Свойства показательной функции

Свойства показательной функции	y = ax, a > 1	y = ax, 0< a < 1
Область определения функции
2. Область значений функции
3.Промежутки сравнения с единицей	при x > 0, ax> 1	при x > 0, 0< ax< 1
при x < 0, 0< ax< 1	при x < 0, ax> 1
4. Чётность, нечётность.	Функция не является ни чётной, ни нечётной (функция общего вида).
5.Монотонность.	монотонно возрастает на R	монотонно убывает на R
6. Экстремумы.	Показательная функция экстремумов не имеет.
7.Асимптота	Ось Ox является горизонтальной асимптотой.
8. При любых действительных значениях xи y;

задача 14

В Δ ABС АВ = АС = 25см и BС = 40см.

Проведем АК ⊥ ВС. Тогда по теореме о трех перпендикулярах

SK ⊥ BC.

Далее,

Так что в Δ АСК:

Далее, в Δ ASK:

Поэтому площадь Δ SBC равна:

Так что площадь боковой поверхности равна

Ответ: 540 см².

15. Логарифмическаяфункция, её график и свойства

Логарифмической называется функция вида у = log_ax, где а – заданное число, а > 0, а ≠ 1.

Рассмотрим свойства логарифмической функции.

1) Областью определения логарифмической функции является множество всех положительных чисел.

Это утверждение следует из определения логарифма, так как только при х > 0 выражение log_a x имеем смысл.

2) Множество значений логарифмической функции представлено множеством R всех действительных чисел.

Это утверждение следует из того, что для любого числа b (b – действительное чсило) есть такое положительное число х, что log_a x = b, т.е. уравнение log_a x = b имеет корень. Такой корень существует; он равен х = а^b, так как log_a а^b = b.

3) Логарифмическая функция у = log_ax является возрастающей на промежутке х > 0, если а > 1, и убывающей, если 0 < а < 1.

Предположим, что а > 1. Докажем, что если х₂ > х₁ > 0, то у (х₂) > у (х₁), т.е. log_a х₂ > log_a х₁. Пользуясь основным логарифмическим тождеством, условие х₂ > х₁ можно записать так: а ^{loga х2} > а ^{loga х1}. Из этого неравенства по свойству степени с основанием а > 1 следует, что log_a х₂ > log_a х₁.

Пусть 0 < а < 1. Докажем, что если х₂ > х₁ > 0, то log_a х₂ < log_a х₁.

Записав условие х₂ > х₁ в виде а ^{loga х2} > а ^{loga х1}, получим log_a х₂ < log_a х_1, так как 0 < а < 1.

4) Если а > 1, то при х > 1 функция у = log_ax принимает положительные значения, а при при 0 < х < 1 – отрицательные. Если 0 < а < 1, то функция у = log_ax принимает положительные значения при 0 < х < 1, отрицательные – при х > 1.

Это следует из того, что функция у = log_ax принимает значение, равное нулю, при х = 1 и является возрастающей на промежутке х > 0, если а > 0, и убывающей, если 0 < а < 1.

Отметим, что график любой логарифмической функции у = log_ax проходит через точку (1; 0).

задача 15

Тогда высоты ОМ=ОК. Значит, прямоугольные Δ SOM и Δ SOK равны по двум катетам. Так что SM = SK.

Поэтому во всех боковых гранях высоты, проведенные к сторонам основания, равны. Так что площадь боковой поверхности равна

Так в Δ AOD:

Так что по теореме Пифагора

Далее, площадь Δ AOD равна:

Тогда в Δ SOM:

Ответ: 26 м².

16. Функция y= sin x, её график и свойства.

а) Область определения: D (sin x) = R.

б) Множество значений: E (sin x) = [ – 1, 1 ].

в) Четность, нечетность: функция нечетная.

г) Периодичность: функция периодическая с основным периодом T = 2 .

д) Нули функции: sin x = 0 при x = n, n Z.

е) Промежутки знакопостоянства:

; .

ж) Промежутки монотонности:
;

.

з) Экстремумы:
; .

График функции y= sin x изображен на рисунке.

задача 16

17.Функция y= cos x, её график и свойства.

 

а) Область определения: D (cos x) = R.

б) Множество значений: E (cos x ) = [ – 1, 1 ].

в) Четность, нечетность: функция четная.

г) Периодичность: функция периодическая с основным периодом T = 2 .

д) Нули функции: cos x = 0 при x = + n, n Z.

е) Промежутки знакопостоянства:

;
.

. ж) Промежутки монотонности:

;

.

з) Экстремумы:

; .

График функции y= cos x изображен на рисунке.

Задача 17

18.Функция y= tg x, её график и свойства

 

) Область определения: D (tg x) = R \ { /2 + n( n Z) }.

б) Множество значений: E (tg x ) = R.

в) Четность, нечетность: функция нечетная.

г) Периодичность: функция периодическая с основным периодом T = .

д) Нули функции: tg x = 0 при x = n, n Z.

е) Промежутки знакопостоянства:

; .

ж) Промежутки монотонности: функция возрастает на каждом интервале, целиком принадлежащем ее области определения.

з) Экстремумы: нет.

График функции y= tg x изображен на рисунке.

задача 18

Пусть S — данная точка, и SO - перпендикуляр.Тогда SO = 1, 1 м, расстояние от данной точки до плоскости треугольника. SB, SC, SA — наклонные; перпендикуляры к сторонам треугольника. Тогда АО = ВО = СО как проекции равных наклонных. По теореме о трех перпендикулярах АО, ВО, СO перпендикулярны сторонам треугольника. Значит O - центр вписанной окружности в треугольник и r = AO = OB = OC.

По теореме Пифагора в треугольнике SOB:

19. Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Соотношение между тригонометрическими функций, периодичность.

§ Синусом угла α называется отношение AB/OB (отношение противолежащего катета к гипотенузе).

§ Косинусом угла α называется отношение ОА/OB (отношение прилежащего катета к гипотенузе).

§ Тангенсом угла α называется отношение AB/OA (отношение противолежащего катета к прилежащему).

§ Котангенсом угла α называется отношение ОА/AB (отношение прилежащего катета к противолежащему).

§ Синусом называется отношение

§ Косинусом называется отношение

§ Тангенс определяется как

§ Котангенс определяется как

Функции — периодические с периодом 2π, функции и — c периодом π.

 

Задача19

Пусть O -центр вписанной окружности, а OS - данный перпендикуляр. Тогда r = АО = ОВ = ОС = 0, 7 м., где точки А, В, С — точки касания сторон треугольника с окружностью. По теореме о трех перпендикулярах SA ⊥ MN. Тогда по теореме Пифагора в Δ AOS:

20. Чётность, нечётность тригонометрической функций, периодичность. Формулы приведения. Формулы двойного аргумента.

Косинус — чётная. Остальные функции — нечётные

 

Формулы приведения

 

Формулы двойного аргумента

 

 

Задача 20

Проведем SO - перпендикуляр к плоскости. Тогда наклонные SA = SB = 2м. ∠ ASB = 60°.

Равные наклонные имеют равные проекции, значит, АО = ОВ. Так как угол ∠ ASB = 60°, то Δ ASB — равносторонний, а, значит, АВ = AS = SB = 2м.

Далее АО ⊥ ОВ (по условию), Δ AOB — равнобедренный и прямоугольный.

Так что ∠ ОАВ = ∠ ОВА = 45°. А, значит,

Далее по теореме Пифагора в Δ AOS:

 

 

21) Уравнение sin t=a.

 

 

Решение уравнения sin t=α

Определение. Если |a|≤ 1, то arcsin a (арксинус a) — это такое число, из отрезка , синус которого равен a.

Можно сделать общий вывод о решении уравнения sint = a:

Если |a|≤ 1, то уравнение sint = a имеет две серии решений:

Правда, в трех случаях предпочитают пользоваться не полученной общей формулой, а более простыми соотношениями:

Для любого справделива формула:

 

 

Задача 21

 

22.Уравнение cos t=a.

 

Решение уравнения cos t=α

Определение. Если |a|≤ 1, то arccos a (арккосинус a) — это такое число, из отрезка [0; π ], косинус которого равен a.

Теперь можно сделать общий вывод о решении уравнения cost = a:

Если |a|≤ 1, то уравнение cost = a имеет решения:

Правда, в трех случаях предпочитают пользоваться не полученной общей формулой, а более простыми соотношениями:

 

 

задача 22

Пусть отрезок AB пересекает плоскость α в точке O. Спроектируем его на плоскость α. Проведем перпендикуляры AA₁ и BB₁ AA₁ = 0, 3 м, BB₁ = 0, 5 м.

Проведем через т. A прямую, параллельную A₁B₁. Она пересечет продолжение отрезка BB₁ в точке M. AM ⊥ BM. В Δ ABM по теореме Пифагора: AM² = AB² - MB², но

MB = MB₁ + BB₁ = 0, 5 + 0, 3 = 0, 8 (м), а AB = 1 (м), так что

AM² = 1 - 0, 64 = 0, 36 (м²); AM = 0, 6 (м). Далее

так как AA₁B₁M — прямоугольник, то A₁B₁ = AM = 0, 6 м.

23.Уравнение tg t=a.

Решение уравнений tg x=α

Определение 1. arctg a (арктангенс a) — это такое число, из интервала , тангенс которого равен a.

Общее решение уравнения tg x = а имеет вид:

Для любого значения a справделива формула:

 

 

задача 23

Пусть АВ — данный отрезок, С — точка на нем, такая что АС: СВ = 3: 7.

АА₁, СС₁, ВВ₁ — перпендикуляры, опущенные из точек А, С, В на плоскость α АА₁ = 0, 3м, ВВ₁ = 0, 5м.

По теореме 18.4 отрезки АА₁, ВВ₁, СС₁ параллельны, и значит, лежат в одной плоскости. Точки А₁, С₁, В₁ лежат на прямой пересечения этой плоскости с плоскостью а.

Проведем из точки А прямую AD параллельную А₁В₁, значит AD ⊥ BB₁. Тогда АА₁С₁К — прямоугольник. Так что КС₁ = АА₁ DB₁=0, 3 м.

Δ АСК ~ Δ ABD так как СК параллельна BD. Далее

 

 

24. Определение производной, её геометрический и физический смысл. Вторая производная, её физический смысл.

 

Произво́ дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке)

 

Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента , при (если этот предел существует и конечен), т.е.

.

12345

Поделиться:

Популярное:

1. Hекоторые стандартные функции
2. I. Интегральное исчисление функции одной переменной
3. I. Спинной мозг: строение и функции
4. II. Ценности и функции культуры. Человек как творец и продукт культуры.
5. III. 41. Стратегия и функции управления.
6. V1: Культурология как наука. Понятие, сущность, формы и функции культуры.
7. Авторские жанровые наименования в составе заголовочного комплекса, их функции
8. Аттестация государственных служащих: понятие, цели, задачи, функции, принципы.
9. Бесконечно большие функции и их связь с
10. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
11. БИЛЕТ 30. ЯЗЫК ХУДОЖЕСТВЕННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ. ОСНОВНЫЕ ФУНКЦИИ. СОДЕРЖАТЕЛЬНОСТЬ ЯЗЫКОВОГО УРОВНЯ ХУДОЖЕСТВЕННОЙ ФОРМЫ. ЯЗЫК ХУДОЖЕСТВЕННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ И РЕЧЬ ХУДОЖЕСТВЕННАЯ.
12. В основе их единый язык игры, но цель, функции и способы использования его в каждом случае иные.