7).

4. Напишите уравнение окружности, если ее центр – точка (4; 5), а радиус равен 3.

5. Найдите координаты вектора , если A(2; -5), B(-3; 4).

6. Напишите уравнение окружности с центром в начале координат, если она проходит через точку C(2; -1).

7. Найдите расстояние между точками A(-1; 3) и B(2; -1).

8.Найдите координаты вектора , равного сумме векторов и , если .

9.Лежит ли точка A(2; -1) на прямой, заданной уравнением 2x-3y-7=0.

10.Напишите уравнение окружности, если ее центр – точка (4; 5), а радиус равен 2.

11.Найдите координаты вектора , равного разности векторов и , если .

12.Напишите уравнение окружности с центром в точке P(-2; -1), если она проходит через точку Q(1; 3).

13.Найдите координаты вектора , если C(-1; 6), D(3; -2).

14.Найдите координаты вектора , если , а .

15. Даны координаты трех вершин параллелограмма KLMN: K(-4; 2), L(0; 5), M(12; 0). Найдите координаты четвертой вершины и периметр данного параллелограмма

16. Даны два вектора a(3; –2) и b(2; 3). Найдите длину вектора 3a – 2b.

17. На координатной плоскости заданы точки A(–1; 3), B(7; –5), C(3; 4). Найдите координаты вектора BC - AB/2 (в ответе укажите сумму координат).

18. Даны точки A(3; -1; 2), B(-1; 2; 1). Найти координаты векторов и .

19. Определить точку N, с которой совпадает конец вектора ={3; -1; 4}, если его начало совпадает с точкой М(1; 2; -3).

20. Определить начало вектора ={2; -3; -1}, если его конец совпадает с точкой (1; -1; 2).

21. Даны 3 вершины A(3, -4, 7), В(-5, 3, -2), С(1, 2, -3) параллелограмма АВСD. Найти его вершину D.

22. Даны 2 смежные вершины параллелограмма А(-2, 6), В(2, 8) и точка пересечения его диагоналей М(2, 2). Найти 2 его другие вершины.

23. На оси абсцисс найти тоску М, расстояние до которой от точки А(3, -3) равно 5.

24.На оси ординат найти точку М, равноудаленную от точек А(1, -4, 7) и

В(5, 6, -5).

Дополнительно

1. Даны вершины треугольника А(3, -1, 5). В(4, 2, -5), С(-4, 0, 3). Найти длину медианы, проведенной из вершины А.

2. Треугольник задан координатами своих вершин А(3, -2, 1), В(3, 1, 5), С(4, 0, 3). Вычислить расстояние от начала координат до точки пересечения медиан этого треугольника.

3. Отрезок с концами в точках А(3, -2) и В(6, 4) разделен на три равные части. Найти координаты точек деления.

4. Определить координаты концов отрезка, который точками С(2, 0, 2) и D(5, -2, 0) разделен на три равные части.

5. Даны точки А(1, -3, -2), В(8, 0, -4), С(4, 8, -3). Найти такую точку D, чтобы четырехугольник АВСD был параллелограммом.

Найдите сумму координат вектора

Найдите скалярное произведение векторов и .

Найдите квадрат длины вектора .

Найдите сумму координат вектора + .

10: Угол между векторами a и b составляет φ =2π /3, а их модули равны |a|=2 и |b|=3. Вычислить (5a + 3b) · (3a - 2b).

11. Даны вершины треугольника A(1, 2, 3), B(3, 4, 4), C(4, 8, 1). Определить угол между сторонами AB и AC.

12. Даны четыре точки А(0; 1; -1), В(1; -1; 2), С(3; 1; 0), Д(2; -3; 1) Найти косинус угла между векторами и

14. Даны три точки А(0; 1; -1), В(1; -1; 2), С(3; 1; 0) Найти косинус угла С треугольника АВС.

Критерии оценки –15- 18 заданий – 3(удовл.)

19 – 21 заданий – 4 (хорошо)

22 -24 заданий – 5 (отлично)

Форма отчета -

выполняется проверочная контрольная работа по теме.

Самостоятельная работа №13

«Уравнение прямой, плоскости, сферы»

Время выполнения -4 часа

Цель работы: повторить и закрепить знания по уравнению прямой, плоскости, сферы.

Теоретический материал

Уравнение прямой в прямоугольной системе координат Аx+Вy+С=0.

Уравнение прямой, проходящей через две точки А( х₁, у₁ ) и В( х₂, у₂ ):

Уравнение плоскости: А(х-х₀)+В(у-у₀)+С(z-z₀)=0

Уравнение сферы: (х-х₀)²+(у-у₀)²+(z-z₀)²=0

Пример:

1. Точки P₁, P₂, P₃, P₄, P₅ расположены на прямой ; их абсциссы соответственно равны числам 1; 0; 3; -1; -5. Определить ординаты этих точек.

Решение: х=1 3∙ 1-2у-6=0 -2у=3 у=-1, 5

х=0 3∙ 0-2у-6=0 -2у=6 у=-3

х=3 3∙ 3-2у-6=0 -2у=0 у=0

х=-1 3∙ (-)1-2у-6=0 -2у=9 у=4, 5

х=-5 3∙ (-5)-2у-6=0 -2у=21 у=10, 5

2.Найти уравнение прямой, проходящей через две точки: (-1, 3) и (2, 4).

Решение:

(у-3)∙ 5=(х+1) 5у-15=х+1 5у-х-16=0 -х+5у-16=0

Решить задачи

1. Определить, какие из точек M₁(3; 1), M₂(2; 3), M₃(6; 3), M₄(-3; -3), M₅(3; -1), M₆(-2; 1) лежат на прямой и какие на ней не лежат.

2. Точки P₁, P₂, P₃, P₄, P₅ расположены на прямой ; их абсциссы соответственно равны числам 4; 0; 2; -2; -6. Определить ординаты этих точек.

3. Точки Q₁, Q₂, Q₃, Q₄, Q₅ расположены на прямой ; их ординаты соответственно равны числам 1; 0; 2; -1, 3. Определить абсциссы этих точек.

4. Определить точки пересечения прямой с координатными осями и построить эту прямую на чертеже.

5. Найти точку пересечения двух прямых , .

6. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М₁(2: -3) параллельно прямой:

7. Определить угол между двумя прямыми:

8. Через точки M₁(-1; 2), M₂(2; 3) проведена прямая. Определить точки пересечения этой прямой с осями координат.

9. Через точки M₁(-1; 3), M₂(7; 3) проведена прямая. Определить точки пересечения этой прямой с осями координат.

10. Вычислить угловой коэффициент k прямой, проходящей через две данные точки: M₁(2; -5), M₂(3; 2);

11. Составить уравнение прямой и построить прямую на чертеже, зная ее угловой коэффициент k и отрезок b, отсекаемый ею на оси Oy:

12. Найти точку пересечения двух прямых , .

13. Стороны АВ, ВС и АС треугольника АВС даны соответственно уравнениями , , . Определить координаты его вершин

14. Составить уравнение прямой и построить прямую на чертеже, зная ее угловой коэффициент k и отрезок b, отсекаемый ею на оси Oy k=2/3, b=3; k=3, b=0;

15. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку M(3; -2) и параллельной оси ординат.

16. Найти уравнение прямой, проходящей через две точки: (-1, 2) и (2, 1).

17.Стороны треугольника заданы уравнениями: (AB) 2x + 4y + 1 = 0, (AC) x - y + 2 = 0, (BC) 3x + 4y -12 = 0. Найти координаты вершин треугольника.

18.Составить уравнение прямой, проходящей через две точки M₁(3; —2) и
М₂(5; 1).

19.Вершины треугольника находятся в точках А(—3; 2), B(1; 5) и С(5; —7). Написать уравнение медианы этого треугольника, проходящей через вершину А. Построить треугольник и медиану.

20. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку P₀(1; 4; 9) и нормалью n(5; -4; 8)

21. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку P₀(6; 7; 4) и нормалью n(4; -1; 9)

22. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку P₀(-6; 2; 1) и нормалью n(1; -1; 4)

23. Составить уравнение сферы, если координаты центра сферы А(2; 4; 7), точки, лежащей на сфере В(5; 3; -6

24. Составить уравнение сферы, если координаты центра сферы

А(1; -4; 2), точки, лежащей на сфере В(7; 1; -2)

Дополнительно

1. Составить уравнение сферы, если координаты центра сферы

А(0; 4; 10), точки, лежащей на сфере В(-7; 11; -2)

2. Найдите уравнение сферы радиуса R c центром А, если:

а) А(2; -4; 7), R=3 б) А(0; 0; 0), R= в) А(2; 0; 0), R=4

3. Найдите координаты центра и радиус сферы, заданной уравнением:

а) х²+у²+z²=49 б) (x-3)²+(y+2)²+z²=2

4. Докажите, что каждое из следующих уравнений является уравнением сферы. Найдите координаты центра и радиус этой сферы: а) х²-4х+у²+ z²=0 б) х²+у²+z²-2у=24 в) х²+у²+z²+2х=3

г) х²-х+у²+3у+z²-2z =2, 5

Критерии оценки –12- 16 заданий – 3(удовл.)

17 – 21 заданий – 4 (хорошо)

22 -24 заданий – 5 (отлично)

Форма отчета -

выполняется проверочная контрольная работа по теме.

1 2 3 45