Практическое занятие 4. Векторное и смешанное произведения векторов

Вопросы для повторения

1. Векторное произведение векторов.

2. Смешанное произведение векторов.

Определитель матрицы третьего порядка вычисляется следующим образом:

Метод Саррюса

Определитель матрицы третьего порядка представляет собой алгебраическую сумму шести слагаемых. Каждое слагаемое является произведением трех элементов, расположенных в разных столбцах и разных строках матрицы.

Знак «плюс» имеют произведение элементов, образующих треугольники со стороной, параллельной главной диагонали.

Знак «минус» имеют произведение элементов, принадлежащих побочной диагонали, и два произведения элементов, образующих треугольники со стороной, параллельной побочной диагонали.

С помощью формул разложения определителя матрицы по элементам строки или столбца вычисление определителя матрицы любого порядка сводится к вычислению определителей матриц второго или третьего порядков.

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , длина и направление которого определяется условиями:

1. , где ‑ угол между и ;

2. перпендикулярен каждому из векторов и ;

3. направлен так, что кратчайший поворот от к виден из его конца совершающимся против часовой стрелки.

В матричной форме формулу вычисления векторного произведения векторов можно записать в виде:

Смешанным произведением тройки векторов , и называется число, равное скалярному произведению вектора на векторное произведение . Если , и то:

или в свернутой форме:

Задача 35.

Компланарны ли векторы , и ? Если нет, то указать, какую тройку, левую или правую, они образуют, и вычислить объем параллелепипеда, построенного на этих векторах.

Решение:

, т.е. заданные векторы некомпланарны, а объем параллелепипеда, построенного на этих векторах . Так как , то они образуют правую тройку.

Задача 36.

Векторы и служат сторонами треугольника . Найти высоту .

Решение:

Из геометрического смысла векторного произведения:

С другой стороны,

Задача 37.

Вычислить произведение .

Решение:

Используя свойство линейности смешанного произведения, получаем:

в силу компланарности каждой из этих троек , следовательно:

Задача 38.

Даны вершины тетраэдра , , , . Найти его высоту (длину), опущенную из вершины .

Решение:

Так как , , а , то:

С другой стороны, . Находим:

Следовательно, .

Практическое занятие 5. Прямая и плоскость

Вопросы для повторения

1. Общее уравнение прямой.

2. Понятие направляющего и нормального вектора прямой.

3. Каноническое уравнение прямой.

4. Векторное параметрическое уравнение прямой.

5. Уравнение прямой, проходящей через две точки.

6. Расчет угла между прямыми.

7. Условия пересечения, параллельности и перпендикулярности прямых.

8. Понятие поверхности -го порядка.

9. Общее уравнение плоскости.

10. Понятие нормальноговектора плоскости.

11. Уравнение плоскости в отрезках.

12. Нормальное уравнение плоскости.

13. Вычисление отклоненияточки от плоскости.

Задача 39.

Определить площадь треугольника, образованного прямой с осями координат.

Ответ: 20 кв.ед.

Задача 40.

Написать уравнение прямой, проходящей через точку и отсекающей от координатного угла треугольник площадью, равной 3.

Указание:

Использовать уравнение и формулу .

Ответ: или .

Задача 41.

Прибыль от продажи 50 шт. товара составляет 50 ден. ед., 100 шт. – 200 ден. ед. Определить прибыль от продажи 500 шт. товара, при условии, что функция прибыли линейна.

Ответ: 1400 ден. ед.

Задача 42.

Написать уравнение прямой, проходящей через начало координат и составляющей с осью угол .

Ответ: .

Задача 43.

Показать, что прямые и перпендикулярны.

Решение:

Преобразуем уравнения прямых и , т.е. и . Поскольку то прямые перпендикулярны.

Задача 44.

Написать уравнение прямых, проходящих через точку под углом к прямой .

Ответ: и .

Задача 45.

Показать, что прямые и пересекаются, и найти координаты точки пересечения.

Решение:

Так как , т.е. , то прямые пересекаются. В результате решения системы уравнений

находятся координаты точки пересечения , .

Задача 46.

Издержки перевозки двумя средствами транспорта выражаются функциями и , где – расстояние перевозки в сотнях километров, а – транспортные расходы в денежных единицах. Определить, начиная с какого расстояния, более выгодным становится второе средство.