Способы вычисления обратной матрицы

Если для квадратной матрицы существует обратная матрица , то справедливо равенство , где – единичная матрица. Переходя в этом равенстве к определителям (и учитывая свойство 9 определителей), имеем , или . Отсюда заключаем, что (в противном случае левая часть последнего равенства равнялась бы нулю). Этим доказано, что если , то для матрицы не существует обратной. Другими словами, условие является необходимым условием существования обратной матрицы. Оказывается, это условие является и достаточным.

Лемма

Если обратная матрица существует, то она единственна.

Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель не равен нулю ( ). В противном случае матрица называется вырожденной ( ).

Пусть матрица имеет вид

ТЕОРЕМА. Если – невырожденная матрица, то для нее существует обратная матрица , которая вычисляется по формуле

, (5)

где – алгебраическое дополнение для элемента матрицы .

Замечание

Обратим внимание на расположение чисел в правой части формулы (5): число расположено не в -й строке и -м столбце, а наоборот, в -й строке и -м столбце. Таким образом, матрица, стоящая в правой части (5), является транспонированной матрицей алгебраических дополнений элементов матрицы .

Типовой пример. Найдите , если .

► . – невырожденная матрица, следовательно, обратная для нее существует. Найдем ее по формуле:

Обратите внимание на индексацию алгебраических дополнений. Вычисляем алгебраические дополнения

; ; ;

; ; .

Тогда

Можно сделать проверку:

Значит, обратная матрица найдена верно.◄

3. Вычисление обратной матрицы методом элементарных преобразований. Элементарные преобразования матрицы

1. Перестановка строк (столбцов).

2. Умножение строки (столбца) на число .

3. Прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), предварительно умноженных на любое число.

Чтобы найти матрицу, обратную данной, делаем следующее:

для матрицы записываем прямоугольную матрицу , приписывая справа единичную матрицу;

с помощью элементарных преобразований приводим матрицу к виду . Тогда . Эквивалентные матрицы обозначаются .

Типовой пример

Найти матрицу, обратную данной: .

► ~(первую строку матрицы умножили на ) ~ ~ ~ ~

. Следовательно, .

Проверка: . ◄

С помощью обратной матрицы можно решать простейшие матричные уравнения, где неизвестной является матрица X. Это уравнения следующего вида

В этих уравнениях – матрицы таких размеров, что все операции умножения возможны и с обеих сторон от знаков равенств находятся матрицы одинаковых размеров. Если в первых двух уравнениях матрица невырожденная, то их единственное решение записывается следующим образом соответственно и . Если в третьем матричном уравнении матрицы и невырождены, то его решение записывается в виде .
Пример

В табл. 6 приведены данные о дневной производительности пяти предприятий, выпускающих четыре вида продукции с потреблением трех видов ресурсов, а также количество рабочих дней в году каждого предприятия и цены каждого вида сырья.

Таблица 6

Вид продукции	Производительность предприятий (изд. в день)	Затраты ресурсов, ед. веса/изд.





	Кол-во раб. дней в году	Цены ед.сырья

Требуется найти:

1) годовую производительность каждого предприятия по каждому виду продукции;

2) годовую потребность каждого предприятия по каждому виду ресурса;

3) годовую сумму кредитования каждого предприятия для закупки ресурсов, необходимых для выпуска продукции указанных видов и при определенном количестве рабочих дней.

► Введем следующие обозначения:

а) Данная матрица является матрицей производительности пяти предприятий по всем четырем видам продукции. Каждый столбец этой матрицы соответствует дневной производительности отдельного предприятия по каждому виду изделий. Следовательно, годовая производительность -го предприятия по каждому виду изделий получается умножением -го столбца матрицы А на количество рабочих дней в году для этого предприятия (к = 1, 2, 3, 4, 5)

А₁₁=0, 79 А₂₁=0, 16 А₃₁=0, 02

А₁₂=0, 16 А₂₂=0, 8 А₃₂=0, 1

А₁₃=0, 02 А₂₃=0, 1 А₃₃=0, 96,

тогда .

Это матрица коэффициентов полных материальных затрат.

б) , т.е. валовой выпуск продукции 1-го, 2-го и 3-го цехов будут соответственно .

в) Найдем производственную программу каждого цеха (промежуточный продукт) по формуле ( ; )

;

Результаты представим в таблице 7:

Таблица 7

Цех	Внутрипроизводственные потребления	Итого	Конечный продукт	Валовый выпуск

г) Коэффициенты косвенных затрат определяются как разности полных внутрипроизводственных затрат и прямых затрат . В матричной форме:

; .◄

4. Невырожденная квадратная матрица , для которой , называется ортогональной. Свойства ортогональных матриц, играющих важную роль во многих приложениях, можно сформулировать в виде следующих теорем.

ТЕОРЕМА. Для ортогональной матрицы справедливо равенство .

ТЕОРЕМА. Каждая ортогональная матрица второго порядка , для которой может быть представлена в виде , где j - некоторое число, а каждая ортогональная матрица с - в виде .

Ранг матрицы

1. Ранее для квадратной матрицы -го порядка было введено понятие минора элемента . Напомним, что так был назван определитель порядка , полученный из определителя вычеркиванием -й строки и -го столбца.

Введем теперь понятие минора матрицы. Рассмотрим некоторую, не обязательно квадратную матрицу . Выберем какие-нибудь номеров строк и номеров столбцов .

Минором порядка матрицы (соответствующим выбранным строкам и столбцам) называется определитель порядка , образованный элементами, стоящими на пересечении выбранных строк и столбцов, т.е. число

Каждая матрица имеет столько миноров данного порядка , сколькими способами можно выбрать номера строк и столбцов .

В матрице размеров минор порядка называется базисным, если он отличен от нуля, а все миноры порядка равны нулю или миноров порядка вообще нет, т.е. совпадает с меньшим из чисел или .

Ясно, что в матрице может быть несколько разных базисных миноров. Все базисные миноры имеют один и тот же порядок. Действительно, если все миноры порядка равны нулю, то равны нулю и все миноры порядка , а, следовательно, и всех бό льших порядков. Это становится очевидным, если разложить минор порядка по элементам какой-либо строки (столбца): все миноры элементов этой строки являются определителями порядка , а поэтому равны нулю.

Рангом матрицы называется порядок базисного минора, или, иначе, самый большой порядок, для которого существуют отличные от нуля миноры. Если все элементы матрицы равны нулю, то ранг такой матрицы, по определению, считают нулем.

Ранг матрицы будем обозначать символом . Из определения ранга следует, что для матрицы размеров справедливо соотношение .

2. Два способа вычисления ранга матрицы.

а) Метод окаймляющих миноров. Пусть в матрице найден минор -го порядка, отличный от нуля. Рассмотрим лишь те миноры -го порядка, которые содержат в себе (окаймляют) минор : если все они равны нулю, то ранг матрицы равен . В противном случае среди окаймляющих миноров найдется ненулевой минор -го порядка, и вся процедура повторяется.

Типовой пример

Вычислить методом окаймления ранг матрицы

Минор второго порядка, стоящий в левом верхнем углу, отличен от нуля:

Теперь вычислим миноры, окаймляющие данный. Таковых два:

Таким образом, оба окаймляющих минора равны нулю и, следовательно, ранг исходной матрицы равен двум: .

Ясно, что перебирать таким способом миноры в поисках базисного – задача, связанная с большими вычислениями, если размеры матрицы не очень малы. Существует, однако, более простой способ нахождения ранга матрицы – при помощи элементарных преобразований.

б) Метод элементарных преобразований. Напомним, элементарными преобразованиями матрицы называют следующие преобразования:

1) умножение строки на число, отличное от нуля;

2) прибавление к одной строке другой строки;

3) перестановку строк;

4) такие преобразования столбцов.

Преобразования 1 и 2 выполняются поэлементно. Комбинируя преобразования первого и второго вида, мы можем к любой строке прибавить линейную комбинацию остальных строк.

ТЕОРЕМА. Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы.

Предыдущая12 3 4 5 6 7 8 9 Следующая