Определители, их основные свойства и вычисление.

Определители, их основные свойства и вычисление.

Минором элемента называется определитель (n-1) порядка, полученный из исходного определителя удалением i-строки и j-столбца

Алгебраическим дополнением элемента называется минор

Следствие из теоремы Лапласа - определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки(столбца), умноженных на их алгебраическое дополнение.

Свойства определителя:

1. Если строки или столбцы поменять местами, то его величина не изменится

Это свойство определяет, что строки и столбцы определителя равноправны

(Операция замены строк столбцами с сохранением нумерации называется транспонированием)

2. Если все элементы строки(столбца) определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю.

3. Если в определителе элементы строки(столбца) имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя

4. Если определитель имеет две одинаковые строки(столбца), то он равен нулю.

5. Если в определителе переставить местами две строки(столбца), то определитель изменит знак на противоположный

6. Если в определителе строки(столбцы) пропорциональны элементам другой строки(столбца), то определитель равен нулю

7. Если все элементы строки или столбца представлены в виде суммы двух слагаемых, то такой определитель можно представить в виде суммы двух определителей

8. Если к элементам некоторой строки или столбца прибавить соответствующие элементы другой строки или столбца, умноженных на любой множитель k, то величина определителя не изменится

Системы линейных алгебраических уравнений, формулы Крамера.

Рассмотрим систему линейных уравнений третьего порядка:

Запишем определитель системы, то есть определитель, состоящий из коэффициентов при переменных:

Пусть

Составим определители, заменяя в определителе системы столбец коэффициентов при выбранной переменной столбцом, состоящим из свободных членов:

Если определитель системы отличен от нуля, то системы линейных уравнений имеют единственное решение, которое определяется формулами

Таким образом,

•если определитель системы отличен от нуля, то система совместная определенная (имеет 1 решение)

•если определитель равен нулю, то возможны два случая:

а) если хотя бы один определитель , то система несовместна (решений нет)

б) если все определители , система совместная неопределенная (бесконечное множество решений)

3. Определение вектора, модуль вектора, коллинеарные и компланарные векторы, равенство векторов.

Вектором называется направленный отрезок, то есть отрезок, с указанными начальной и конечной точками

Модулем (длиной) вектора называется длина отрезка АВ -

Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными

Коллинеарные векторы могут быть сонаправлены или

противоположнонаправлены

Векторы, лежащие в одной плоскости или в параллельных плоскостях, называются компланарными

Два вектора называются равными, если они компланарны, коллинеарны и их длины равны

Линейные операции над векторами: сложение и вычитание векторов, умножение вектора на число, свойства этих операций.

I) Сложение векторов

а) правило треугольника

б) правило параллелограмма

в) правило ломаной

Пусть даны несколько векторов. Тогда, чтобы построить сумму этих векторов, нужно расположить эти векторы так, чтобы начало последующего совпадало с концом предыдущего, получив таким образом ломаную. Тогда вектор, замыкающий эту ломаную, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец с концом последнего, будет суммой векторов.

Свойства операции сложения:

1) коммуникативность a+b=b+a

2) ассоциативность a+(b+c)=(a+b)+с

3) a+0=a

II) Разностью векторов называется вектор такой, что

III) Умножение вектора на число

Произведением вектора на число , называется вектор , коллинеарный вектору , длина которого равна , причем

Умножение вектора на n - это растяжение этого вектора в n раз

Свойства умножения:

1) коммуникативность

2) ассоциативность

3) дистрибутивность

Некоторые частные виды уравнения прямой: уравнение прямой с угловым коэффициентом, уравнение прямой в отрезках, уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении, уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

С заданным угловым коэффициентом:

Уравнение прямой в отрезках: 1) С=0, (прямая проходит через т.(0; 0)

2) B=0, (прямая ⏊ ox)

3)B=0, C=0, x=0 (ось ординат или || ей прямая)

4) A=0, (прямая⏊ oy)

5) A=0, C=0, y=0 (ось абсцисс или || ей прямая)

, где

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки:

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении:

IV) Парабола

Каноническое уравнение параболы

Парабола не имеет асимптот. Осью симметрии является ох.

Вершина в т.О.

Циллиндрическая поверхность

Пусть на хоу заданв прямая . Через каждую точку проведем прямые, параллельные оz. Эти прямые образуют поверхность, которую называют циллиндрической поверхностью.

Кривая - направляющая

В зависимости от направляющей, выделяют три вида циллиндрических поверхностей:

I) -эллиптический циллиндр

II) - гиперболический циллиндр

III) - пара(барА-барА-парА-берЕ-берЕ)болический циллиндр

Эллипсоид

Эллипсоидом называется поверхность, которая в прямоугольной системе координат определяется уравнением:

Конус - поверхность, заданная уравнением:

Гиперболоид

Однополостный гиперболоид определяется уравнением:

Двуполостный гиперболоид определяется уравнением:

Параболоид

Эллиптический параболоид - поверхность, определяемая уравнением:

29. Матрицы, основные понятия и определения, сложение матриц, умножение матриц на число, умножение матриц, свойства этих операций; обратная матрица и правила её вычисления, ранг матрицы.

Матрицей размера m x n называется прямоугольная таблица, содержащая чисел, состоящая из m строк и n столбцов.

Элементы матрицы обозначаются , где - номер строки, в которой находится элемент, а - номер столбца.

Главной диагональю матрицы называется диагональ, проведённая из левого верхнего угла матрицы в правый нижний.

Побочной диагональю матрицы называется диагональ, проведённая из левого нижнего угла матрицы в правый верхний.

Матрица называется верхней треугольной матрицей, если все элементы ниже главной диагонали равны нулю.

Матрица называется нижней треугольной матрицей, если все элементы выше главной диагонали равны нулю.

Ступенчатой называется матрица, которая содержит строк и у которой первые диагональных элементов ненулевые, а элементы, лежащие ниже главной диагонали и элементы последних строк равны нулю, то есть это матрица вида:

Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие элементы равны:

Операции над матрицами:

Произведением матрицы на число называется матрица, полученная из исходной умножением каждого ее элемента на заданное число.

Суммой матриц и одного размера называется матрица такого же размера, получаемая из исходных путем сложения соответствующих элементов.

Свойства линейных операций:

Везде далее матрицы , и - матрицы одного размера.

Ассоциативность
, где - нулевая матрица соответствующего размера.
Коммутативность
Дистрибутивность

Произведением матрицы на матрицу называется матрица такая, что элемент матрицы , стоящий в -ой строке и -ом столбце, т.е. элемент , равен сумме произведений элементов -ой строки матрицы на соответствующие элементы -ого столбца матрицы .

Пример:

Задание. Найти , если

Решение. Так как , а , то в результате получим матрицу размера , т.е. матрицу вида . Найдем элементы данной матрицы:

Таким образом, получаем, что:

Все вычисления можно было сделать в более компактном виде:

Ответ.

Свойства произведения матриц:

Ассоциативность
Ассоциативность по умножению
Дистрибутивность ,
Умножение на единичную матрицу
В общем случае умножение матриц не коммутативно, т.е.

Невырожденной называется квадратная матрица, определитель которой не равен нулю. Квадратная матрица называется вырожденной, если ее определитель равен нулю.

Квадратная матрица называется обратной к невырожденной матрице , если , где - это единичная матрица соответствующего порядка.

Свойства обратной матрицы:

Теорема. Если к квадратной матрице дописать справа единичную матрицу того же порядка и с помощью элементарных преобразований над строками добиться того, чтобы начальная матрица, стоящая в левой части, стала единичной, то полученная справа будет обратной к исходной.

Пример:

Задание. Для матрицы найти обратную методом присоединенной матрицы.

Решение. Приписываем к заданной матрице справа единичную матрицу второго порядка:

От первой строки отнимаем вторую (для этого от элемента первой строки отнимаем соответствующий элемент второй строки):

От второй строки отнимаем две первых:

Первую и вторую строки меняем местами:

От второй строки отнимаем две первых:

Вторую строку умножаем на (-1), а к первой строке прибавляем вторую:

Итак, слева получили единичную матрицу, а значит матрица, стоящая в правой части (справа от вертикальной черты), является обратной к исходной.

Таким образом, получаем, что

Ответ.

Облегченный вариант:

Для матрицы второго порядка можно немного облегчить нахождение обратной, используя следующий алгоритм:

Шаг 1. Находим определитель заданной матрицы, если он равен нулю, то делаем вывод, что обратной матрицы не существует, иначе переходим к следующему шагу.

Шаг 2. Элементы, стоящие на главной диагонали меняем местами, а у элементов побочной диагонали меняем знак на противоположный.

Шаг 3. Делим все элементы на и получаем обратную матрицу.

Рангом матрицы называется ранг её системы строк или столбцов. Обозначается

На практике для нахождения ранга матрицы используют следующее утверждение: ранг матрицы равен количеству ненулевых строк после приведения матрицы к ступенчатому виду.

Корень n-степени

Уравнение вида имеет ровно корней , которые можно найти по формуле:
, где – это модуль комплексного числа , – его аргумент, а параметр принимает значения:

Касательная

Касательной к точке называется предельное положение секущей при стремлении точки M к точке по кривой.

Уравнение касательной:

Нормалью к графику функции в точке прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно касательной.

Нормаль ⏊ касательной => , где k-коэффициент касательной.

Уравнение нормали в точке :

Правило Лопиталя.

Производная помогает раскрыть пределы и раскрывать неопределенности вида:

Т.1:

Т.2:

Асимптоты кривой.

Асимптота кривой с бесконечной ветвью — прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки вдоль ветви в бесконечность.

Для гиперболы асимптотами являются оси абсцисс и ординат. Кривая может приближаться к своей асимптоте, оставаясь с одной стороны от нее