Практическое занятие 7. Матрицы

Вопросы для повторения

1. Транспонирования матриц.

2. Операции сложения и вычитания матриц.

3. Операции умножения и возведения в степень матриц.

4. Понятие обратной матрицы.

 

Задача 74.

Найти сумму матриц:

, .

Решение:

.

Задача 75.

Даны три матрицы:

, , .

Найти матрицу .

Решение:

, , .

.

 

Задача 76.

Найти произведение матриц и :

1. , ;

2. , ;

3. , .

Ответ:

1. , ;

2. , ;

3. , .

Способ нахождения обратной матрицы

Пусть – невырожденная матрица. Припишем к ней справа (или слева) единичную матрицу . Далее с помощью элементарных преобразований над строками сдвоенной матрицы левая половина приводится к единичной матрице. Тогда сдвоенная матрица приобретает вид .

Задача 77.

Для матрицы найти обратную матрицу и проверить равенство .

Решение:

При описанном выше способе нет необходимости специально проверять невырожденность матрицы . Это будет вытекать из самой возможности приведения к .

Практическое занятие 8. Определитель и ранг матрицы

Вопросы для повторения

1. Определитель - го порядка.

2. Свойства определителей.

3. Правила нахождения определителей - го порядка.

4. Понятие ранга матрицы.

 

Задача 78.

Упростить выражение: .

Решение:

Задача 79.

Решить уравнение: .

Решение:

.

Задача 80.

Вычислить определитель: .

Решение:

.

 

Задача 81.

Для данной матрицы найти обратную

1. методом исключения:

2. методом присоединенной матрицы.

Решение:

1.

;

2. ; .

Задача 82.

Решить матичное уравнение

1. методом исключения;

2. методом обратной матрицы.

Решение:

1.

;

2. Введем обозначение , тогда уравнение запишется в виде . Умножив слева это уравнение на обратную матрицу , которая существует, поскольку .

.

Тогда .

Задача 83.

Вычислить определитель третьего порядка .

Решение:

Используя формулу Саррюса, получим:

.

Задача 84.

Найти ранг матрицы методом элементарных преобразований:

.

Решение:

Приведем матрицу к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований:

Полученная матрица содержит две ненулевые строки, значит, ее ранг равен 2. Следовательно, ранг исходной матрицы также равен 2.

Задача 85.

Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров и указать один из базисных миноров .

Решение:

Так как у матрицы A есть ненулевые элементы, то . Найдем какой-либо ненулевой минор 2-го порядка (если он существует). Таким минором является, например .

Значит, . Вычислим миноры третьего порядка, окаймляющие :

;

Все миноры 3-го порядка, окаймляющие , равны нулю, следовательно . Итак, .

Одним из базисных миноров является .

Практическое занятие 9. Многочлены

Вопросы для повторения

1. Сложение и умножение многочленов.

2. Теорема о делении с остатком.

3. Понятие корня многочлена.

4. Понятие кратности корня многочлена.

5. Схема Горнера.

6. Соотношение степени многочлена и числа его корней.

7. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие.

8. Метод неопределенных коэффициентов.

 

Задача 86.

Выполнить деление с остатком на .

Решение:

Задача 87.

на .

Решение:

Задача 88.

на .

Ответ: (Частное , остаток ).

Задача 89.

на .

Ответ: .

Задача 90.

При каком условии полином делится на полином .

Ответ: .

Задача 91.

При каком условии полином делится на полином .

Ответ:

Если , то ; если , то .

Схема Горнера

Пусть .

Если , то коэффициенты многочлена и проще всего найти по схеме Горнера.

Задача 92.

Пользуясь схемой Горнера вычислить .

, .

Ответ:

		-3		-10

.

Задача 93.

Пользуясь схемой Горнера вычислить .

, .

Ответ:

			-3	-4
-1			-4

.

Задача 94.

Пользуясь схемой Горнера вычислить

, .

Ответ:

		-8		-50
		-4		-18

.

Задача 95.

Пользуясь схемой Горнера вычислить

, .

Ответ:

.

Задача 96.

Разложить на простейшие дроби .

Ответ: .

Задача 97.

Разложить на простейшие дроби .

Ответ: .

Задача 98.

Разложить на простейшие дроби .

Ответ: .

Задача 99.

Разложить на простейшие дроби (не вычисляя коэффициентов) .

Ответ:

.

Задача 100.

Разложить на простейшие дроби (не вычисляя коэффициентов) .

Ответ: .

Практическое занятие 10. Квадратичные формы

Вопросы для повторения

1. Построение матрицы квадратичной формы.

2. Канонический базис квадратичной формы и приведение квадратичной формы к каноническому виду.

3. Канонический базис Якоби.

4. Критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы.

Задача 101.

Записать матрицу для квадратичной формы:

1.

Ответ: ;

2.

Ответ: .

Задача 102.

Записать квадратичную форму для матриц

.

Задача 103.

Исследовать на знакоопределенность квадратичные формы:

1.

Ответ: знаконеопределена;

2.

Ответ: знаконеопределена;

3.

Ответ: знаконеопределена;

4.

Ответ: положительноопределена;

5.

Ответ: знаконеопределена.

Задача 104.

Найти все значения параметра , при которых положительно определены следующие квадратичные формы:

1.

Ответ: ;

2.

Ответ: ;

3.

Ответ: Не существует.

Задача 105.

Найти все значения параметра , при которых отрицательно определены следующие квадратичные формы:

1.

Ответ: Не существует;

2.

Ответ: ;

3.

Ответ: .

Задача 106.

Привести к каноническому виду квадратичные формы:

1. ;

2. ;

3. .

Предыдущая1234567Следующая

Поделиться:

Популярное:

1. III. Практическое использование водорослей.
2. А. насыщение минеральными солями органической матрицы зуба
3. Второе практическое занятие. Задачи.
4. Дополнительные возможности и практическое применение метода линейного программирования
5. Идея практического метода вычисления ранга матрицы
6. Китайская - практическое устроение жизни.
7. Лабораторно – практическое занятие № 6.
8. Лабораторно-практическое занятие
9. Лабораторно-практическое занятие № 3.
10. Матрицы и математические действия с ними
11. Матрицы, определители и системы линейных уравнений
12. Матрицы. Линейные операции над ними и их свойства.