Общее уравнение прямой и его исследование.

- начальная точка

- начальный радиус-вектор

- произвольная точка,

- текущий радиус-вектор

Любой ненулевой вектор, перпендикулярный прямой, называется нормальным вектором этой прямой. - нормальный вектор прямой

 

 

Уравнение прямой в векторной форме:

Через координаты со множителями:

Общее уравнение прямой:

 

Некоторые частные виды уравнения прямой: уравнение прямой с угловым коэффициентом, уравнение прямой в отрезках, уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении, уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

С заданным угловым коэффициентом:

Уравнение прямой в отрезках: 1) С=0, (прямая проходит через т.(0; 0)

2) B=0, (прямая ⏊ ox)

3)B=0, C=0, x=0 (ось ординат или || ей прямая)

4) A=0, (прямая⏊ oy)

5) A=0, C=0, y=0 (ось абсцисс или || ей прямая)

, где

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки:

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении:

?

 

Угол между двумя прямыми на плоскости.

 

Условие параллельности и перпендикулярности прямых.

Признаком параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов

Признаком перпендикулярности двух прямых является соотношение:

 

Нормальное уравнение прямой, привидение общего уравнения прямой к нормальному виду, расстояние от точки до прямой.

- радиус вектор

- единичный вектор, причем

p - длина

-нормальное уравнение прямой в векторной форме

Нормальное уравнение прямой: , где - координаты текущей точки, а - угол наклона нормали.

Чтобы привести общее уравнение прямой к нормальному виду, нужно обе части уравнения умножить на число , называемое нормирующим множителем. Знак числа противоположен знаку свободного члена C

Расстояние от точки до прямой

Если прямая задана нормальным уравнением, то расстояние от точки до этой прямой определяется по формуле:

Если прямая задана общим уравнением, то расстояние от точки до этой прямой определяется формулой:

 

Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола, вывод их канонических уравнений, исследование формы кривых, эксцентриситет и директрисы.

I) Окружность - множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой центром окружности.

 

 

Нормальное уравнение окружности

II) Эллипс - множество точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

- Каноническое уравнение эллипса

 

Эксцентриситетом эллипса называется отношение , где - половина расстояния между фокусами ( a - бОльшая полуось)

Если , то получаем окружность

Директрисой эллипса называется прямая, параллельная его малой полуоси и отстоящая от неё на расстояние

 

 

III) Гипербола - множество всех точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами

- каноническое уравнение гиперболы

Гипербола симметрична относительно обеих осей координат и относительно точки начала координат.

Эксцентриситетом гиперболы являются прямые, параллельные мнимой оси, проходящие на расстоянии от неё.

Гипербола имеет две асимптоты

Эксцентриситет определяет форму гиперболы: чем ближе эксцентриситет к нулю, тем ближе гипербола к окружности.

 

 

IV) Парабола

Каноническое уравнение параболы

 

Парабола не имеет асимптот. Осью симметрии является ох.

Вершина в т.О.

 

Уравнение поверхности, плоскость как поверхность второго порядка, общее уравнение плоскости и его исследование.

Общее уравнение плоскости:

Уравнение плоскости в отрезках, уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.

Уравнение плоскости в отрезках: , где

Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки:

 

Нормальное уравнение плоскости, приведение общего уравнения плоскости к нормальному виду, расстояние от точки до плоскости.

Нормальное уравнение плоскости:

Общее уравнение плоскости может быть приведено к нормальному виду, умножением его на нормирующий множитель . Знак множителя берется противоположным знаку числа D

Нахождение расстояния от точки до плоскости:

123456

Поделиться:

Популярное:

1. Gigabit Ethernet на витой паре категории 5
2. I. He могли узы смерти удержать Господа нашего.
3. I. Въезд патриарха в столицу. – Остановка и пребывание его в монастыре св. Афанасия и Кирилла в Кремле. – Возвращение патриарха Никона. – Въезд царя.
4. I. Его руки подняты для благословения.
5. I. Прочитайте текст и переведите его письменно.
6. I. Смотрите на Него, приготовляющего для Себя престол.
7. I. Устранитесь от ошибочных представлений о покаянии в грехе и печали по его поводу.
8. I. ХАРАКТЕРИСТИКА ТЕКУЩЕГО СОСТОЯНИЯ, ОСНОВНЫЕ ПРОБЛЕМЫ РАЗВИТИЯ СФЕРЫ КУЛЬТУРЫ И ИСКУССТВА
9. I. Что было хорошего в прежние времена?
10. III. Дождь идет там, где его меньше всего ожидают.
11. III. Ободрение не удовлетворило его; он все еще искал Иисуса.
12. III. Торжественный прием патриарха Макария царем. – Свидание его с патриархом Никоном.