Практическое занятие 6. Кривые второго порядка

Вопросы для повторения

1. Уравнение эллипса, каноническое уравнение эллипса.

2. Понятия фокусовэллипса; фокальных радиусов; директрисы иэксцентриситетаэллипса.

3. Каноническое уравнениегиперболы.

4. Фокусы и фокальныерадиусыгиперболы, асимптота гиперболы.

5. Каноническое уравнение параболы.

6. Приведение уравнения второй степени к каноническому виду.

Задача 52.

Написать уравнение окружности с центром и радиусом, равным 5. Определить принадлежность точек , , этой окружности.

Ответ:

; Точки и принадлежат окружности, а точка не принадлежит.

Задача 53.

Найти координаты центра и радиус окружности .

Решение:

Задача 54.

Написать уравнение касательных к окружности , проходящих через начало координат.

Решение:

Уравнение касательной , т.к. прямая проходит через начало координат.

Касательная к окружности имеет с ней одну общую точку. Чтобы найти эту точку, необходимо решить систему уравнений:

Подставляя второе уравнение в первое, получаем:

Это уравнение имеет два равных корня, когда дискриминант равен нулю, т.е.

откуда , .

Эллипс

Эллипсом называется линия, состоящая из всех точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек и есть величина постоянная (большая, чем расстояние между точками и ). Координаты точек и , соответственно и .

Каноническое уравнение эллипса: .

Число называется эксцентриситетом эллипса.

Фокальными радиусами точки эллипса называются отрезки прямых, соединяющие эту точку с фокусами и . Их длины и задаются формулами и . Прямые называются директрисами эллипса. Директриса называется левой, а ‑ правой.

Задача 55.

Дано уравнение эллипса .

Найти:

1. длины его полуосей;

2. координаты фокусов;

3. эксцентриситет эллипса;

4. уравнения директрис и расстояния между ними;

5. точки эллипса, расстояние от которых до левого фокуса равно 12.

Решение:

Запишем уравнение эллипса в каноническом виде: .

Отсюда . Используя соотношение , находим . Следовательно, .

По формуле найдем .

Уравнения директрис имеют вид , расстояние между ними .

По формуле находим абсциссу точек, расстояние от которых до точки равно 12:

. Подставляя значение x в уравнение эллипса, найдем ординаты этих точек: .

Таким образом, условию задачи удовлетворяет точка A(7; 0).

Задача 56.

Составить уравнение эллипса, проходящего через точки .

Решение:

Уравнение эллипса ищем в виде .

Так как эллипс проходит через точки , то их координаты удовлетворяют уравнению эллипса: . Умножая второе равенство на (-4) и складывая с первым, находим .

Подставляя найденное значение в первое уравнение, найдем . Таким образом, искомое уравнение .

Задача 57.

Как расположены на плоскости точки, координаты которых удовлетворяют условиям:

; .

Гипербола

Гиперболой называется линия, состоящая из всех точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух данных точек и есть величина постоянная (не равная нулю и меньшая, чем расстояние между точками и ).

Точки и называются фокусами гиперболы. Пусть по-прежнему расстояние между фокусами равно . Модуль расстояний от точек гиперболы до фокусов и обозначим через . По условию, .

где ‑ координаты произвольной точки гиперболы,

Уравнение называется каноническим уравнением гиперболы.

У гиперболы две асимптоты .

Эксцентриситетом гиперболы называется число . Для любой гиперболы .

Фокальными радиусами точки гиперболы называются отрезки прямых, соединяющие эту точку с фокусами и . Их длины и задаются формулами:

· Для правой ветви ,

· Для левой ветви .

Прямые называются директрисами гиперболы. Как и в случае эллипса, точки гиперболы характеризуются соотношением .

Задача 58.

Найти расстояние между фокусами и эксцентриситет гиперболы .

Ответ: .

Задача 59.

Написать каноническое уравнение гиперболы, если ( ). Определить эксцентриситет гиперболы.

Ответ: .

Задача 60.

Написать каноническое уравнение гиперболы, симметричной относительно осей координат, если она проходит через точку , а эксцентриситет равен .

Ответ: .

Задача 61.

Найти уравнения гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы в вершинах эллипса .

Ответ: .

Задача 62.

Определить геометрическое место точек , расстояния от которых до прямой вдвое меньше, чем до точки .

Ответ: .

Задача 63.

Составить уравнение гиперболы симметричной относительно системы координат, если она проходит через точки , .

Ответ: .

Задача 64.

Составить уравнение гиперболы, если ее асимптоты заданы уравнением , и гипербола проходит через точку .

Ответ: .

Задача 65.

Как расположены на плоскости точки, координаты которых удовлетворяют условиям:

Парабола

Параболой называется линия, состоящая из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки (фокуса) и данной прямой (директрисы).

Для вывода канонического уравнения параболы ось проводят через фокус перпендикулярно директрисе в направлении от директрисы к фокусу; начало координат берут в середине отрезка между фокусом и точкой пересечения оси с директрисой . Если обозначить через расстояние фокуса от директрисы, то и уравнение директрисы будет иметь вид .

В выбранной системе координат уравнение параболы имеет вид: . Это уравнение называется каноническим уравнением параболы.

Задача 66.

Составить каноническое уравнение параболы, вершина которой лежит в начале координат и которая проходит через точку F(2; -4); ox - ось симметрии.

Ответ: .