ТЕМА 3. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА

Внутренняя точка интервала называется точкой максимума (минимума) функции , если существует такое , что для всех из интервала , содержащегося внутри интервала , выполняется неравенство ( ). Точки максимума и минимума называют точками экстремума (локального экстремума) функции. Точки, в которых производная обращается в ноль, называют стационарными точками.

Приведем формулировки теорем, используемых при исследовании функций.

Достаточное условие строгого возрастания (убывания) функции.

Если ( ) в интервале , то строго возрастает (убывает) в этом интервале.

Промежутки, в которых функция возрастает (убывает), называются промежутками монотонности функции. Чтобы найти промежутки монотонности функции необходимо:

1. найти область определения функции;

2. найти производную функции;

3. приравнять производную к нулю и определить ее корни (стационарные точки), а также найти точки, в которых производная не существует, а функция определена;

4. определить знак производной в каждом из промежутков, на которые разбивается полученными точками область определения функции.

Необходимое условие экстремума функции

Если функция дифференцируема в точке и достигает в этой точке максимума (минимума), то .

Точками экстремума могут быть только те точки, в которых производная равна нулю, либо не существует. Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называют точками, подозрительными на экстремум, или критическими точками.

Достаточные условия экстремума функции

Если при переходе через точку , подозрительную на экстремум, производная меняет знак, то точка является точкой экстремума. При этом если в некоторой окрестности точки для и для , то является точкой максимума. Если же в этой окрестности для и для , то – точка минимума.

Другим достаточным признаком существования экстремума в стационарной точке является условие (тогда это точка максимума) и (тогда это точка минимума). При этом считается, что имеет непрерывную вторую производную в некоторой окрестности точки .

График функции называетсявыпуклым в интервале , если он расположен ниже касательной проведенной в любой точке этого интервала (рис.1)

График функции называется вогнутымв интервале , если он расположен выше касательной, проведенной в любой точке этого интервала. (рис. 2)

Достаточные условия выпуклости (вогнутости) графика функции

Если в интервале , то график функции является выпуклым в этом интервале; если же , то в интервале график функции вогнутый.

Точка графика функции, отделяющая его выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба.Если ─ абсцисса точки перегиба графика функции , то вторая производная равна нулю или не существует в этой точке. Точки, в которых или не существует, называются критическими точками второго рода.

Если при переходе через критическую точку второго рода вторая производная меняет знак, то точка есть точка перегиба.

Прямая l называется асимптотой кривой y = f(x), если расстояние точки М(х, у) на кривой от прямой l стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки по кривой от начала координат, (т.е. при стремлении хотя бы одной из координат точки к бесконечности).

Прямая являетсявертикальной асимптотой кривой y = f(x), если:

или .

Прямая является горизонтальной асимптотой кривой y = f (x), если существует или .

Прямая является наклонной асимптотой кривой y = f(x), если существуют пределы:

или .

При исследовании функции и построении ее графика удобно придерживаться следующего плана.

1. Найти область определения функции.

2. Определить четность (нечетность), периодичность

функции.

3. Найти точки разрыва.

4. Определить точки пересечения графика с осями

координат.

5. Найти точки экстремума и вычислить значения

функции в этих точках.

6. Определить интервалы возрастания и убывания

функции.

7. Найти точки перегиба, интервалы выпуклости и

вогнутости.

8. Определить асимптоты.

9. Найти предельные значения функции при аргументе,

стремящемся к границам области определения.

В процессе исследования функции не обязательно строго придерживаться приведенной схемы.

Пример. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение.

Данная функция определена и непрерывна на всей оси ОХ, за исключением точки , где она терпит бесконечный разрыв. Следовательно, прямая является вертикальной асимптотой. Поскольку и , то рассматриваемая функция не является ни четной, ни нечетной, то есть это функция общего вида. Точка (0, 0) является точкой пересечения функции с осями координат.

Вычислим производную: .

Производная обращается в ноль при и .

Построим интервалы монотонности (рис. 3):

Рис. 3

Функция возрастает при и убывает при . Точка ─ точка максимума, а точка ─ точка минимума функции.

Найдем вторую производную:

Вторая производная в нуль нигде не обращается, но при переходе через точку меняет свой знак с минуса на плюс. Следовательно, в интервале график функции выпуклый, а в интервале ─ вогнутый. Точек перегиба функция не имеет.