Однородная система линейных алгебраических уравнений

Матричная запись . Расширенная матрица отличается от матрицы самой системы наличием нулевого столбца, т.е. ранг матрицы равен рангу расширенной матрицы : _..Значит, по теореме Кронекера-Капелли, система однородных линейных уравнений всегда совместна. Одно решение очевидно: . Это решение называется тривиальным. Следуя далее теореме Кронекера-Капелли, приходим к выводу, что если , то решение единственное - тривиальное. Если , то решений бесконечное множество.

ТЕОРЕМА. Для того, чтобы система однородных уравнений имела решения, отличные от нулевого, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был меньше числа неизвестных.

Другими словами, если число уравнений равно числу неизвестных, то система имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда . Очевидны следующие свойства ненулевого решения.

1) Если – решение, то – тоже решение.

2) Если – решения, то и – тоже решения.

В действительности этих свойств можно убедиться непосредственной подстановкой. Обозначим главные неизвестные через . Тогда . В матричной форме: .

Можно записать так:

Решения называются фундаментальной системой решений (ФСР) однородной системы. Общее решение системы является линейной комбинацией фундаментальной системой решений .

Типовые примеры

Найти общее решение системы.

► Данная система apriori является совместной, т.к. она однородна (все свободные члены равны нулю). Однородная система всегда имеет нулевое (или тривиальное) решение: . Для однородных систем особый интерес представляет вопрос о существовании ненулевых (или нетривиальных) решений. Так называют всякое решение системы, у которого значение хоть одного неизвестного отлично от нуля.

Преобразуем расширенную матрицу системы:

~ .

Имеем – система совместна. Тогда – количество свободных неизвестных. Полагая (где – произвольная постоянная), получим

Отсюда , . Таким образом, общее решение системы имеет вид

, где – произвольная постоянная.◄

2) Найти фундаментальную совокупность и общее решение системы уравнений

► Выпишем матрицу системы и упростим её с помощью элементарных преобразований, вычитая первую строку, умноженную на 1, 2 и 1 соответственно из второй, третьей и четвёртой строк:

Теперь вторую строку прибавим к третьей и её же, умноженную на 2, вычтем из четвёртой строки, получим

Ранг этой матрицы равен трём. Следовательно, три неизвестные являются главными, а две - свободными. Выберем в качестве главных . Это можно сделать, т.к. минор 3-го порядка, составленный из коэффициентов при этих неизвестных, отличен от нуля. Соответствующая преобразованной матрице система имеет вид

Отсюда, выражая главные неизвестные через свободные, получим общее решение

Чтобы записать фундаментальную совокупность решений (ФСР), необходимо из вектор-столбца составить любым способом два линейно независимых вектора. Обычно это делается путем задания искомого вектор-столбца в виде столбцов единичной матрицы размером, равным высоте столбца из свободных неизвестных. В данном случае – это матрица второго порядка

Придавая значения из первого и второго столбцов этой матрицы, получим ФСР:

Поскольку общее решение системы есть сумма линейно независимых решений из ФСР, умноженных на произвольные коэффициенты, то его можно записать ещё в следующем виде: . ◄

Как мы отмечали ранее, система линейных уравнений может либо вовсе не иметь решений, либо иметь единственное решение, либо иметь их несколько (в последнем случае, оказывается, система всегда имеет бесконечное множество решений). Это утверждение исчерпывает все возможные ситуации. При изложении (на примерах) метода Гаусса мы получили возможность эвристически дать ответ на вопрос о числе решений (в случае совместности системы). Строгий ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

ТЕОРЕМА (о числе решений). Пусть для системы линейных уравнений с неизвестными выполнено условие совместности, т.е. ранг матрицы системы равен рангу ее расширенной матрицы. Тогда, если ранг матрицы системы равен числу неизвестных ( ), то система имеет единственное решение. Если же ранг матрицы системы меньше числа неизвестных ( ), то система имеет бесконечное множество решений, а именно: некоторым неизвестным можно придавать произвольные значения, тогда оставшиеся неизвестных определятся уже единственным образом.

Пример

Затраты трех видов сырья (А, В, С) на производство единицы каждого из трех типов продукции (I, II, III) и запасы каждого типа сырья даны в табл. 8.

Таблица 8

Вид сырья	Тип продукции I II III	Запасы сырья
А
В
С

Определить план производства, обеспечивающий использование всего сырья. Составить математическую модель задачи и решить систему матричным методом.

► Пусть предприятие выпустит единиц - продукции I, единиц - продукции II, единиц -продукции III. - расход сырья на все виды продукции. По условию задачи расход сырья должен равняться запасу 220, т.е. . Аналогично, приравнивая расходы и запасы сырья и , получаем систему уравнений

Обозначим = -матрица объемов выпуска I, II, III типов продукции.

= - матрица затрат ресурсов, = – матрица запасов ресурсов. Полученную систему решим матричным способом. Имеем

Следовательно, . ◄

Пример

Из некоторого листового материала необходимо выкроить 360 заготовок типа , 300 заготовок типа и 675 заготовок типа . При этом можно применять три способа раскроя. Количество заготовок, получаемых из каждого листа при каждом способе раскроя, указано в табл. 9.

Таблица 9

Тип	Способ раскроя
заготовки
А
В
С

Записать в математической форме условия выполнения задания.

► Обозначим через количество листов материала, раскраиваемых соответственно первым, вторым и третьим способами. Тогда при первом способе раскроя листов будет получено заготовок типа , при втором - , при третьем - .

Для полного выполнения задания по заготовкам типа сумма должна равняться 360, т.е.

Аналогично получаем уравнения

которым должны удовлетворять неизвестные для того, чтобы выполнить задание по заготовкам и . Полученная система линейных уравнений и выражает в математической форме условия выполнения всего задания по заготовкам , и . Решим данную систему. Вектор есть решение системы.◄

Пример

Три судна доставили в порт 6000 т чугуна, 4000 т железной руды и 3000 т апатитов. Разгрузку можно производить как непосредственно в железнодорожные вагоны для последующей доставки потребителям, так и на портовые склады. В вагоны можно разгрузить 8000 т, а остаток груза придется направить на склады. Необходимо учесть, что поданные в порт вагоны не приспособлены для перевозки апатитов. Стоимость выгрузки 1 т в вагоны составляет соответственно 4, 30, 5, 25 и 2, 20 ден. ед. Записать в математической форме условия полной разгрузки судов, если затраты на нее должны составить 58850 ден. ед.

► По условию задачи, доставленные в порт чугун, железную руду и апатиты можно разгрузить двумя способами: либо в железнодорожные вагоны, либо в портовые склады. Обозначим через количество груза (в тоннах) -го вида ( ), которое предполагается разгрузить -м способом ( ). Таким образом, задача содержит шесть неизвестных. Условие полной разгрузки чугуна можно записать в виде

где , - части чугуна, разгружаемого соответственно в вагоны и на склады. Аналогичное условие должно выполняться и для железной руды:

Что же касается апатитов, то их можно разгружать только на склады, а поэтому неизвестное , и условие полной разгрузки апатитов принимает вид

Условие полной загрузки всех поданных в порт вагонов запишется так:

Затраты на разгрузку, по условию, определены в 58850 ден. ед., что можно выразить записью:

Итак, с учетом сложившейся в порту ситуации условия полной разгрузки судов выражаются в математической форме полученной системой линейных уравнений. С учетом того, что имеем:

и теперь мы имеем систему из четырех уравнений с четырьмя неизвестными , расширенная матрица которой имеет вид:

Решение данной системы: , , , . ◄

Пример

Расходы на автомобильном транспорте выражаются формулой , а на железнодорожном - , где - расстояние в километрах, - транспортные расходы на 1 км. (в усл.ден.ед.). Построить графики функций, произвести экономический анализ, рассчитать транспортные расходы при км.

► Построим прямые (I) и (II).

Найдем точку пересечения двух прямых: , .

Если , оба вида транспорта эквивалентны по затратам. Если , автомобильные перевозки выгоднее, а при выгоднее становятся железнодорожные перевозки. Рассчитаем транспортные расходы при км. (усл. ден. ед.) - затраты на автомобильном транспорте; (усл. ден. ед.) - затраты на железнодорожном транспорте. ◄

Пример

Математическая модель межотраслевого баланса.

Модель межотраслевого баланса, разработанная профессором В. Леонтьевым (Гарвардский университет, США), имеет вид:

или, в матричной форме,

где - матрица коэффициентов прямых затрат (коэффициентов материалоемкости), - вектор валовых выпусков, - вектор конечного продукта. Объем продукции -той отрасли, расходуемый -той отраслью в процессе производства - . Чистой продукцией отрасли называется разность между валовой продукцией этой отрасли и затратами продукции всех отраслей на производство этой отрасли.

Перепишем данную систему в виде

где - единичная матрица -го порядка, тогда решение системы относительно неизвестных значений объемов производства продукции при заданном векторе конечного продукта находится по формуле

Здесь - матрица коэффициентов полных затрат. Элемент матрицы характеризует потребность в валовом выпуске отрасли , который необходим для получения в процессе материального производства единицы конечного продукта отрасли . Благодаря этому имеется возможность рассматривать валовые выпуски в виде функций планируемых значений конечных продуктов отраслей:

В соответствии с экономическим смыслом задачи значения при и .

Матрица (все ) называется продуктивной, если для любого вектора (все ) существует решение уравнения -вектор такой, что все . В таком случае и модель Леонтьева называется продуктивной.

ТЕОРЕМА 1. Если для матрицы с неотрицательными элементами и некоторого вектора с неотрицательными элементами уравнение имеет решение с неотрицательными компонентами, то матрица продуктивна.

Таким образом для продуктивности матрицы достаточно установить наличие положительного решения уравнения хотя бы для одного положительного вектора . При этом решение находится по формуле .

ТЕОРЕМА 2 (первый критерий продуктивности – необходимое и достаточное условие продуктивности). Матрица с неотрицательными элементами продуктивна тогда и только тогда, когда матрица существует и ее элементы неотрицательны.

ТЕОРЕМА 3 (второй критерий продуктивности – достаточное условие продуктивности). Матрица с неотрицательными элементами продуктивна, если сумма элементов по любому ее столбцу (строке) не превосходит единицы, т.е. , причем хотябы для одного столбца (строки) эта сумма меньше единицы.

Пример

Пусть дана леонтьевская балансовая модель «затраты – выпуск» . Найти вектор конечной продукции при заданном , где

; .

► Имеем: , где - единичная матрица третьего порядка.

, значит, . ◄

Пример

Исследовать на продуктивность следующие матрицы: 1) ; 2) .

► 1) Для матрицы выполнены условия второго критерия продуктивности: сумма элементов каждого столбца матрицы меньше единицы. Следовательно, данная матрица является продуктивной.

2) В данном случае условия второго критерия продуктивности для матрицы не выполняются, так как сумма элементов первого столбца матрицы больше единицы. Проверим условия первого критерия матрицы продуктивности. Найдем матрицу : . Так как все элементы полученной матрицы неотрицательны, то условия первого критерия продуктивности соблюдены, и матрица является продуктивной.◄

Пример

В табл. 10 приведены коэффициенты прямых затрат и конечная продукция отраслей на плановый период (в усл. ден. ед.).

Таблица 10

Отрасль	Потребление	Конечный продукт
Промышлен- ность	Сельское хозяйство
Про- изво- дство	Промышлен- ность	0, 3	0, 25
Сельское хозяйство	0, 15	0, 12

Найти: 1) плановые объемы валовой продукции отраслей, межотраслевые поставки, чистую продукцию; 2) необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечное потребление продукции сельского хозяйства увеличится на 20%, а промышленности на 10%.

► Здесь матрица прямых затрат и вектор конечной продукции . По формуле вычислим вектор валового выпуска : . Найдем межотраслевые поставки по формулам .

;

Найдем чистую продукцию отраслей по формуле .

Тогда ; .

Результаты вычислений сведем в табл. 11.

Таблица 11

Отрасль	Потребление	Конечный продукт	Валовой продукт
Произ-водство	Промышлен-ность	144, 6	62, 5
Сельское хозяйство	72, 3
Чистая продукция	265, 1	157, 5
Валовая продукция

Найдем новые значения конечного потребления:

; .

Новый вектор конечного потребления . Найдем новый вектор валового выпуска . Таким образом, выпуск в промышленности можно увеличить до 532, 8 усл. ден. ед., а в сельском хозяйстве - до 287, 1 усл. ден. ед.◄

Предыдущая 1 2 345 6 7 8 9 Следующая