Цель работы: закрепить умение решать задачи на проценты, расчет количества продуктов

Самостоятельная работа№1

« Действительные числа»

Время выполнения - 4 часа

Цель работы: повторить понятие числа, выполнять действия с действительными числами, сравнивать действительные числа, записывать в стандартном виде, изображать числа на числовой прямой.

Теоретический материал

Действительное число, вещественное число, любое положительное число, отрицательное число или нуль. Д. ч. разделяются на рациональные и иррациональные. Первые представимы как в виде рациональной дроби, т. е. дроби p/q, где р и q — целые, q =≠ 0, так и в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби, а вторые — только в виде бесконечной непериодической десятичной дроби.

Стандартный вид числа — это выражения вида a, bc... · 10^k, где a, b, c, ... — обычные цифры, причем a ≠ 0. Число k — целое.

Пример 1. Запишите число в стандартном виде:

1. 9280 → 9, 28. Сдвиг десятичной точки на 3 разряда влево, число уменьшилось (очевидно, 9, 28 < 9280). Результат: 9, 28 · 10³;

2. 0, 0081 → 8, 1. В этот раз сдвиг произошел вправо на 3 разряда, поэтому число увеличилось (8, 1 > 0, 0081). Результат: 8, 1 · 10^{− 3};

Пример 2. Сравните числа:

1. 8, 0382 · 10⁶ и 1, 099 · 10²⁵. Оба числа положительные, причем у первого степень десятки меньше, чем у второго (6 < 25). Значит, 8, 0382 · 10⁶ < 1, 099 · 10²⁵;

2. − 1, 0015 · 10^{− 8} и − 1, 001498 · 10^{− 8}. Снова отрицательные числа, причем степени десятки совпадают. Также совпадают и первые 4 разряда значащей части (1001 = 1001). На 5 разряде начинается отличие, а именно: 5 > 4. Поскольку исходные числа отрицательные, заключаем: − 1, 0015 · 10^{− 8} < − 1, 001498 · 10^{− 8}.

Выполнить задание

1. Пусть - положительное число. Сравните с нулем значение выражения: а) , б) , в) .

2. Пусть - положительное число. Сравните с нулем значение выражения: а) , б) , в) .

3. Пусть и . Сравните с нулем: а) , б) , в) .

Пусть и . Сравните с нулем: а) , б) , в) .

4. Пусть - произвольное число. Сравните с нулем значение выражения:

а) , б) , в) , г) .

5. Пусть - произвольное число. Сравните с нулем значение выражения:

а) , б) , в) , г) .

6. Из данных чисел -8; 2, 1; 7; 0, 2020020002…; ; 3, (6); ; 0; 201; ; -1 выпишите: а) натуральные числа; б) целые отрицательные числа; в) рациональные положительные числа; г) иррациональные числа.

7. Из данных чисел ; -205; -4, (31); 0, 3030030003…; 12; -5, 9; 0; ; 31; -1; выпишите: а) натуральные числа; б) целые неположительные числа; в) рациональные отрицательные числа; г) иррациональные числа.

8. Сравните числа:

а) 5, 73 и 5, (73); б) и 1, (39).

г) 1, (42) и 1, 42; д) и 3, (08).

9. Решите уравнение: 1) , 2) , 3) , 4) , 5) , 6) , 7) , 8) , 9) , 10) , 11) , 12) , 13) , 14) .

10. Запишите число в стандартном виде:

1) 82 500; 2) 0, 036; 3) 1 075 000; 4) 0, 0000098.

5) 82 500; 6) 0, 036; 7) 1 075 000; 8) 0, 093.

9) 52 000 000 10) 2 180 0000 11) 675 000 000

12) 40, 44 13) 0, 00281 14) 0, 0000035 15) 45 · 10³

16) 117 · 10⁵ 17). 0, 74 · 10⁶ 18). 0, 06 · 10⁵

11. Сравните числа:

1. 1, 76 · 10³ и 2, 5 · 10^{− 4};

2. 2, 215 · 10¹¹ и 2, 64 · 10¹¹;

3. − 1, 3975 · 10³ и − 3, 28 · 10⁴;

4. 1, 526 · 10⁴ и 2, 8 · 10^{− 4};

5. 2, 25 · 10⁹ и 2, 04 · 10⁹;

6. − 1, 497 · 10³ и − 3, 28 · 10³;

12. Изобразите на числовой оси следующие числа

3, 4; -1, 2; ; ; ; ; ; 3 ;

Форма отчета -

Критерии оценки – 6- 7 заданий – 3(удовл.)

8 – 9 заданий – 4 (хорошо)

10 -12 заданий – 5 (отлично)

выполняется проверочная контрольная работа по теме.

Самостоятельная работа №2

«Решение задач на проценты»

Время выполнения - 4 часа

Цель работы: закрепить умение решать задачи на проценты, расчет количества продуктов

Теоретическая часть

Процент – это сотая часть числа

Розничная цена общественного питания = стоимости приобретения

+ торговая надбавка (в % от стоимости приобретения)+торговая наценка (в % от стоимости + торговой надбавки)

Задача 1. Торговая база закупила у изготовителя партию альбомов и поставила ее магазину по оптовой цене, которая на 30% больше цены изготовителя. Магазин установил розничную цену на альбом на 20% выше оптовой. При распродаже в конце сезона магазин снизил розничную цену на альбом на 10%. На сколько рублей больше заплатил покупатель по сравнению с ценой изготовителя, если на распродаже он приобрел альбом за 70, 2 рубля?

Решение. Пусть а – цена изготовителя. Тогда оптовая цена 1 альбома 1, 3а, т.к. она больше цены изготовителя на 30%. Находим розничную цену альбома: она на 20% выше оптовой. Тогда в магазине 1 альбом стоит: 1, 3а·1, 2а = 1, 56а руб. При распродаже цена снизилась на 10%. т.е. на 0, 156а руб. Получаем цену альбома после снижения 1, 404а руб., а это составляет 70, 2 рубля.

Решая уравнение 1, 404а = 70, 2, находим, что цена изготовителя а равна 50 руб. Покупатель заплатил на 20, 2 руб больше по сравнению с ценой изготовителя.

Ответ. На 20, 2 рубля.

Задача 2. По пенсионному вкладу банк выплачивает 10% годовых. По истечении каждого года эти проценты капитализируется, т.е. начисленная сумма присоединяется к вкладу. На данный вид вклада был открыт счет в 50000 рублей, который не пополнялся и с которого не снимали деньги в течении 3-х лет. Какой доход был получен по истечении этого срока?

Решение. В конце первого года сумма составляет 55000 руб. Теперь начисляем 10 % от этой суммы и получаем сумму в конце второго года 60500 руб. Чтобы узнать весь доход за три года находим 110% от 60500, а это число равно 66550. Итак, по истечении всего срока доход составляет 16550 рублей.

Ответ. 16550 руб.

Задача 3. Женя за весну похудел на 20%, потом поправился за лето на 30%, за осень опять похудел на 20% и за зиму прибавил в весе 10%. Остался ли за этот год его вес прежним?

Решение. Если Женя весил х кг, то после уменьшения веса на 20% он стал весить 0, 8х кг, а после увеличения веса на 30% стал весить 0, 8х*1, 3 кг и т.д., в итоге Женя весил 0, 8х*1, 3*0, 8*1, 1, или 0, 9152х кг, что меньше х кг. Значит, Женя похудел. Ответ. Нет.

Решить задачи

Форма отчета -

Критерии оценки – 10- 13 заданий – 3(удовл.)

14 – 17 заданий – 4 (хорошо)

18 -20 заданий – 5 (отлично)

выполняется проверочная контрольная работа по теме.

Самостоятельная работа №3

«Комплексные числа»

Время выполнения - 4 часа

Цель работы: проверить знание определения комплексного числа, сопряженных чисел, умения находить действительную и мнимую части комплексного числа, применять правила сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел, определения равенства комплексных чисел, умение изображать комплексные числа в комплексной плоскости и производить операции над ними, решать квадратные уравнения с действительными коэффициентами.

Теоретический материал

Комплексные числа, числа вида а + iв, где а и в — действительные числа, а i — так называемая мнимая единица (число, квадрат которого равен —1); а называют действительной частью, а в — мнимой частью

К. ч. z = а+iв. Действительные числа — частный случай К. ч. (при в= 0);

К. ч., не являющиеся действительными, называют мнимыми числами;

при а = 0 К. ч. называют чисто мнимым. К. ч. z = а + iв и z = а - iв называют комплексно-сопряжёнными. Арифметические действия над К. ч. производятся по обычным правилам действий над многочленами с учётом условия i²=—1. Геометрически каждое К. ч. а + iв изображается точкой плоскости, имеющей прямоугольные координаты х и у.

Пример 1. Умножение: (1 – 2i)(3 + 2i) =
3 – 6i + 2i – 4i² = 3 – 6i + 2i + 4 = 7 – 4i.

Пример 2. Деление:

Задание 1.

Прочитайте каждое утверждение, если вы с ним согласны то в колонке ответов поставьте «+», если же вы не согласны с данным утверждением, поставьте « – » в колонке ответов.

Вариант 1

№п/п	Утверждения:	Ответ.
	Число является комплексным.
	Число а, такое что а² = – 2 является действительным.
	Число а, такое что а⁴ = 1 является действительным.
	0 – комплексное число.
	Число 3i является чисто мнимым.
	Действительная и мнимая части комплексного числа 3 – 2i соответственно равны 3 и 2.
	Действительная и мнимая части сопряженных чисел отличаются только знаками.
	Сопряженным для действительного числа является само это число.
	Если , то действительная часть числа z равна 0.

Вариант 2

№п/п	Утверждения:	Ответ.
	Число 5 является комплексным.
	Число а, такое что а² = 4 является действительным.
	Число а, такое что а⁸ = 1 является действительным.
	0 – мнимое число.
	Если а + bi является действительным, то b = 0
	Действительная и мнимая части комплексного числа – 3 + 2i соответственно равны – 3 и 2.
	Мнимые части сопряженных чисел отличаются только знаками.
	Если , то мнимая часть числа z равна 0.
	.

Задание 2.

Выполнить действия

№ п/п	Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3
	Даны числа: . Найдите: a) b) c) d) e)	Даны числа: . Найдите: a) b) c) d) e)	Даны числа: . Найдите: a) b) c) d) e)
	Для чисел найдите действительные числа а и b, для которых верно равенство	Для чисел найдите действительные числа а и b, для которых верно равенство .	Для чисел найдите действительные числа а и b, для которых верно равенство .
	Запишите z в алгебраической форме:	Запишите z в алгебраической форме:	Запишите z в алгебраической форме:

Задание 3.

Выполнить действие на координатной плоскости.

№ п/п	Вариант 1	Вариант 2
	Даны числа: . Найдите: a) b) c) z₂-z₁	Даны числа: . Найдите: a) b) c) z₂-z₁

Дополнительно

Вариант 1	Вариант 2
1. Разложите на линейные множители: a) b) c) d) e)	1. Разложите на линейные множители: a) b) c) d) e)
2. Решите уравнение: a) b) с)	2. Решите уравнение: a) b) c)

Критерии оценки – 13- 17 заданий – 3(удовл.)

18 – 21 заданий – 4 (хорошо)

22 -25 заданий – 5 (отлично)

Форма отчета -

выполняется проверочная контрольная работа по теме.

Самостоятельная работа №4

Корни, степени.

Время выполнения - 4 часа

Цель работы: закрепить свойства степени и свойства корня n-ой степени

Теоретический материал

Свойства степеней

Степенью числа a с натуральным показателем n называется произведение n множителей, каждый из которых равен a. Записывается aⁿ.

, где m Z, n N, n > 1, a > 0;

a⁰ = 1, где a ≠ 0.

Свойства степени с рациональным показателем:

Если a > 0, b > 0, p, q Q, то справедливы следующие свойства утверждения:

Корнем n-ой степени (n N, n > 1) из числа a называется такое число b, n-ая степень которого равна a, т.е. bⁿ = a.

Арифметическим корнем n-ой степени (n N, n > 1) из числа a называется неотрицательное число b, n-ая степень которого равна а.

Обозначение: .

Свойства корней:

Пример. Вычислить

Решение. Переведем смешанные и десятичные дроби в обыкновенные: и .

Пользуясь свойствами степеней, получим:

= .

Ответ: .

Пример 2. Вычислить

Решение. Упростим сначала выражение в числителе дроби

= 1 – 10 = – 9.

Упростим выражение в знаменателе дроби:

= 9 – 3 = 6.

Дробь равна = – 1, 5.

Ответ: – 1, 5.

Решить примеры

1. Вычислить .

2. Выполнить действия: а) ; б) .

3. Упростить выражение .

4.Вычислить .

5.Выполнить действия: а) ; б) .

6.Упростить выражение .

7.Вычислить .

8.Выполнить действия: а) ;

б) .

9.Упростить выражение .

10.Вычислить .

11.Выполнить действия: а) ;

б) .

12.Упростить выражение .

13.Вычислить .

14.Выполнить действия: а) ; б) .

15.Упростить выражение .

16. Вычислить .

17.Выполнить действия: а) ; б) .

18. Упростить выражение .

19. Вычислить .

20. Выполнить действия: а) ;

б) .

21. Упростить выражение .

22. Вычислить .

23. Выполнить действия: а) ;

б) .

24. Упростить выражение .

Критерии оценки – 12- 17 заданий – 3(удовл.)

18 – 21 заданий – 4 (хорошо)

22 -24 заданий – 5 (отлично)

Форма отчета - выполняется проверочная контрольная работа по теме.

Самостоятельная работа №5

«Логарифмы и их свойства»

Время выполнения - 4 часа

Цель работы: закрепить умение решать примеры, применяя определение и свойства логарифмов

Теоретический материал

Логарифмом числа по основанию (где , , ) - это степень, в которую нужно возвести число , чтобы получилось число . Обозначается .
Основное логарифмическое тождество.

Свойства логарифмов.
Если , , , , , то
,
,
,
,
,
.
Формула перехода к новому основанию.
Если , , , , , , то .
В частности,
Пример: Вычислить 1)

2) =- 2+6=4

1.Вычислить:

1) ; 2) 3) 4) ;

5) 6) 7) ; 8)

9) 10) ; 11)

12) 13) ; 14) 15)

16) ; 17) 18)

19) ; 20)

Пример: Прологарифмировать по основанию 2: 16а²(b⁵c)^1/2/3m

Решение: log₂(16a²(b⁵c)^1/2/3m) = log₂(16a²(b⁵c)^1/2) – log₂(3m) = log₂16 + log₂a² + log₂ (b⁵c)^1/2 – log₂ 3 – log₂m = 4 + 2log₂a + 5/2log₂b + 1/2log₂c – log₂3 – log₂m

Ответ: 4 + 2log₂a + 5/2log₂b + 1/2log₂c – log₂3 – log₂m.

Дополнительно.

Найти значения выражений используя свойства 1-5 логарифмов.

1.	19.
2.	20.
3.	21.
4.	22.
5.	23.
6.	24.
7.	25.
8.	26.
9.	27.
10.	28.
11.	29.
12.	30.
13.	31. Найти x, если:
14.	a)
15.	b)
16.	c)
17.	d)
18.	32. дано: найти:

33. Дано:

найти:

34. Дано:

найти:

35. Дано:

найти:

36. Найти значения выражений:

37. Вычислить: .

Критерии оценки – 15- 20 заданий – 3(удовл.)

21 – 27 заданий – 4 (хорошо)

28 -30 заданий – 5 (отлично)

Форма отчета - выполняется проверочная контрольная работа по теме.

Самостоятельная работа №6

«Показательная и логарифмическая функции»

Время выполнения - 4 часа

Цель работы: закрепить умение строить графики показательной и логарифмической функций, определять свойства функций.

Теоретический материал

Показательная функция.
Функция , где , называется показательной.
Ее область определения - это вся числовая ось, а множеством значений является множество положительных чисел.
График показательной функции.
Если , то функция является строго возрастающей.

Если же , то функция является строго убывающей.

Логарифмическая функция.
Функция , где , определена при , множество ее значений - вся числовая ось.

Показательная и логарифмическая функции являются взаимно обратными, то есть
,
.
График логарифмической функции.
Если , то функция является строго возрастающей.

Если же , то функция является строго убывающей.

Выполнить задание

Форма отчета -

выполняется проверочная контрольная работа по теме.

Самостоятельная работа №7

«Показательные уравнения и неравенства»

Время выполнения - 4 часа

Цель работы: закрепить умение решать показательные уравнения и неравенства

Теоретический материал

Решение показательных уравнений часто сводится к решению уравнения

а^х = а^b,

где а > 0, а ≠ 1, х – неизвестное. Это уравнение имеет единственный корень

х = b

Пример. Решить уравнение 4∙ 2^х = 1

Решение. Запишем уравнение в виде 2²2^х=2⁰, 2^х+2=2⁰,
х + 2 = 0, х = –2.

Ответ. х = –2.

Пример. Решить уравнение 2^3х∙ 3^х = 576.

Решение. Так как 2 ^3х= (2³)^х= 8^х, 576 = 24², то уравнение можно записать в виде 8^х ∙ 3^х = 24² или в виде 24^х= 24². Отсюда получаем х = 2.

Ответ. х = 2.

Пример. Решить уравнение 3^х+1 – 2∙ 3^{х - 2} = 25.

Решение. Вынося в левой части за скобки общий множитель 3^{х – 2}, получаем
3^{х – 2}∙ (3³ – 2) = 25 → 3^{х – 2}∙ 25 = 25, откуда 3^{х – 2} = 1, т.е. х – 2 = 0, х = 2.

Ответ. х = 2.

Пример. Решить уравнение 3^х = 7^х.

Решение. Так как 7^х ≠ 0, то уравнение можно записать в виде 3^х/7^х = 1, откуда (3/7)^х = 1, х = 0.

Ответ. х = 0.

Пример. Решить уравнение 9^х – 4∙ 3^х – 45 = 0.

Решение. Пусть 3^х = а а²– 4а – 45 = 0 а₁ = 9, а₂ = –5,

3^х = 9, 3^х = – 5 3^х = 9 х= 2, а уравнение 3^х = –5 не имеет корней, так как показательная функция не может принимать отрицательные значения.

Ответ. х = 2.

Решение показательных неравенств часто сводится к решению неравенств
а^х > а^b или а^х < а^b. Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции.

Пример. Решить неравенство 3^х < 81.

Решение. 3^х < 3⁴. Так как 3 > 1, то функция у = 3^х является возрастающей. Следовательно, при х < 4 выполняется неравенство 3^х < 3⁴ Ответ. х < 4.

Пример. Решить неравенство 16^х +4^х – 2 > 0.

Решение. Обозначим 4^х = t, тогда получим квадратное неравенство

t² + t – 2 > 0. Это неравенство выполняется при t < –2 и при t > 1. Так как

t = 4^х, то получим два неравенства 4^х< –2, 4^х> 1. Первое неравенство не имеет решений, так как 4^х> 0 при всех х? R. Второе неравенство запишем в виде 4^х> 4⁰, откуда х > 0. Ответ. х > 0.