Квадратные уравнения. Полные и неполные. Решение квадратных уравнений по формуле.

Квадратные уравнения. Полные и неполные. Решение квадратных уравнений по формуле.

Квадра́ тное уравне́ ние — алгебраическое уравнение общего вида

где — свободная переменная, , , — коэффициенты, причём

Коэффициент называется свободным членом этого уравнения.

Корни квадратного уравнения на множестве действительных чисел

Общая формула вычисления корней:

где — коэффициенты;

Подкоренное выражение называется дискриминантом

§ при корней два;

§ при корень один (в некоторых контекстах говорят также о двух равных или совпадающих корнях);

§ при корней на множестве действительных чисел нет.

[править]Корни квадратного уравнения при чётном коэффициенте b

Для уравнений вида ,
то есть при чётном
где
вместо формулы (1) для нахождения корней можно использовать эквивалентное выражение

Это выражение является более удобным для практических вычислений при чётном .

Задача 3

Проведем через АВ плоскость ABCD, параллельную ОО₁. Так как ABCD прямоугольник, то

В равнобедренном Δ AOD проведем OK⊥ AD, тогда AK= 0, 5⋅ AD= = 4(дм). Из Δ AOK

4, Неравенства с одной переменной второй степени.

Неравенствами второй степени с одной переменной называют неравенства вида ах²+ вх + с > 0 и ах²+ вх + с < 0, где х – переменная, а , в и с – некоторые числа, причем а ≠ 0

. алгоритм решения неравенств второй степени с одной переменной.

1. Рассмотреть функцию, соответствующую данному неравенству, определить направление ветвей параболы.
2. Найти нули функции, т.е. абсциссы точек пересечения параболы с осью х, если они есть.
3. Изобразить схематически параболу в координатной плоскости.
4. Выбрать нужные промежутки.
5. Записать ответ.

задача 4

Рассмотрим осевое сечение усеченного конуса. Им является равнобедренная трапеция ABCD с основаниями ВС = 2R₁ = 6 дм и AD = 2R₂ = 14дм. Далее, проведем BM⊥ AD и CK⊥ AD. Так что ВС = МК и ВМ = СК. Тогда

ВСКМ — прямоугольник. Δ ABM = Δ СКD, так что

В прямоугольном Δ AВМ

по теореме Пифагора получим:

НЕ ДОРЕШЕНА!!!!!!!!

5. Корень, его свойства.

Алгебраические выражения, содержащие операцию извлечения корня, называются иррациональными.

Корнем n-й степени из числа a называется такое число b, n-я степень которого равна a (n ≥ 2). Обозначается , где a - подкоренное выражение (или число), n - показатель корня (n ≥ 2; n ϵ N).

По определению , если bⁿ = a, или .

Основные свойства корня

Если корни рассматривать в множестве действительных чисел, то:
а) корень четной степени из положительного числа имеет два значения, равные по абсолютной величине и противоположные по знаку;
б) корень четной степени из отрицательного числа в множестве действительных чисел не существует;
в) корень нечетной степени из положительного числа имеет только одно действительное значение, которое положительно;
г) корень нечетной степени из отрицательного числа имеет только одно действительное значение, которое отрицательно;
д) корень любой натуральной степени из нуля равен нулю.

Действие, посредством которого отыскивается корень n-й степени из данного числа a, называется извлечением корня n-й степени из числа a, а результат извлечения корня в виде называют радикалом.

задача5

Объем стога сена = объем цилиндра радиуса 2, 5 и высотой 2, 2 + объем конуса радиуса основания 2, 5 и высотой 1, 8, поэтому

V=П⋅ R2⋅ (2, 2+1, 83)=17, 5⋅ П

Масса=плотность*объем, все выразим в одних единицах:

17, 5 м куб = 17, 5⋅ 1003 см куб,

масса = 0, 03⋅ 3, 14⋅ 17, 5⋅ 106
примерно 1, 65⋅ 106 грамм = 1, 65 тонн

6.Метод интервалов при решении неравенств.

Схема решения:

Найти область определения функции f(x);
Найти нули функции f(x);
На числовую прямую нанести область определения и нули функции. Нули функции разбивают ее область определения на промежутки, в каждом из которых функция сохраняет постоянный знак;
Найти знаки функции в полученных промежутках, вычислив значение функции в какой-либо одной точке из каждого промежутка;
Записать ответ.

Задача 6

В основании параллелепипеда лежит параллелограмм с площаВ основании параллелепипеда лежит параллелограмм с площадью

Далее, в Δ ABD по теореме косинусов:

Тогда в Δ BDD₁ по теореме Пифагора:

Поэтому

7) Степенная функция y= x^a, если а – целое число, свойства функции.

Степенной функцией с вещественным показателем aназывается функция y = x ⁿ, x > 0.

Заметим, что для натуральных n степенная функция определена на всей числовой оси.
Для произвольных вещественных n это невозможно, поэтому степенная функция с вещественным показателем определена только для положительных x.

К основным свойствам степенной функции y = x ^aпри a > 0 относятся:

Область определения функции - промежуток (0; + ).
Область значений функции - промежуток (0; + ).
Для любых a график функции проходит через точку (1; 1).
Функция строго монотонно возрастает в области определения функции, то есть, если x₁ < x₂ то a^r₁ < a^r₂.
График степенной функции при a > 0 изображен на рисунке.

К основным свойствам степенной функции y = x ^aпри a < 0 относятся:

Область определения функции - промежуток (0; + ).
Область значений функции - промежуток (0; + ).
Для любых a график функции проходит через точку (1; 1).
Функция строго монотонно возрастает в области определения функции, то есть, если x₁ < x₂ то a^r₁ > a^r₂.
График степенной функции при a < 0 изображен на рисунке.

Справедливы следующие свойства степенной функции:

x^a₁x^a₂ = x^a₁^{+ a}₂
x^a₁: x^a₂ = x^a₁^{- a}₂
(x^a₁)^a₂ = x^a₁^a₂
x^a₁ > x^a₂, x > 1, a₁ > a₂
x^a₁ < x^a₂, 0 < x < 1, a₁ < a₂

Задача7

Рассмотрим сечение, проведенное через центры шаров. Тогда линия пересечения шаров представляет собой окружность радиуса AH, где АН — высота в Δ ОAО₁, проведенная к стороне ОО₁

Площадь Δ OAO₁ равна

Но с другой стороны

так что

Далее, длина линии l = 2π AH = 2π ⋅ 20 = 40π (дм) = 4π (м).

Ответ: 4π м.

8.Числовая функция. Способы задания. График функций.

В математике числовая функция — это функция, области определения и значений которой являются подмножествами числовых множеств — как правило, множества вещественных чисел или множества комплексных чисел .

График функции

§ Пусть дано отображение . Тогда его гра́ фиком называется множество
,
где обозначает декартово произведение множеств и .

§ Графиком непрерывной функции является кривая на двумерной плоскости.

§ Графиком непрерывной функции является поверхность в трёхмерном пространстве.

Словесный

С помощью естественного языка

Игрек равно целая часть от икс.

Аналитический

С помощью формулы и стандартных обозначений

Графический

С помощью графика

Фрагмент графика функции

Табличный

С помощью таблицы значений

x
y

Задача 8

В прямоугольном Δ АОВ по теореме Пифагора:

Тогда площадь сечения

Ответ: 16π м².

9.Преобразование графиков функций (на примере функций y= x²).

Общий вид функции	Преобразования
	Параллельный перенос графика вдоль оси абсцисс на единиц § вправо, если ; § влево, если .
	Параллельный перенос графика вдоль оси ординат на единиц § вверх, если , § вниз, если .
	Симметричное отражение графика относительно оси ординат.
	Симметричное отражение графика относительно оси абсцисс.
	§ При — сжатие графика к оси ординат в раз, § при — растяжение графика от оси ординат в раз.
	§ При — растяжение графика от оси абсцисс в раз, § при — cжатие графика к оси абсцисс в раз.
	§ При — график остаётся без изменений, § при — график симметрично отражается относительно оси абсцисс.
	§ При — график остаётся без изменений, § при — график симметрично отражается относительно оси ординат.

Задача 9

Рассмотрим осевое сечение усеченного конуса. Тогда ABCD — равнобокая трапеция с основаниями BС = 2R₁ = 2 • 3 = 6(м) и AD = 2R₂ = 2 • 6 =12(м).

Далее, проведем BM⊥ AD и CK⊥ AD. ВСКМ — прямоугольник. Имеем ВМ = СК и Δ АВМ =Δ DCK. Поэтому

Далее, в прямоугольном Δ АВМ по теореме Пифагора:

НЕ ДОРЕШЕНА!!!!!!!!!!!!

10) Четность, нечетность функций. Периодичность. Возрастание и убывание функций. Ограниченность функций. Обратимая функция.

§ Нечётная функция — функция, меняющая знак при изменении знака независимого переменного (симметричная относительно центра координат).

§ Чётная функция — функция, не изменяющая своего значения при изменении знака независимого переменного (симметричная относительно оси ординат).

§ Индифферентная функция ^{[источник не указан 54 дня]} — функция, не обладающая симметрией. В эту категорию относят функции не подпадающие под предыдущие 2 категории.

Определения вводятся для любой симметричной относительно нуля области определения , например, отрезка или интервала.

§ Функция называется чётной, если справедливо равенство

§ Функция называется нечётной, если справедливо равенство

§ Если не выполняется ни одно из этих равенств, то функция называетсяиндифферентной^{[источник не указан 54 дня]}

(или функцией общего вида).

Периоди́ ческая фу́ нкция ― функция, повторяющая свои значения через какой-то ненулевой период, то есть не меняющая своего значения при добавлении к аргументу фиксированного ненулевого числа (периода). Формально говоря: если существует положительное число T> 0, такое что на всей области определения функции выполняется равенство f(x)=f(x+T). Наименьшее из этих чисел называется периодом функции.

Все тригонометрические функции являются периодическими.

функция f(x) называется возрастающей в интервале (a, b), если при возрастании аргумента x в этом интервале соответствующие значения функции f(x) также возрастают, т.е. если

f(x₂) > f(x₁) при x₂ > x₁.

ункция f (x) называется убывающей в интервале ( a, b ) если при возрастании аргумента x в этом интервале соответствующие значения функции f (x) убывают, т.е. если

f(x₂) < f(x₁) при x₂ > x₁.

Функция f(x) называется ограниченной на данном промежутке (a, b), если существуют некоторые числа m и M такие, что

m ≤ f(x) ≤ M


	Функция f(x) называется обратимой, если каждое свое значение она принимает один-единственный раз.

11. Решения уравнения x^a= b.

Задача 11

Диагональным сечением данной пирамиды является равнобокая трапеция АА₁С₁С.

Так как A₁С₁ и АС — диагонали квадратов, A₁B₁C₁D₁ и ABCD, то

Проведем A₁K⊥ AC и C₁H⊥ AC. Тогда А₁С₁HK — прямоугольник и А₁С₁ = КН. Так что, прямоугольные треугольники АА₁К и СС₁Н равны по гипотенузе и катету.

Тогда,

и по теореме Пифагора в Δ А₁СК:

Тогда

Ответ: 6 см.

12. Степень и её свойства.

Определение степени.

Степенью числа a с натуральным показателем n, большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен а. Степенью числа а с показателем 1 называется само число а.

aⁿ a^m = a^{n + m}

a^m: aⁿ = a^{m – n}

( a^m) ⁿ= a ^{m n}

(a b) ⁿ = a ⁿbⁿ

Задача 12

Пусть ABCD - квадрат, лежащий в основании пирамиды, S - ее вершина, Е - середина стороны АВ, а О - проекция вершины пирамиды на плоскость основания.

Площадь основания равна разности полной и боковой поверхностей пирамиды. В данном случае она равна So = Sп - Sб = 18 - 14, 76 = 3, 24 м²

Тогда сторона основания a = АВ = √ 3, 24 = 1, 8 м

Площадь боковой грани Sбг = Sб / 4 = 14, 76 / 4 = 3, 69 м²

Высота боковой грани h = SE = 2 * Sбг / a = 2 * 3, 69 / 1, 8 = 4, 1 м

Тогда по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника SOE находим высоту пирамиды

Н = SO = √ (SE² -OE² ) = √ (h² -(a/2)² ) = √ (4, 1² -0, 9² ) = √ 16 = 4 м.

НЕ ДОРЕШЕНА

13.Логарифмы и их свойства.

Логарифм- это показатель степени

Свойства логарифмов

Из определения логарифма вытекают следующие его свойства. Пусть a > 0, a ≠ 0. Тогда:

1. Если x > 0 и y > 0, то
Например,

2. Если x > 0 и y > 0, то
Например,

3. Если x > 0, то
Например,

4. Если b > 0, b ≠ 1, x > 0, то
Например, Эта формула называется формулой перехода к новому основанию.

5. Если x > 0, то

задача 13

Высота правильной пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания. Так как основание данной пирамиды — квадрат, то О — точка пересечения диагоналей.

Так что

Далее, в прямоугольном Δ SOC по теореме Пифагора находим

Ответ: 9 см.

НЕ ДОРЕШЕНА!!!!!!!!!!!!

14.Показательная функция, её график и свойства.

Функция вида называется показательной функцией.

Замечание. Исключение из числа значений основания a чисел 0; 1 и отрицательных значений aобъясняется следующими обстоятельствами:

a = 0	Выражения вида 0^x определено при x > 0 и в этом случае тождественно равно нулю.
a = 1	Выражение 1^x определено при всех x, имеет постоянное значение (тождественно единице).
a < 0	Возможно возведение в целую степень или в рациональную степень с нечётным знаменателем.

Само аналитическое выражение a^x в указанных случаях сохраняет смысл и может встречаться в решении задач. Например, для выражения x^y точка x = 1; y = 1входит в область допустимых значений.

Построить графики функций: и .



График показательной функции
y = a^x, a > 1	y = a^x, 0< a < 1

Формулы приведения

Формулы двойного аргумента

Задача 20

Проведем SO - перпендикуляр к плоскости. Тогда наклонные SA = SB = 2м. ∠ ASB = 60°.

Равные наклонные имеют равные проекции, значит, АО = ОВ. Так как угол ∠ ASB = 60°, то Δ ASB — равносторонний, а, значит, АВ = AS = SB = 2м.

Далее АО ⊥ ОВ (по условию), Δ AOB — равнобедренный и прямоугольный.

Так что ∠ ОАВ = ∠ ОВА = 45°. А, значит,

Далее по теореме Пифагора в Δ AOS:

21) Уравнение sin t=a.

Решение уравнения sin t=α

Определение. Если |a|≤ 1, то arcsin a (арксинус a) — это такое число, из отрезка , синус которого равен a.

Можно сделать общий вывод о решении уравнения sint = a:

Если |a|≤ 1, то уравнение sint = a имеет две серии решений:

Правда, в трех случаях предпочитают пользоваться не полученной общей формулой, а более простыми соотношениями:

Для любого справделива формула:

Задача 21

22.Уравнение cos t=a.

Решение уравнения cos t=α

Определение. Если |a|≤ 1, то arccos a (арккосинус a) — это такое число, из отрезка [0; π ], косинус которого равен a.

Теперь можно сделать общий вывод о решении уравнения cost = a:

Если |a|≤ 1, то уравнение cost = a имеет решения:

Правда, в трех случаях предпочитают пользоваться не полученной общей формулой, а более простыми соотношениями:

задача 22

Пусть отрезок AB пересекает плоскость α в точке O. Спроектируем его на плоскость α. Проведем перпендикуляры AA₁ и BB₁AA₁ = 0, 3 м, BB₁ = 0, 5 м.

Проведем через т. A прямую, параллельную A₁B₁. Она пересечет продолжение отрезка BB₁ в точке M. AM ⊥ BM. В Δ ABM по теореме Пифагора: AM² = AB² - MB², но

MB = MB₁ + BB₁ = 0, 5 + 0, 3 = 0, 8 (м), а AB = 1 (м), так что

AM² = 1 - 0, 64 = 0, 36 (м²); AM = 0, 6 (м). Далее

так как AA₁B₁M — прямоугольник, то A₁B₁ = AM = 0, 6 м.

23.Уравнение tg t=a.

Решение уравнений tg x=α

Определение 1. arctg a (арктангенс a) — это такое число, из интервала , тангенс которого равен a.

Общее решение уравнения tg x = а имеет вид:

Для любого значения a справделива формула:

задача 23

Пусть АВ — данный отрезок, С — точка на нем, такая что АС: СВ = 3: 7.

АА₁, СС₁, ВВ₁ — перпендикуляры, опущенные из точек А, С, В на плоскость α АА₁ = 0, 3м, ВВ₁ = 0, 5м.

По теореме 18.4 отрезки АА₁, ВВ₁, СС₁ параллельны, и значит, лежат в одной плоскости. Точки А₁, С₁, В₁ лежат на прямой пересечения этой плоскости с плоскостью а.

Проведем из точки А прямую AD параллельную А₁В₁, значит AD ⊥ BB₁. Тогда АА₁С₁К — прямоугольник. Так что КС₁ = АА₁DB₁=0, 3 м.

Δ АСК ~ Δ ABD так как СК параллельна BD. Далее

24. Определение производной, её геометрический и физический смысл. Вторая производная, её физический смысл.

Произво́ дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке)

Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента , при (если этот предел существует и конечен), т.е.

.

Следовательно,

Таким образом, получили, что – угловой коэффициент касательнойк графику функции y = f(x) в точке (геометрический смысл производной функции в точке). Поэтому уравнение касательной к кривой y = f(x) в точке можно записать в виде

Если функция f’ дифференцируема, то ее производную называют второй производной от f и обозначают f” :

f” = (f’)’

Физический смысл производной второго порядка проясняется из того, что если первая производная f’(x) задаёт мгновенную скорость изменения значений f(x) в момент времени x в момент времени f’(x) , задаёт мгновенную скорость изменения значений мгновенной скорости, то есть ускорение значений f(x) .

Следовательно, третья производная - это скорость изменения ускорения (или, что то же самое, ускорение изменения скорости, поскольку, как очевидно следует из определения,

задача 24

Пусть SO — перпендикуляр к плоскости α, а SA и SB — данные наклонные.

Обозначим АО = 2x. Так как AO: BO = 2: 3, то BO = 3х. Далее из прямоугольных треугольников AOS и BOS получаем:

25.Правила и формулы дифференцирования функций.

Если с - постоянное число, и u = u(x), v = v(x) - некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

1) (с) ' = 0, (cu) ' = cu';

2) (u+v)' = u'+v';

3) (uv)' = u'v+v'u;

4) (u/v)' = (u'v-v'u)/v^2;

5) если y = f(u),

u = j(x), т.е. y = f(j(x)) - сложная функция, или суперпозиция, составленная из дифференцируемых функцийj и f, то , или ;

6) если для функции y = f(x) существует обратная дифференцируемая функция x = g(y), причем ≠ 0, то .

Таблица производных

На основе определения производной и правил дифференцирования можно составить список табличных производных основных элементарных функций.

1. (u^m)' = m u^m-¹ u' (m принадлежит R¹)

2. (a^u)' = a^u lna× u'.

3. (e^u)' = e^u u'.

4. (log_au)' = u'/(u ln a).

5. (ln u)' = u'/u.

6. (sin u)' = cos u× u'.

7. (cos u)' = - sin u× u'.

8. (tg u)' = 1/ cos²u× u'.

9.(ctg u)' = - u' / sin²u.

10. (arcsin u)' = u' / .

11. (arccos u)' = - u' / .

12. (arctg u)' = u'/(1 + u²).

13. (arcctg u)' = - u'/(1 + u²).

задача 25

Пусть SA и SB - данные диагонали. Обозначим проекции АО = у, ОВ = х, х > у, так как SB > SA. Пусть SO — перпендикуляр к плоскости α. Тогда из двух прямоугольных треугольников AOS и BOS получаем:

26.Касательная. Уравнение касательной.

Касательная к графику дифференцируемой в точке х₀функции f — это прямая, проходящая через точку (x₀, f(x₀))и имеющая угловой коэффициент f '(х₀).

y = f(x ₀ ) + f '(х ₀ )(x - x ₀ )

Задача 26

Проведем ВЕ ⊥ CD. Тогда АВ = DE = 8 м, и

СЕ = CD - ED = 20 - 8 = 12 (м).

Далее в Δ BCE по теореме Пифагора получаем:

Проведем ВЕ ⊥ CD. Тогда АВ = DE = 8 м, и

СЕ = CD - ED = 20 - 8 = 12 (м).

Далее в Δ BCE по теореме Пифагора получаем:

27.Возрастания, убывание функций. Точки экстремума.

Задача 27

Дополним усеченный конус до полного. Пусть КВ=а.

Из подобия конусов следует:

откуда

Полная площадь ведра состоит из площади основания

и боковой поверхности ведра, равной разности боковых поверхностей конусов:

Так что

Общее количество краски m=100⋅ S⋅ 150≈ 4300 (г)=4, 3 кг.

28.Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства.

Первообразной функции f(x) на промежутке (a; b) называется такая функция F(x), что выполняется равенство для любого х из заданного промежутка.

Неопределенный интеграл

где F - первообразная функции f (на промежутке); C - произвольная постоянная.

свойства неопределенного интеграла (свойства первообразной).

Производная результата интегрирования равна подынтегральной функции.

Неопределенный интеграл дифференциала функции равен сумме самой функции и произвольной константы.

, где k – произвольная константа.

Коэффициент можно выносить за знак неопределенного интеграла.

Неопределенный интеграл суммы/разности функций равен сумме/разности неопределенных интегралов функций.

29. Определённый интеграл и его геометрический смысл. Основные свойства. Формула Ньютона – Лейбница.

Читая эту формулу справа налево, находим

Геометрический смысл определенного интеграла. Если f(x) непрерывна и положительна на [a, b], то интеграл

представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y = 0, x = a, x = b, y = f(x) (см. рис. 5.).

2. где k - константа;

5. Если для всех , то .

8. Если в интервале [a, b], то

Формула Ньютона-Лейбница

Пусть функция f (x) непрерывна на замкнутом интервале [a, b]. Если F (x) - первообразная функции f (x) на[a, b], то

задача 29

Радиус шара равен радиусу цилиндра и половине высоте цилиндра. Тогда, если R — радиус цилиндра, то объем шара

а объем цилиндра

Тогда объем сточенного материала

А процентное соотношение:

30. Векторы на плоскости и в пространстве. Действия над векторами, заданными координатами.

Основные определения и обозначения для векторов в пространстве вводятся так же, как и для векторов на плоскости.

Вектором называется отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой - концом. Любая точка пространства рассматривается как нулевой вектор.

12 3 4 5