Физический смысл производной.

Если функция y = f(x) и ее аргумент x являются физическими величинами, то производная – скорость изменения переменной y относительно переменной x в точке . Например, если S = S(t) – расстояние, проходимое точкой за время t, то ее производная – скорость в момент времени . Если q = q(t) – количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника в момент времени t, то – скорость изменения количества электричества в момент времени , т.е. сила тока в момент времени .

Геометрический смысл производной.

Пусть – некоторая кривая, – точка на кривой .

Любая прямая, пересекающая не менее чем в двух точках называется секущей.

Касательной к кривой в точке называется предельное положение секущей , если точка стремится к , двигаясь по кривой.

Из определения очевидно, что если касательная к кривой в точке существует, то она единственная

Рассмотрим кривую y = f(x) (т.е. график функции y = f(x)). Пусть в точке он имеет невертикальную касательную . Ее уравнение: (уравнение прямой, проходящей через точку и имеющую угловой коэффициент k).

По определению углового коэффициента , где – угол наклона прямой к оси .

Пусть – угол наклона секущей к оси , где . Так как – касательная, то при

⇒ ⇒ .

Следовательно,

Таким образом, получили, что – угловой коэффициент касательнойк графику функции y = f(x) в точке (геометрический смысл производной функции в точке). Поэтому уравнение касательной к кривой y = f(x) в точке можно записать в виде

Если функция f’ дифференцируема, то ее производную называют второй производной от f и обозначают f” :

f” = (f’)’

Физический смысл производной второго порядка проясняется из того, что если первая производная f’(x) задаёт мгновенную скорость изменения значений f(x) в момент времени x в момент времени f’(x) , задаёт мгновенную скорость изменения значений мгновенной скорости, то есть ускорение значений f(x) .

Следовательно, третья производная - это скорость изменения ускорения (или, что то же самое, ускорение изменения скорости, поскольку, как очевидно следует из определения,

задача 24

Пусть SO — перпендикуляр к плоскости α, а SA и SB — данные наклонные.

Обозначим АО = 2x. Так как AO: BO = 2: 3, то BO = 3х. Далее из прямоугольных треугольников AOS и BOS получаем:

25.Правила и формулы дифференцирования функций.

Если с - постоянное число, и u = u(x), v = v(x) - некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

1) (с) ' = 0, (cu) ' = cu';

2) (u+v)' = u'+v';

3) (uv)' = u'v+v'u;

4) (u/v)' = (u'v-v'u)/v^2;

5) если y = f(u),

u = j(x), т.е. y = f(j(x)) - сложная функция, или суперпозиция, составленная из дифференцируемых функцийj и f, то , или ;

6) если для функции y = f(x) существует обратная дифференцируемая функция x = g(y), причем ≠ 0, то .

Таблица производных

На основе определения производной и правил дифференцирования можно составить список табличных производных основных элементарных функций.

1. (u^m)' = m u^m-¹ u' (m принадлежит R¹)

2. (a^u)' = a^u lna× u'.

3. (e^u)' = e^u u'.

4. (log_au)' = u'/(u ln a).

5. (ln u)' = u'/u.

6. (sin u)' = cos u× u'.

7. (cos u)' = - sin u× u'.

8. (tg u)' = 1/ cos²u× u'.

9.(ctg u)' = - u' / sin²u.

10. (arcsin u)' = u' / .

11. (arccos u)' = - u' / .

12. (arctg u)' = u'/(1 + u²).

13. (arcctg u)' = - u'/(1 + u²).

задача 25

Пусть SA и SB - данные диагонали. Обозначим проекции АО = у, ОВ = х, х > у, так как SB > SA. Пусть SO — перпендикуляр к плоскости α. Тогда из двух прямоугольных треугольников AOS и BOS получаем:

26.Касательная. Уравнение касательной.

Касательная к графику дифференцируемой в точке х₀функции f — это прямая, проходящая через точку (x₀, f(x₀))и имеющая угловой коэффициент f '(х₀).

y = f(x ₀ ) + f '(х ₀ )(x - x ₀ )

Задача 26

Проведем ВЕ ⊥ CD. Тогда АВ = DE = 8 м, и

СЕ = CD - ED = 20 - 8 = 12 (м).

Далее в Δ BCE по теореме Пифагора получаем:

Проведем ВЕ ⊥ CD. Тогда АВ = DE = 8 м, и

СЕ = CD - ED = 20 - 8 = 12 (м).

Далее в Δ BCE по теореме Пифагора получаем:

27.Возрастания, убывание функций. Точки экстремума.

Определение возрастающей функции.

Функция y = f(x) возрастает на интервале X, если для любых и выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Определение убывающей функции.

Функция y = f(x) убывает на интервале X, если для любых и выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума.

Задача 27

Дополним усеченный конус до полного. Пусть КВ=а.

Из подобия конусов следует:

откуда

Полная площадь ведра состоит из площади основания

и боковой поверхности ведра, равной разности боковых поверхностей конусов:

Так что

Общее количество краски m=100⋅ S⋅ 150≈ 4300 (г)=4, 3 кг.

28.Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства.

Первообразной функции f(x) на промежутке (a; b) называется такая функция F(x), что выполняется равенство для любого х из заданного промежутка.

Неопределенный интеграл

где F - первообразная функции f (на промежутке); C - произвольная постоянная.

свойства неопределенного интеграла (свойства первообразной).

Производная результата интегрирования равна подынтегральной функции.

Неопределенный интеграл дифференциала функции равен сумме самой функции и произвольной константы.

, где k – произвольная константа.

Коэффициент можно выносить за знак неопределенного интеграла.

Неопределенный интеграл суммы/разности функций равен сумме/разности неопределенных интегралов функций.

29. Определённый интеграл и его геометрический смысл. Основные свойства. Формула Ньютона – Лейбница.

Читая эту формулу справа налево, находим

Геометрический смысл определенного интеграла. Если f(x) непрерывна и положительна на [a, b], то интеграл

представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y = 0, x = a, x = b, y = f(x) (см. рис. 5.).

2. где k - константа;

5. Если для всех , то .

8. Если в интервале [a, b], то

Формула Ньютона-Лейбница

Пусть функция f (x) непрерывна на замкнутом интервале [a, b]. Если F (x) - первообразная функции f (x) на[a, b], то

задача 29

Радиус шара равен радиусу цилиндра и половине высоте цилиндра. Тогда, если R — радиус цилиндра, то объем шара

а объем цилиндра

Тогда объем сточенного материала

А процентное соотношение:

30. Векторы на плоскости и в пространстве. Действия над векторами, заданными координатами.

Основные определения и обозначения для векторов в пространстве вводятся так же, как и для векторов на плоскости.

Вектором называется отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой - концом. Любая точка пространства рассматривается как нулевой вектор.

рис. 63

- нулевой вектор, обозначается

. Длина вектора

обозначается |

|. Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной или на параллельных прямых.

Пусть два ненулевых вектора и коллинеарны. Если при этом лучи АВ и СD сонаправлены, то и называются сонаправленными, а если эти лучи не являются сонаправленными, то векторы и называются противоположно направленными.

Нулевой вектор условимся считать сонаправленным с любым вектором. Запись означает, что векторы и сонаправлены, а запись - что векторы с и d противоположно направлены.

рис. 64

Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны. От любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один.

Действия над векторами, заданными координатами.

1. При сложении двух (или большего числа) векторов их соответственные координаты складываются:

(x₁; y₁; z₁) + (x₂; y₂; z₂) = (x₁ + x₂; y₁ + y₂; z₁ + z₂).

В самом деле, для двух векторов (x₁; y₁; z₁) и (x₂; y₂; z₂) имеем

(x₁; y₁; z₁) + (x₂; y₂; z₂) =

= (x₁ e ₁ + y₁ e ₂ + z₁ e ₃) + (x₂ e ₁ + y₂ e ₂ + z₂ e ₃) =

= (x₁ + x₂) e ₁ + ( y₁ + y₂) e ₂ + (z₁ + z₂) e ₃ =

= (x₁ + x₂; y₁ + y₂; z₁ + z₂).

Для суммы трех или большего числа векторов доказательство проводится аналогично.

2. При вычитании векторов их соответственные координаты вычитаются:

(x₁; y₁; z₁) — (x₂; y₂; z₂) = (x₁ — x₂; y₁ — y₂; z₁ — z₂)

Доказательство проведите самостоятельно.

3. При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.

В самом деле, для вектора (x₁; y₁; z₁) и числа λ, имеем

λ (x₁; y₁; z₁) = λ (x₁ e ₁ + y₁ e ₂ + z₁ e ₃) =

= ( λ x₁) e ₁+ ( λ y₁) e ₂ + ( λ z₁) e ₃ = ( λ x₁; λ y₁; λ z₁)

задача 30

31.Длина вектора, угол между векторами. Расстояние между двумя точками.

Длина вектора, модуль (абсолютная величина):

угол между векторами

углом между двумя векторами, отложенными от одной точки, называется кратчайший угол, на который нужно повернуть один извекторов вокруг своего начала до положения сонаправленности с другим вектором.

Расстояние d между точками A(x₁, y₁) и B(x₂, y₂) плоскости определяется по формуле:

32. Основные теоремы о параллельности прямой и плоскостью, параллельности двух плоскостей.

Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Если прямая a параллельна плоскости α, то пишут a || α.

Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек.

33.Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью. Перпендикулярность прямой и плоскости.

Угол между двумя прямыми равен углу между их направляющими векторами.

Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на данную плоскость.

Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой, которая лежит в данной плоскости и проходит через точку пересечения.

34 Двугранный угол. Угол между плоскостями. Перпендикулярность двух плоскостей

Двугранный угол — пространственная геометрическая фигура, образованная двумяполуплоскостями, исходящими из одной прямой, а также часть пространства, ограниченная этими полуплоскостями

Угол между плоскостями — это угол между перпендикулярами к линии их пересечения, проведенными в этих плоскостях.

35.Призма. Её элементы. Объем и площадь поверхности.

Призма — это многогранник, в основаниях которого лежат равные многоугольники, а боковые грани — параллелограммы.

Элементы призмы

Название	Определение	Обозначения на чертеже	Чертеж
Основания	Две грани, являющиеся конгруэнтными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях.	,
Боковые грани	Все грани, кроме оснований. Каждая боковая грань обязательно является параллелограммом.	, , , ,
Боковая поверхность	Объединение боковых граней.
Полная поверхность	Объединение оснований и боковой поверхности.
Боковые ребра	Общие стороны боковых граней.	, , , ,
Высота	Отрезок, соединяющий основания призмы и перпендикулярный им.
Диагональ	Отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани.
Диагональная плоскость	Плоскость, проходящая через боковое ребро призмы и диагональ основания.
Диагональное сечение	Пересечение призмы и диагональной плоскости. В сечении образуется параллелограмм, в том числе его частные случаи — ромб, прямоугольник, квадрат.
Перпендикулярное сечение	Пересечение призмы и плоскости, перпендикулярной ее боковому ребру.

§ Объём призмы равен произведению её высоты на площадь основания:

Площадь полной поверхности призмы равна сумме площади её боковой поверхности и удвоенной площади основания.

36.Параллелепипед. Его свойства. Объём и площадь поверхности.

Параллелепипед - многогранник, у которого шесть граней и каждая из них параллелограмм.

свойства

§ Параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали.

§ Любой отрезок с концами, принадлежащими поверхности параллелепипеда и проходящий через середину его диагонали, делится ею пополам; в частности, все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.

§ Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.

§ Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.

Прямой параллелепипед

Площадь боковой поверхности S_б=Р_о*h, где Р_о — периметр основания, h — высота

Площадь полной поверхности S_п=S_б+2S_о, где S_о — площадь основания

Объём V=S_о*h

1 2 345