|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
|
|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Практическое занятие 2. Комплексные числа
Вопросы для повторения 1. Понятие комплексного числа. 2. Понятие мнимой единицы (числа 3. Основные операции над комплексными числами. 4. Представление комплексного числа в тригонометрической форме. 5. Понятие модуля комплексного числа. 6. Понятие аргумента комплексного числа. 7. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме. 8. Формула Муавра. Множеством комплексных чисел называется множество Мнимой единицей Действительное число Число Расстояние от точки Угол между положительным направлением действительной оси и радиус-вектором точки Тригонометрической формой комплексного числа
Показательной формой комплексного числа Формула возведения комплексного числа в степень
Формула вычисления корней степени
Задача 7. Следующие комплексные числа изобразить векторами на комплексной плоскости и записать в тригонометрической и показательной форме: 1. Ответ: 2. Ответ: 3. Ответ: Задача 8. Даны комплексные числа Решение:
Задача 9. Вычислить Решение:
Задача 10. Докажите, что: 1. 2. Указание: Результат предыдущей задачи обобщить на случай Задача 11. Найти Решение:
Задача 12. Найти корни уравнения Решение:
Задача 13. Зная, что Ответ: Задача 14. Доказать формулы Эйлера: 1. 2. Задача 15. Найти Ответ:
Задача 16. Решить уравнения:
Задача 17. Пусть Ответ:
Задача 18. Пользуясь формулой Муавра, доказать справедливость выражения: Указание: Использовать формулу Задача 19. Пользуясь формулой Муавра, выразить Ответ:
Задача 20. Используя формулы Эйлера, найти суммы:
Практическое занятие 3. Векторы Вопросы для повторения 1. Модуль вектора, формула расстояния между двумя точками. 2. Понятие коллинеарности векторов. 3. Понятие компланарности векторов. 4. Понятие проекции вектора на ось. 5. Линейные операции над векторами. 6. Скалярное произведение векторов. 7. Векторное произведение векторов. 8. Смешанное произведение векторов.
Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной или на параллельных прямых, и компланарными, если они лежат на одной или на параллельных плоскостях. Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором или ортом. Орт обозначатся Длина вектора
Скалярными произведением Если векторы заданы своими координатами
Задача 21. Даны координаты двух точек Решение: Координаты вектора:
Длина вектора Задача 22. Даны две точки Решение:
Задача 23. Найти длину вектора Решение:
Задача 24. Определить, при каких Ответ: Задача 25. Даны три вершины параллелограмма Ответ: Задача 26. Векторы Ответ: Задача 27. Найти координаты и длину вектора Ответ: Задача 28. Дан вектор Решение: Так как проекция суммы векторов равна сумме их проекций, необходимо найти проекцию каждого слагаемого на ось
Задача 29. Разложить вектор Решение:
Задача 30. Найти проекцию вектора Ответ: Задача 31. Найти проекцию вектора Ответ: Задача 32. Даны вершины четырехугольника Решение:
Задача 33. Некоторая фирма продает изделия в шести регионах по ценам, которые характеризуются вектором Решение:
Задача 34. Фирма продает изделия в четырех регионах по ценам, которые характеризуются вектором Решение:
Популярное:
|
Последнее изменение этой страницы: 2016-09-01; Просмотров: 832; Нарушение авторского права страницы
).
, которое представляет собой множество всех двучленов вида 
.
или 
.
называется действительной частью комплексного числа 
, 
‑ мнимой частью или коэффициентом при мнимой единице.
называется сопряженным числу 
до начала координат есть действительное неотрицательное число 
, которое называется модулем комплексного числа 
.
, 
. Для числа 0 аргумент не определен, для остальных комплексных чисел аргумент определяется с точностью до целых кратных 
, при этом положительные углы отсчитываются против часовой стрелки.
называется запись числа в виде: 
.
.
( формула Муавра): 
.
.
; 
; 
.
, 
и 
. Найти 
.
.
в алгебраической, тригонометрической, и показательной формах.
, 
, 
и сравнить алгебраические и тригонометрические выражения для действительной и мнимой частей.
.
; 
; 
; 
; 
.
.
является одним из значений 
, записать все значения 
.
, 
, 
и 
, если 
, а 
.
, 
, 
и 
.
, при котором 
. Найти: 
, 
, 
, 
, 
. Определить тип отображения 
.
; 
; 
; 
; 
. Отображение 
.
.
через 
и 
.
.
.
, заданного координатами своих концов, т.е. расстояние между точками 
и 
вычисляется по формуле: 
.
двух векторов 
и 
называется число, равное произведению их длин на косинус угла между ними: 
.
и 
, т.е. 
, 
, то, перемножая эти векторы скалярно и используя таблицу умножения ортов, получим выражение скалярного произведения 
через координаты векторов: 
.
и 
. Найти координаты вектора 
и его длину.
.
и 
. Найти координаты вектора 
.
.
и его направляющие косинусы.
.
; 
; 
.
векторы 
и 
коллинеарны.
.
: 
; 
; 
. Найти его четвертую вершину 
.
.
и 
образуют угол 
, причем 
, 
. Определить 
и 
.
.
, если 
, 
, 
.
.
угол 
, и вектор 
. Найти проекцию суммы 
, где 
, на ось 
, 
.
; 
; 
.
по векторам 
и 
.
; 
; 
; 
.
.
на ось, составляющую с координатными осями равные острые углы.
.
на вектор 
.
.
; 
; 
; 
. Доказать, что его диагонали взаимно перпендикулярны.
; 
; 
.
, а вектор 
характеризует объемы продаж по регионам. Найти объем реализации изделий.
.
, а вектор 
характеризует объемы продаж по регионам. Найти прибыль от реализации изделий, если издержки составляют 2000 денежных единиц.