Корни квадратного уравнения на множестве действительных чисел

Общая формула вычисления корней:

где — коэффициенты;

Подкоренное выражение называется дискриминантом

§ при корней два;

§ при корень один (в некоторых контекстах говорят также о двух равных или совпадающих корнях);

§ при корней на множестве действительных чисел нет.

[править]Корни квадратного уравнения при чётном коэффициенте b

Для уравнений вида ,
то есть при чётном
где
вместо формулы (1) для нахождения корней можно использовать эквивалентное выражение

Это выражение является более удобным для практических вычислений при чётном .

Задача 3

Проведем через АВ плоскость ABCD, параллельную ОО₁. Так как ABCD прямоугольник, то

В равнобедренном Δ AOD проведем OK⊥ AD, тогда AK= 0, 5⋅ AD= = 4(дм). Из Δ AOK

4, Неравенства с одной переменной второй степени.

Неравенствами второй степени с одной переменной называют неравенства вида ах²+ вх + с > 0 и ах²+ вх + с < 0, где х – переменная, а , в и с – некоторые числа, причем а ≠ 0

. алгоритм решения неравенств второй степени с одной переменной.

1. Рассмотреть функцию, соответствующую данному неравенству, определить направление ветвей параболы.
2. Найти нули функции, т.е. абсциссы точек пересечения параболы с осью х, если они есть.
3. Изобразить схематически параболу в координатной плоскости.
4. Выбрать нужные промежутки.
5. Записать ответ.

задача 4

Рассмотрим осевое сечение усеченного конуса. Им является равнобедренная трапеция ABCD с основаниями ВС = 2R₁ = 6 дм и AD = 2R₂ = 14дм. Далее, проведем BM⊥ AD и CK⊥ AD. Так что ВС = МК и ВМ = СК. Тогда

ВСКМ — прямоугольник. Δ ABM = Δ СКD, так что

В прямоугольном Δ AВМ

по теореме Пифагора получим:

НЕ ДОРЕШЕНА!!!!!!!!

5. Корень, его свойства.

Алгебраические выражения, содержащие операцию извлечения корня, называются иррациональными.

Корнем n-й степени из числа a называется такое число b, n-я степень которого равна a (n ≥ 2). Обозначается , где a - подкоренное выражение (или число), n - показатель корня (n ≥ 2; n ϵ N).

По определению , если bⁿ = a, или .

Основные свойства корня

Если корни рассматривать в множестве действительных чисел, то:
а) корень четной степени из положительного числа имеет два значения, равные по абсолютной величине и противоположные по знаку;
б) корень четной степени из отрицательного числа в множестве действительных чисел не существует;
в) корень нечетной степени из положительного числа имеет только одно действительное значение, которое положительно;
г) корень нечетной степени из отрицательного числа имеет только одно действительное значение, которое отрицательно;
д) корень любой натуральной степени из нуля равен нулю.

Действие, посредством которого отыскивается корень n-й степени из данного числа a, называется извлечением корня n-й степени из числа a, а результат извлечения корня в виде называют радикалом.

задача5

Объем стога сена = объем цилиндра радиуса 2, 5 и высотой 2, 2 + объем конуса радиуса основания 2, 5 и высотой 1, 8, поэтому

V=П⋅ R2⋅ (2, 2+1, 83)=17, 5⋅ П

Масса=плотность*объем, все выразим в одних единицах:

17, 5 м куб = 17, 5⋅ 1003 см куб,

масса = 0, 03⋅ 3, 14⋅ 17, 5⋅ 106
примерно 1, 65⋅ 106 грамм = 1, 65 тонн

6.Метод интервалов при решении неравенств.

Схема решения:

Найти область определения функции f(x);
Найти нули функции f(x);
На числовую прямую нанести область определения и нули функции. Нули функции разбивают ее область определения на промежутки, в каждом из которых функция сохраняет постоянный знак;
Найти знаки функции в полученных промежутках, вычислив значение функции в какой-либо одной точке из каждого промежутка;
Записать ответ.

Задача 6

В основании параллелепипеда лежит параллелограмм с площаВ основании параллелепипеда лежит параллелограмм с площадью

Далее, в Δ ABD по теореме косинусов:

Тогда в Δ BDD₁ по теореме Пифагора:

Поэтому

7) Степенная функция y= x^a, если а – целое число, свойства функции.

Степенной функцией с вещественным показателем aназывается функция y = x ⁿ, x > 0.

Заметим, что для натуральных n степенная функция определена на всей числовой оси.
Для произвольных вещественных n это невозможно, поэтому степенная функция с вещественным показателем определена только для положительных x.

К основным свойствам степенной функции y = x ^aпри a > 0 относятся:

Область определения функции - промежуток (0; + ).
Область значений функции - промежуток (0; + ).
Для любых a график функции проходит через точку (1; 1).
Функция строго монотонно возрастает в области определения функции, то есть, если x₁ < x₂ то a^r₁ < a^r₂.
График степенной функции при a > 0 изображен на рисунке.

К основным свойствам степенной функции y = x ^aпри a < 0 относятся:

Область определения функции - промежуток (0; + ).
Область значений функции - промежуток (0; + ).
Для любых a график функции проходит через точку (1; 1).
Функция строго монотонно возрастает в области определения функции, то есть, если x₁ < x₂ то a^r₁ > a^r₂.
График степенной функции при a < 0 изображен на рисунке.

Справедливы следующие свойства степенной функции:

x^a₁x^a₂ = x^a₁^{+ a}₂
x^a₁: x^a₂ = x^a₁^{- a}₂
(x^a₁)^a₂ = x^a₁^a₂
x^a₁ > x^a₂, x > 1, a₁ > a₂
x^a₁ < x^a₂, 0 < x < 1, a₁ < a₂

Задача7

Рассмотрим сечение, проведенное через центры шаров. Тогда линия пересечения шаров представляет собой окружность радиуса AH, где АН — высота в Δ ОAО₁, проведенная к стороне ОО₁

Площадь Δ OAO₁ равна

Но с другой стороны

так что

Далее, длина линии l = 2π AH = 2π ⋅ 20 = 40π (дм) = 4π (м).

Ответ: 4π м.

8.Числовая функция. Способы задания. График функций.

В математике числовая функция — это функция, области определения и значений которой являются подмножествами числовых множеств — как правило, множества вещественных чисел или множества комплексных чисел .

График функции

§ Пусть дано отображение . Тогда его гра́ фиком называется множество
,
где обозначает декартово произведение множеств и .

§ Графиком непрерывной функции является кривая на двумерной плоскости.

§ Графиком непрерывной функции является поверхность в трёхмерном пространстве.

Словесный

С помощью естественного языка

Игрек равно целая часть от икс.

Аналитический

С помощью формулы и стандартных обозначений

Графический

С помощью графика

Фрагмент графика функции

Табличный

С помощью таблицы значений

x
y

Задача 8

В прямоугольном Δ АОВ по теореме Пифагора:

Тогда площадь сечения

Ответ: 16π м².

9.Преобразование графиков функций (на примере функций y= x²).

Общий вид функции	Преобразования
	Параллельный перенос графика вдоль оси абсцисс на единиц § вправо, если ; § влево, если .
	Параллельный перенос графика вдоль оси ординат на единиц § вверх, если , § вниз, если .
	Симметричное отражение графика относительно оси ординат.
	Симметричное отражение графика относительно оси абсцисс.
	§ При — сжатие графика к оси ординат в раз, § при — растяжение графика от оси ординат в раз.
	§ При — растяжение графика от оси абсцисс в раз, § при — cжатие графика к оси абсцисс в раз.
	§ При — график остаётся без изменений, § при — график симметрично отражается относительно оси абсцисс.
	§ При — график остаётся без изменений, § при — график симметрично отражается относительно оси ординат.

Задача 9

Рассмотрим осевое сечение усеченного конуса. Тогда ABCD — равнобокая трапеция с основаниями BС = 2R₁ = 2 • 3 = 6(м) и AD = 2R₂ = 2 • 6 =12(м).

Далее, проведем BM⊥ AD и CK⊥ AD. ВСКМ — прямоугольник. Имеем ВМ = СК и Δ АВМ =Δ DCK. Поэтому

Далее, в прямоугольном Δ АВМ по теореме Пифагора:

НЕ ДОРЕШЕНА!!!!!!!!!!!!

10) Четность, нечетность функций. Периодичность. Возрастание и убывание функций. Ограниченность функций. Обратимая функция.

§ Нечётная функция — функция, меняющая знак при изменении знака независимого переменного (симметричная относительно центра координат).

§ Чётная функция — функция, не изменяющая своего значения при изменении знака независимого переменного (симметричная относительно оси ординат).

§ Индифферентная функция ^{[источник не указан 54 дня]} — функция, не обладающая симметрией. В эту категорию относят функции не подпадающие под предыдущие 2 категории.

Определения вводятся для любой симметричной относительно нуля области определения , например, отрезка или интервала.

§ Функция называется чётной, если справедливо равенство

§ Функция называется нечётной, если справедливо равенство

§ Если не выполняется ни одно из этих равенств, то функция называетсяиндифферентной^{[источник не указан 54 дня]}

(или функцией общего вида).

Периоди́ ческая фу́ нкция ― функция, повторяющая свои значения через какой-то ненулевой период, то есть не меняющая своего значения при добавлении к аргументу фиксированного ненулевого числа (периода). Формально говоря: если существует положительное число T> 0, такое что на всей области определения функции выполняется равенство f(x)=f(x+T). Наименьшее из этих чисел называется периодом функции.

Все тригонометрические функции являются периодическими.

функция f(x) называется возрастающей в интервале (a, b), если при возрастании аргумента x в этом интервале соответствующие значения функции f(x) также возрастают, т.е. если

f(x₂) > f(x₁) при x₂ > x₁.

ункция f (x) называется убывающей в интервале ( a, b ) если при возрастании аргумента x в этом интервале соответствующие значения функции f (x) убывают, т.е. если

f(x₂) < f(x₁) при x₂ > x₁.

Функция f(x) называется ограниченной на данном промежутке (a, b), если существуют некоторые числа m и M такие, что

m ≤ f(x) ≤ M


	Функция f(x) называется обратимой, если каждое свое значение она принимает один-единственный раз.

11. Решения уравнения x^a= b.

Задача 11

Диагональным сечением данной пирамиды является равнобокая трапеция АА₁С₁С.

Так как A₁С₁ и АС — диагонали квадратов, A₁B₁C₁D₁ и ABCD, то

Проведем A₁K⊥ AC и C₁H⊥ AC. Тогда А₁С₁HK — прямоугольник и А₁С₁ = КН. Так что, прямоугольные треугольники АА₁К и СС₁Н равны по гипотенузе и катету.

Тогда,

и по теореме Пифагора в Δ А₁СК:

Тогда

Ответ: 6 см.

12. Степень и её свойства.

Определение степени.

Степенью числа a с натуральным показателем n, большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен а. Степенью числа а с показателем 1 называется само число а.

aⁿ a^m = a^{n + m}

a^m: aⁿ = a^{m – n}

( a^m) ⁿ= a ^{m n}

(a b) ⁿ = a ⁿbⁿ

Задача 12

Пусть ABCD - квадрат, лежащий в основании пирамиды, S - ее вершина, Е - середина стороны АВ, а О - проекция вершины пирамиды на плоскость основания.

Площадь основания равна разности полной и боковой поверхностей пирамиды. В данном случае она равна So = Sп - Sб = 18 - 14, 76 = 3, 24 м²

Тогда сторона основания a = АВ = √ 3, 24 = 1, 8 м

Площадь боковой грани Sбг = Sб / 4 = 14, 76 / 4 = 3, 69 м²

Высота боковой грани h = SE = 2 * Sбг / a = 2 * 3, 69 / 1, 8 = 4, 1 м

Тогда по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника SOE находим высоту пирамиды

Н = SO = √ (SE² -OE² ) = √ (h² -(a/2)² ) = √ (4, 1² -0, 9² ) = √ 16 = 4 м.

НЕ ДОРЕШЕНА

13.Логарифмы и их свойства.

Логарифм- это показатель степени

Свойства логарифмов

Из определения логарифма вытекают следующие его свойства. Пусть a > 0, a ≠ 0. Тогда:

1. Если x > 0 и y > 0, то
Например,

2. Если x > 0 и y > 0, то
Например,

3. Если x > 0, то
Например,

4. Если b > 0, b ≠ 1, x > 0, то
Например, Эта формула называется формулой перехода к новому основанию.

5. Если x > 0, то

задача 13

Высота правильной пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания. Так как основание данной пирамиды — квадрат, то О — точка пересечения диагоналей.

Так что

Далее, в прямоугольном Δ SOC по теореме Пифагора находим

Ответ: 9 см.

НЕ ДОРЕШЕНА!!!!!!!!!!!!

14.Показательная функция, её график и свойства.

Функция вида называется показательной функцией.

Замечание. Исключение из числа значений основания a чисел 0; 1 и отрицательных значений aобъясняется следующими обстоятельствами:

a = 0	Выражения вида 0^x определено при x > 0 и в этом случае тождественно равно нулю.
a = 1	Выражение 1^x определено при всех x, имеет постоянное значение (тождественно единице).
a < 0	Возможно возведение в целую степень или в рациональную степень с нечётным знаменателем.

Само аналитическое выражение a^x в указанных случаях сохраняет смысл и может встречаться в решении задач. Например, для выражения x^y точка x = 1; y = 1входит в область допустимых значений.

Построить графики функций: и .

123 4 5