Процесс ортогонализации базиса

Пусть даны линейно независимых векторов . Для построения по этим векторам попарно ортогональных векторов необходимо провести следующую процедуру ортогонализации. Положим вначале . Затем вектор будем искать в виде .

По условию ортогональности . Следовательно, откуда . Предположим, что уже построено ортогональных векторов . Будем искать в виде

По условию вектор должен быть ортогонален , что даёт уравнений для определения неизвестных . Выпишем эти уравнения с учётом ортогональности векторов :

откуда получим

Типовые примеры

1. В евклидовом пространстве построить ортонормированный базис по данному

► Проведём вначале ортогонализацию, т.е. построим ортогональный базис . Проверим прежде всего, нет ли среди векторов ортогональных. Вычислим :

Откуда следует, что векторы и ортогональны. Они сразу входят в состав ортогонального базиса .

Далее определим , пользуясь процедурой ортогонализации. Ищем в виде .

Из условий ортогональности имеем

Таким образом Теперь отнормируем базис , т.е. переведём его в ортонормированный базис , получим

◄

2. Дополнить до ортогонального базиса пространства систему векторов

► Вначале ортогонализируем . Положим . Исходя из условия ортогональности имеем .

Построим . Пусть . По условиям ортогональности , откуда имеем

Общее решение полученной системы есть

ФСР строится стандартным способом и состоит из двух линейно независимых решений:

Вектор ортогонален векторам и, следовательно, входит в ортогональный базис. Вектор также ортогонален , но не ортогонален . Действительно

Проверим теперь, является ли система векторов линейно независимой. Для установления факта зависимости (независимости) этих векторов вычислим определитель, составленный из их координат

Неравенство нулю этого определителя означает, что однородная система уравнений для коэффициентов линейной комбинации рассматриваемых векторов имеет лишь тривиальное решение. Следовательно, векторы линейно независимы и составляют базис в пространстве . Остаётся теперь ортогонализировать вектор . Следуя стандартной процедуре, ищем в виде

Таким образом окончательно в качестве ортогонального базиса в имеем .◄

3. Матрица Грамма. Матрицей Грама для системы векторов называется симметричная матрица вида

где .

Утверждение

Скалярное произведение векторов и , заданных в базисе , вычисляется по формуле

где - матрица Грама для системы векторов .

Подмножество евклидова пространства Еⁿ вида

где - линейно независимые векторы, называется k-мерным параллелепипедом, построенным на векторах .

Утверждение

Объем k-мерного параллелепипеда, построенного на векторах , равен квадратному корню из определителя матрицы Грама для системы векторов .

4. Ортогональное разложение векторов. Говорят, что вектор ортогонален к подпространству , если вектор ортогонален любому вектору из этого подпространства.

Ортогональным дополнением к подпространству из евклидова пространства называется множество всех векторов из , ортогональных подпространству . Обозначается .

Пусть вектор представлен в виде , где , а , тогда вектор называется ортогональной проекцией вектора на подпространство , вектор называется ортогональной составляющей вектора относительно подпространства , число называется расстоянием от вектора до подпространства , а угол между векторами и называется углом между вектором и подпространством .

Утверждение

Ортогональное дополнение к подпространству из евклидова пространства само является подпространством евклидова пространства .

Утверждение

Сумма подпространств + является прямой суммой.

Утверждение

Если – некоторое подпространство евклидова пространства , то справедливо равенство + = .

Типовой пример

Найти ортогональную проекцию вектора на подпространство , порождённое векторами

► Вначале определим базис данного подпространства. Проверим, являются ли линейно независимыми векторы . Условие линейной независимости (зависимости) данных векторов представляет собой систему уравнений относительно коэффициентов . Найдём решение этой системы с помощью элементарных преобразований её матрицы:

Как видно, ранг системы равен 3, определитель системы отличен от нуля. Следовательно, однородная система трёх уравнений для трёх неизвестных имеет лишь тривиальное решение: .

Таким образом векторы линейно независимы и составляют базис заданного подпространства. По определению вектор , представляющий ортогональную проекцию на подпространство , принадлежит и ортогонален . Эти условия приводят в итоге к системе уравнений для координат вектора в базисе подпространства : , где - элементы матрицы Грамма. В соответствии с формулами Крамера решение этой системы имеет вид

где - определитель матрицы Грамма системы базисных векторов, а - определитель, полученный из определителя Грамма заменой -го столбца на столбец из свободных членов выписанной системы уравнений.

В рассматриваемой задаче элементы матрицы Грамма равны

Элементы столбца свободных членов: .

Учитывая это, для определителей имеем

Откуда . Таким образом, для ортогональной прекции вектора на подпространство получим ◄

Пример

Предприятие выпускает четыре вида продукции в количествах 50, 80, 20, 120 ед. При этом нормы расхода сырья составляют соответственно 7; 3, 5; 10 и 4 кг. Определить суммарный расход сырья и его изменение при изменении выпуска продукции соответственно на +5, -4, -2, +10 ед.

► Введем следующие векторы: вектор выпуска продукции и вектор расхода сырья . Тогда суммарный расход сырья есть скалярное произведение векторов и : (кг).

Пусть - вектор изменения выпуска продукции. Найдем изменение суммарного расхода сырья , используя свойства скалярного произведения векторов: .

Итак, (кг).◄

Унитарное пространство

Линейное пространство называется унитарным пространством, если каждой паре поставлено в соответствие комплексное число, которое называется скалярным произведением на , обозначается , и для любых и комплексных удовлетворяет следующим требованиям: