Системы линейных алгебраических уравнений, формулы Крамера.

Рассмотрим систему линейных уравнений третьего порядка:

Запишем определитель системы, то есть определитель, состоящий из коэффициентов при переменных:

Пусть

Составим определители, заменяя в определителе системы столбец коэффициентов при выбранной переменной столбцом, состоящим из свободных членов:

,

Если определитель системы отличен от нуля, то системы линейных уравнений имеют единственное решение, которое определяется формулами

,

 

Таким образом,

•если определитель системы отличен от нуля, то система совместная определенная (имеет 1 решение)

•если определитель равен нулю, то возможны два случая:

а) если хотя бы один определитель , то система несовместна (решений нет)

б) если все определители , система совместная неопределенная (бесконечное множество решений)

3. Определение вектора, модуль вектора, коллинеарные и компланарные векторы, равенство векторов.

Вектором называется направленный отрезок, то есть отрезок, с указанными начальной и конечной точками

В

А

 

Модулем (длиной) вектора называется длина отрезка АВ -

 

Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными

Коллинеарные векторы могут быть сонаправлены или

противоположнонаправлены

Векторы, лежащие в одной плоскости или в параллельных плоскостях, называются компланарными

Два вектора называются равными, если они компланарны, коллинеарны и их длины равны

Линейные операции над векторами: сложение и вычитание векторов, умножение вектора на число, свойства этих операций.

I) Сложение векторов

а) правило треугольника

б) правило параллелограмма

в) правило ломаной

Пусть даны несколько векторов. Тогда, чтобы построить сумму этих векторов, нужно расположить эти векторы так, чтобы начало последующего совпадало с концом предыдущего, получив таким образом ломаную. Тогда вектор, замыкающий эту ломаную, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец с концом последнего, будет суммой векторов.

Свойства операции сложения:

1) коммуникативность a+b=b+a

2) ассоциативность a+(b+c)=(a+b)+с

3) a+0=a

II) Разностью векторов называется вектор такой, что

 

III) Умножение вектора на число

Произведением вектора на число , называется вектор , коллинеарный вектору , длина которого равна , причем

и

 

Умножение вектора на n - это растяжение этого вектора в n раз

 

Свойства умножения:

1) коммуникативность

2) ассоциативность

3) дистрибутивность

 

Проекция вектора на ось, свойства проекции.

Ось - направленная прямая, одно из направлений которой считается положительным, а другое отрицательным.

Величиной называется его длина, взятая с со знаком " +" , если направление вектора совпадает с положительным направлением оси, и со знаком " -" , если направление вектора совпадает с отрицательным направлением оси.

Проекцией является величина вектора , расположенного на , начало которого совпадает с проекцией начальной точки , а конец с проекцией конечной точки .

Свойства проекции:

1) проекция не изменяется при параллельном переносе оси

2) проекция равна длине AB, умноженного на косинус угла между вектором и осью

3) проекция суммы нескольких векторов равна сумме проекций слагаемых векторов

4) при умножении вектора на число, его проекция умножается на то же число.

Базис, разложение вектора по базису, координаты вектора, линейные операции над векторами в координатах.

Базис - максимальная линейно независимая система векторов.

(максимальная система - система, при добавлении в которую одного вектора, система становится линейно зависимая)

Базисом на плоскости называются два неколлинеарных вектора, а в пространстве три некомпланарных.

- базис

- произвольный вектор

Коэффициенты разложения - координаты вектора в базисе

Линейные операции над векторами:

Пусть в базисе заданы векторы и

1) Сложение и вычитание

2) Умножение вектора на число

,

Если векторы и коллинеарны, то их соответствующие векторы пропорциональны:

 

123456

Поделиться:

Популярное:

1. ERP II – ERP-системы второго поколения.
2. I. 49. Основные принципы разработки системы применения удобрений.
3. II. Травматические повреждения нервной системы
4. V2: Тема 7.5 Плащ. Центры первой и второй сигнальных систем. Функциональные системы головного мозга.
5. Абсолютное движение - движение тела относительно условно неподвижной системы отсчета.
6. Автоматизация ресторанов, гостиниц, кинокомплексов, баров, культурно-оздоровительных, бильярдных и боулинг центров на базе системы R-Keeper
7. Автоматизированные системы регистрации
8. Аксиома статики о равновесии системы двух сил. Аксиома параллелограмма сил.
9. Анализ мажоритарной избирательной системы
10. Анализ одноканальной системы массового обслуживания с ожиданием.
11. Анализ устойчивости по ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы.
12. Анализ эффективности работы системы охлажденияТЕПЛОВОЗА