Основные теоремы о пределах.

1) Предел алгебраической суммы двух, трех и вообще определенного числа функций равен алгебраической сумме пределов этих функций, т.е.

Доказательство. Проведем доказательство для двух слагаемых, так как для любого числа слагаемых оно проводится так же. Пусть .Тогда f(x)=b+α (x) и g(x)=c+β (x), где α и β – бесконечно малые функции. Следовательно,

f(x) + g(x)=(b + c) + (α (x) + β (x)).

Так как b + cесть постоянная величина, а α (x) + β (x) – функция бесконечно малая, то

2) Предел произведения двух, трех и вообще конечного числа функций равен произведению пределов этих функций:

Доказательство. Пусть . Следовательно, f(x)=b+α (x) и g(x)=c+β (x) и

fg = (b + α )(c + β ) = bc + (bβ + cα + α β ).

Произведение bc есть величина постоянная. Функция bβ + c α + α β на основании свойств бесконечно малых функций есть величина бесконечно малая. Поэтому .

3) Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций, если предел знаменателя отличен от нуля, т.е.

Доказательство. Пусть . Следовательно, f(x)=b+α (x) и g(x)=c+β (x), где α, β – бесконечно малые. Рассмотрим частное

Дробь является бесконечно малой функцией, так как числитель есть бесконечно малая функция, а знаменатель имеет предел c²≠ 0.

4) Пусть даны три функции f(x), u(x) и v(x), удовлетворяющие неравенствам u(x)≤ f(x)≤ v(x). Если функции u(x) и v(x) имеют один и тот же предел при x→ a (или x→ ∞ ), то и функция f(x) стремится к тому же пределу, т.е.

если

Смысл этой теоремы понятен из рисунка.

5) Если при x→ a (или x→ ∞ ) функция y=f(x) принимает неотрицательные значения y≥ 0 и при этом стремится к пределу b, то этот предел не может быть отрицательным: b≥ 0.

Доказательство проведем методом от противного. Предположим, что b< 0, тогда |y – b|≥ |b| и, следовательно, модуль разности не стремится к нулю при x→ a. Но тогда y не стремится к пределу b при x→ a, что противоречит условию теоремы.

6) Если две функции f(x) и g(x) при всех значениях аргумента x удовлетворяют неравенству f(x)≥ g(x) и имеют пределы , то имеет место неравенство b≥ c.

Доказательство: По условию теоремы f(x)-g(x) ≥ 0, следовательно, по теореме 5

Первый замечательный предел.

Используется для раскрытия неопределенности вида:

Следствия:

Предел показательно-степенной функции, второй замечательный предел.

Используется для раскрытия неопределенности вида:

Сравнение бесконечно малых величин, эквивалентные бесконечно малые величины.

Пусть при функции f(x) и g(x) являются бесконечно малыми. Тогда:

2. Если , то f(x) называется бесконечно малой высшего порядка относительно g(x).

2. Если (конечен и отличен от 0), то f(x) называется бесконечно малой n-го порядка относительно g(x).

3. Если , то f(x) и g(x) называются эквивалентными бесконечно малыми.

Эквивалентность записывается так: .

Свойства эквивалентных бесконечно малых:

1. Разность двух эквивалентных бесконечно малых есть бесконечно малая высшего порядка относительно каждой из них.

2. Если из суммы нескольких бесконечно малых разных порядков отбросить бесконечно малые высших порядков, то оставшаяся часть, называемая главной, эквивалентна всей сумме.

Из первого свойства следует, что эквивалентные бесконечно малые могут сделаться приближенно равными со сколь угодно малой относительной погрешностью. Поэтому знак мы применяем как для обозначения эквивалентности бесконечно малых, так и для записи приближенного равенства их достаточно малых значений.

Непрерывность функции в точке и на множестве, непрерывность элементарных функций.

Функция f(x) называется непрерывной в точке , если предел слева равен пределу справа и совпадает со значением функции в точке , то есть:

Следствие: значение предела функции в точках непрерывности совпадает со значением функции в этих точках.

Все элементарные функции являются непрерывными в любой точке свой области определения.

К ним относятся:

а) степенная функция у=xⁿ;

б) показательная функция у=a^x;

в) логарифмическая функция у=log_a(x);

г) гиперболические функции sh(x), ch(x), th(x);

д) тригонометрические функции sin(x), cos(x), tg(x);

е) обратные тригонометрические функции arc sin(x), arc cos(x), arc tg(x).

1 2 3 4 56