ТЕМА 4. ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

Рассмотрим функцию двух переменных , определенную в некоторой области , являющейся частью плоскости Частной производной от функции по независимой переменной х называется производная

вычисленная при постоянном у.

Частной производной по у называется производная

вычисленная при постоянном х.

Для частных производных справедливы обычные правила и формулы дифференцирования.

При изменении и частные производные сами являются функциями, и можно вычислять частные производные от этих функций. Частные производные второго порядка обозначают следующим образом:

Последнюю из трех частных производных второго порядка называют смешанной производной. Если частные производные второго порядка непрерывны в точке , тогда , то есть не важно, в какой последовательности вычисляется смешанная производная.

Градиентом функции в точке называется вектор, составленный из частных производных:

Этот вектор указывает в точке М₀ направление наискорейшего роста функции .

Для функции двух переменных вводится понятие производной по направлению, аналогичное понятию частной производной, когда приращение аргумента задается вдоль данного направления. Для любого направления, задаваемого вектором , производная функции в точке по направлению этого вектора может быть выражена следующим образом:

где знак модуля означает длину вектора градиента в точке , а ─ угол между градиентом и направлением .

Пример. Найти градиент функции в точке .

Решение. Рассматривая у как постоянную величину, дифференцируем функцию по переменной х.

Аналогично, рассматривая х как постоянную величину, получаем:

Находим значения частных производных в точке :

Таким образом,

Контрольные задания

Найти

градиент функции Z в точке М.

4.1 .

4.2

4.3

4.4

4.5

4.6

4.7

4.8

4.9

4.10

4.11

4.12

4.13

4.14

4.15

4.16

4.17

4.18

4.19

4.20

Указания к заданию 5

ТЕМА 5. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Функция называется первообразной для функции на некотором промежутке, если для всех значений из этого промежутка выполняется равенство .

Например, функция является первообразной для функции , так как при любом .

Можно заметить, что первообразной для является не только, но и функция + С, где С ─ любая постоянная. Это справедливо для любой функции , имеющей первообразную.

Теорема. Пусть является первообразной для функции в некотором интервале ; тогда функция , где С ─ любая постоянная, также будет первообразной для .

Из теоремы следует, что любые две первообразные для одной и той же функции могут отличаться друг от друга только на постоянное слагаемое.

Если ─ первообразная для функции , то совокупность всех первообразных , где С ─ произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом от функции и обозначается символом . Таким образом, = .

Функция называется подынтегральной функцией, произведение ─ подынтегральным выражением, переменная - переменной интегрирования, а символ - знаком интеграла.

Операция нахождения неопределенного интеграла от данной функции называется интегрированием функции .Операция интегрирования является обратной к операции дифференцирования.

Свойства неопределенного интеграла

4. , ,

5. Если первообразная для , тогда

Таблица основных неопределенных интегралов

1. ;

7. ,

9. ,

10. ,

11.

12.

13.

14.

Интегралы от некоторых элементарных функций не являются элементарными функциями, например:

Основные методы интегрирования

Непосредственное интегрирование

Непосредственным интегрированием называется вычисление интегралов путем использования таблицы основных неопределенных интегралов, их свойств, а также тождественных преобразований подынтегрального выражения.

Пример1. Найти .

Решение.

Пример2. Найти .

Решение. Воспользуемся свойством 5:

= .

Пример2. Найти. .

Решение Воспользуемся формулами тригонометрии:

= .

123	Поделиться: