Практическое занятие 1. Множества. Числовые множества

О.Б. Плющ

Б.В. Новыш

Практикум
по высшей математике

Задания и упражнения

для практических занятий и

занятий на персональном компьютере

Часть I

Минск

УДК 51

ББК 22.1

П40

Серия основана в 2001 году

Рекомендовано к изданию Комиссией по приемке и аттестации электронных версий учебных и учебно-методических материалов Академии управления при Президенте Республики Беларусь.

Печатается по решению редакционно-издательского совета Академии управления при Президенте Республики Беларусь.

Плющ О.Б., Новыш Б.В.

П40 Практикум по высшей математике. Задания и упражнения для практических занятий и занятий на персональном компьютере. Часть I. Элементарная математика, аналитическая геометрия, линейная алгебра. / Плющ О.Б. – Мн.: Академия управления при Президенте Республики Беларусь, 2004. – 85 с.

ISBN 985-457-279-Х (ч.I)

ISBN 985-457-280-3

Курс лекций предназначен для студентов системы открытого образования Академии управления при Президенте Республики Беларусь, обучающихся по специальности " Государственное управление и экономика".

УДК 51

ББК 22.1

ISBN 985-457-279-Х (ч.I)	ã	Плющ О.Б., 2004
ISBN 985-457-280-3	ã	Новыш Б.В., 2004
	ã	Академия управления при Президенте Республики Беларусь, 2004

СОДЕРЖАНИЕ

Задания для практических занятий 5

Практическое занятие 1. Множества. Числовые множества 5

Вопросы для повторения 5

Отображения 7

Практическое занятие 2. Комплексные числа 10

Вопросы для повторения 10

Практическое занятие 3. Векторы 16

Вопросы для повторения 16

Практическое занятие 4. Векторное и смешанное произведения векторов 22

Вопросы для повторения 22

Метод Саррюса 23

Практическое занятие 5. Прямая и плоскость 27

Вопросы для повторения 27

Практическое занятие 6. Кривые второго порядка 30

Вопросы для повторения 30

Эллипс 32

Гипербола 34

Парабола 37

Практическое занятие 7. Матрицы 40

Вопросы для повторения 40

Способ нахождения обратной матрицы 42

Практическое занятие 8. Определитель и ранг матрицы 43

Вопросы для повторения 43

Практическое занятие 9. Многочлены 48

Вопросы для повторения 48

Схема Горнера 50

Практическое занятие 10. Квадратичные формы 52

Вопросы для повторения 52

Практическое занятие 11. Системы линейных уравнений 55

Вопросы для повторения 55

Решение задач линейной алгебры и линей-
ного программирования в таблицах Excel 58

Практическое занятие 1. Простейшие операции над матрицами в Excel 58

Сложение матриц 58

Умножение матрицы на число 59

Вычитание матриц 60

Умножение матрицы на матрицу 60

Практическое занятие 2. Транспонирование, вычисление определителя и обращение матриц. Решение систем линейных уравнений в Excel 63

Транспонирование матрицы 63

Скалярное произведение векторов 65

Нахождение значения квадратичной формы 66

Вычисление определителя матрицы 68

Векторное произведение векторов 69

Обращение матриц 69

Решение определенной системы линейных уравнений в Excel 71

Метод обратной матрицы 71

Метод Крамера 72

Практическое занятие 3. Решение задач линейного программирования в Excel 74

Прямая задача линейного программирования 74

Двойственная задача 81

Задания для практических занятий

Практическое занятие 1. Множества. Числовые множества

Вопросы для повторения

1. Основные операции над множествами.

2. Понятие отображения.

3. Инъективное, сюръективное и биективное отображения.

4. Вычисление числа размещений, перестановок и сочетаний.

Множеством-степенью множества называется множество всех подмножеств множества . Множество-степень конечного –элементного множества содержит элементов.

Суммой или объединением двух или произвольного (даже бесконечного) числа заданных множеств называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из заданных множеств.

Произведением или пересечением двух или произвольного (даже бесконечного) числа заданных множеств называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих каждому из заданных множеств.

Разностью множеств и или дополнением до называется множество, состоящее только из тех элементов , которые не входят в .

Взятием дополнения называют разность (дополнение до ) обозначают как .

Декартовым произведением двух исходных множеств и называется множество , составленное из упорядоченных пар ( ).

Задача 1.

Для множества перечислить все элементы множества-степени .

Решение:

Задача 2.

Определить число элементов множества-степени , содержащих элементов, если множество содержит элементов.

Ответ: .

Задача 3.

Описать каждую из областей рисунка с помощью операций объединения, пересечения и дополнения.

Решение:

Задача 4.

Найти , , , , если , .

Решение:

Отображения

Отображение есть какое-либо правило или закон соответствия множеств.

Элемент называется образом элемента при отображении , а элемент называется прообразом элемента при этом отображении.

Отображение называется сюръективным, когда каждый элемент множества ( ) имеет хотя бы один прообраз множества ( ), т.е. , или .

Отображение называется инъективным, когда каждый элемент множества ( ) является образом лишь одного элемента множества ( ), т.е. образы любых двух различных элементов множества различны, т.е. из следует .

Отображение называется биективным или взаимно однозначным, когда оно одновременно инъективно и сюръективно, т.е. каждый элемент множества является образом одного и только одного элемента множества .

Задача 5.

Для указанных отображений найти образ 1, прообраз 1 и определить тип отображения.

Ответ: ;

10.

Ответ: ;

11.

Ответ: ;

12.

Ответ: .

Если заданы преобразования и , то преобразование , являющееся результатом последовательного выполнения сначала преобразования , а затем и преобразования , называется произведением преобразований и : .

Для преобразований , и одного и того же множества справедливы следующие законы:

· ;

· .

Задача 6.

Найти , , , , если

Ответ:

Вопросы для повторения

1. Понятие комплексного числа.

2. Понятие мнимой единицы (числа ).

3. Основные операции над комплексными числами.

4. Представление комплексного числа в тригонометрической форме.

5. Понятие модуля комплексного числа.

6. Понятие аргумента комплексного числа.

7. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме.

8. Формула Муавра.

Множеством комплексных чисел называется множество , которое представляет собой множество всех двучленов вида .

Мнимой единицей называется корень уравнения или .

Действительное число называется действительной частью комплексного числа , ‑ мнимой частью или коэффициентом при мнимой единице.

Число называется сопряженным числу .

Расстояние от точки до начала координат есть действительное неотрицательное число , которое называется модулем комплексного числа и находится по формуле .

Угол между положительным направлением действительной оси и радиус-вектором точки называется аргументом и определяется из равенств , . Для числа 0 аргумент не определен, для остальных комплексных чисел аргумент определяется с точностью до целых кратных , при этом положительные углы отсчитываются против часовой стрелки.

Тригонометрической формой комплексного числа называется запись числа в виде:

Показательной формой комплексного числа называется запись числа в виде .

Формула возведения комплексного числа в степень ( формула Муавра):

Формула вычисления корней степени комплексного числа :

Задача 7.

Следующие комплексные числа изобразить векторами на комплексной плоскости и записать в тригонометрической и показательной форме:

Ответ: ;

Ответ: .

Задача 8.

Даны комплексные числа , и . Найти .

Решение:

Задача 9.

Вычислить в алгебраической, тригонометрической, и показательной формах.

Решение:

, ,

Задача 10.

Докажите, что:

Указание:

Результат предыдущей задачи обобщить на случай и сравнить алгебраические и тригонометрические выражения для действительной и мнимой частей.

Задача 11.

Найти .

Решение:

;

Задача 12.

Найти корни уравнения .

Решение:

Задача 13.

Зная, что является одним из значений , записать все значения .

Ответ:

Задача 14.

Доказать формулы Эйлера:

Задача 15.

Найти , , и , если , а .

Ответ:

, , и .

Задача 16.

Решить уравнения:

1)	Ответ:
2)	Ответ:

Задача 17.

Пусть , при котором . Найти: , , , , . Определить тип отображения .

Ответ:

; ; ; ; . Отображение не инъективное и не сюръективное.

Задача 18.

Пользуясь формулой Муавра, доказать справедливость выражения: .

Указание:

Использовать формулу .

Задача 19.

Пользуясь формулой Муавра, выразить через и .

Ответ:

Задача 20.

Используя формулы Эйлера, найти суммы:

1.	Ответ:
2.	Ответ:

Вопросы для повторения

1. Модуль вектора, формула расстояния между двумя точками.

2. Понятие коллинеарности векторов.

3. Понятие компланарности векторов.

4. Понятие проекции вектора на ось.

5. Линейные операции над векторами.

6. Скалярное произведение векторов.

7. Векторное произведение векторов.

8. Смешанное произведение векторов.

Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной или на параллельных прямых, и компланарными, если они лежат на одной или на параллельных плоскостях.

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором или ортом. Орт обозначатся .

Длина вектора , заданного координатами своих концов, т.е. расстояние между точками и вычисляется по формуле:

Скалярными произведением двух векторов и называется число, равное произведению их длин на косинус угла между ними: .

Если векторы заданы своими координатами и , т.е. , , то, перемножая эти векторы скалярно и используя таблицу умножения ортов, получим выражение скалярного произведения через координаты векторов:

Задача 21.

Даны координаты двух точек и . Найти координаты вектора и его длину.

Решение:

Координаты вектора:

Длина вектора .

Задача 22.

Даны две точки и . Найти координаты вектора .

Решение:

Задача 23.

Найти длину вектора и его направляющие косинусы.

Решение:

; ; .

Задача 24.

Определить, при каких и векторы и коллинеарны.

Ответ: .

Задача 25.

Даны три вершины параллелограмма : ; ; . Найти его четвертую вершину .

Ответ: .

Задача 26.

Векторы и образуют угол , причем , . Определить и .

Ответ: .

Задача 27.

Найти координаты и длину вектора , если , , .

Ответ: .

Задача 28.

Дан вектор , образующий с осью угол , и вектор , образующий с той же осью угол . Найти проекцию суммы , где , на ось , если известно, что , .

Решение:

Так как проекция суммы векторов равна сумме их проекций, необходимо найти проекцию каждого слагаемого на ось .

;

Задача 29.

Разложить вектор по векторам и .

Решение:

; ; ; .

Задача 30.

Найти проекцию вектора на ось, составляющую с координатными осями равные острые углы.

Ответ: .

Задача 31.

Найти проекцию вектора на вектор .

Ответ: .

Задача 32.

Даны вершины четырехугольника ; ; ; . Доказать, что его диагонали взаимно перпендикулярны.

Решение:

;

Задача 33.

Некоторая фирма продает изделия в шести регионах по ценам, которые характеризуются вектором , а вектор характеризует объемы продаж по регионам. Найти объем реализации изделий.

Решение:

Задача 34.

Фирма продает изделия в четырех регионах по ценам, которые характеризуются вектором , а вектор характеризует объемы продаж по регионам. Найти прибыль от реализации изделий, если издержки составляют 2000 денежных единиц.

Решение:

Вопросы для повторения

1. Векторное произведение векторов.

2. Смешанное произведение векторов.

Определитель матрицы третьего порядка вычисляется следующим образом:

Метод Саррюса

Определитель матрицы третьего порядка представляет собой алгебраическую сумму шести слагаемых. Каждое слагаемое является произведением трех элементов, расположенных в разных столбцах и разных строках матрицы.

Знак «плюс» имеют произведение элементов, образующих треугольники со стороной, параллельной главной диагонали.

Знак «минус» имеют произведение элементов, принадлежащих побочной диагонали, и два произведения элементов, образующих треугольники со стороной, параллельной побочной диагонали.

С помощью формул разложения определителя матрицы по элементам строки или столбца вычисление определителя матрицы любого порядка сводится к вычислению определителей матриц второго или третьего порядков.

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , длина и направление которого определяется условиями:

1. , где ‑ угол между и ;

2. перпендикулярен каждому из векторов и ;

3. направлен так, что кратчайший поворот от к виден из его конца совершающимся против часовой стрелки.

В матричной форме формулу вычисления векторного произведения векторов можно записать в виде:

Смешанным произведением тройки векторов , и называется число, равное скалярному произведению вектора на векторное произведение . Если , и то:

или в свернутой форме:

Задача 35.

Компланарны ли векторы , и ? Если нет, то указать, какую тройку, левую или правую, они образуют, и вычислить объем параллелепипеда, построенного на этих векторах.