Глава I. Функции нескольких переменных

Глава I. Функции нескольких переменных

Понятие функции нескольких переменных

Определение: Переменная z называется функцией независимых переменных x, y, если каждой паре (x; y) из множества D по некоторому правилу или закону ставится в соответствие одно определенное значение z из множества Е.

Обозначается: или

Пример: - площадь прямоугольника со сторонами x и y.

Множество D – совокупность пар (x; y), при которых определяется , называется областью определения функции z. D изображается в виде части плоскости или всей плоскости.

Множество Е – множество значений функции z.

Переменные x и y называются аргументами.

При получим частное значение функции .

Область на плоскости Oxy, состоящая из одних внутренних точек, называется открытой или незамкнутой. (Точки, входящие в область вместе со своей окрестностью, называются внутренними) Открытая область вместе с ее границей называется замкнутой. Область называется ограниченной, если существует круг, полностью ее покрывающий.

Примеры:

1) ; ;

Область определения – вся плоскость Oxy

(незамкнутая (, открытая), неограниченная)

2) ;

Область определения – круг с центром в т. O(0; 0)

и радиусом .

(замкнутая, граница – окружность , ограниченная)

3) ;

Область определения – внутренность круга с центром

в т. O(0; 0) и радиусом .

(открытая, ограниченная)

Определение: Переменная u называется функцией независимых переменных , если каждой совокупности значений по некоторому правилу или закону поставлено в соответствие определенное значение переменной u.

Замечание 1. Арифметическое пространство , метрическое пространство

Определение: Множество всех упорядоченных наборов действительных чисел называется n-мерным арифметическим пространством . Каждый упорядоченный набор действительных чисел обозначают и называют точкой пространства , а – i-ой координатой этой точки.

Расстояние между двумя точками и определяют по формуле .

Множество с введенным в нем расстоянием между двумя точками называется метрическим пространством .

Метрическое пространство можно рассматривать как векторное пространство, если для его элементов (векторов) и определить понятие равенства векторов, суммы векторов и умножения векторов на число (аналогично для ).

- норма (длина) вектора

Замечание 2. Геометрическое изображение функции двух независимых переменных

Рассмотрим функцию двух переменных (1)

Рассмотрим пространство Oxyz.

На плоскости Oxy изобразим область D – область

определения функции z. Каждой точке

соответствует точка , где .

(Всей области D соответствует некоторая поверхность).

Геометрическое место точек P, координаты которых

удовлетворяют (1), называется графиком функции двух переменных.

Графиком функции в пространстве Oxyz является поверхность. Уравнение (1) называют уравнением поверхности.

– уравнение поверхности в явном виде

– уравнение поверхности в неявном виде

Поверхности, имеющие уравнение второй степени, называются поверхностями второго порядка.

Поверхности второго порядка

Цилиндрические поверхности

Поверхность, составленная из всех прямых, пересекающих данную

линию L и параллельных данной прямой l, называется цилин-

дрической поверхностью. Линия L называется направляющей

цилиндрической поверхности, а каждая из прямых, составляющих

эту поверхность и параллельных прямой l – образующей.

Будем рассматривать только такие цилиндрические поверхности, направляя-

ющие которых лежат в одной из координатных плоскостей, а образующие

параллельны координатной оси, перпендикулярной этой плоскости.

Рассмотрим в плоскости Oxy линию L,

имеющую в Oxy уравнение (1).

Построим цилиндрическую поверхность с направляющей L

и образующей, параллельной Oz. Покажем, что (1) есть

уравнение цилиндрической поверхности в Oxy.

Точка принадлежит цилиндрической поверхности

Точка N – точка пересечения направляющей L и

образующей, проходящей через точку М

Точка N – проекция точки М на Oxy

Абсциссы и ординаты точки М и точки N одинаковы

Координаты т. удовлетворяют (1) (т. ), следовательно, координаты т. также удовлетворяют (1) (в нем нет z)

Итак, – уравнение цилиндрической поверхности в пространстве Oxyz с образующими, параллельными оси Oz и направляющей, задающейся в плоскости Oxy тем же уравнением.

Замечание. – уравнение цилиндрической поверхности в пространстве Oxyz

– уравнение линии L в плоскости Oxy

– уравнение линии L в пространстве Oxyz

Аналогично:

– уравнение цилиндрической поверхности в пространстве Oxyz с образующими, параллельными оси Oy

– уравнение цилиндрической поверхности в пространстве Oxyz с образующими, параллельными оси Ox

Примеры: Все уравнения заданы в пространстве Oxyz

1) – эллиптический цилиндр, образующие параллельны

оси Oz, направляющая – эллипс с полуосями a и b.

При – круговой цилиндр

2) – гиперболический цилиндр,

образующие параллельны оси Oy

3) – параболический цилиндр,

образующие параллельны оси Ox

2. Гиперболический цилиндр 3. Параболический цилиндр

Конические поверхности

Поверхность, составленная из прямых, пересекающих данную линию L и проходящих через данную точку P, называется конической поверхностью.

Линия L называется направляющей конической поверхности, точка Р – вершиной, а прямые, составляющие коническую поверхность – образующими.

Рассмотрим уравнение (2)

Рассмотрим сечение поверхности следующими плоскостями:

1) плоскостью Oyz:

– две прямые в плоскости Oyz

2) плоскостью Oхz:

– две прямые в плоскости Oхz

3) плоскостью Oхy:

, – точка О(0, 0, 0)

4) плоскостью, параллельной Oxy, то есть

, делим на

, где ,

С увеличением h полуоси эллипсов увеличиваются.

– уравнение конической поверхности в пространстве Oxyz с вершиной О(0, 0, 0), направляющая – эллипс.

Замечание. Если , то направляющей является окружность, конус называется круглым.

Эллипсоид

Поверхность, определяемая уравнением (3), называется эллипсоидом.

Числа a, b, c – полуоси эллипсоида.

Рассмотрим сечения эллипсоида плоскостями:

1) плоскостью Oхy:

– эллипс

2) аналогично в сечении плоскостями Oyz и Oxz –эллипсы

3) в сечении эллипсоида плоскостями ,

, также получаем эллипсы

Свойства эллипсоида:

1) эллипсоид – замкнутая поверхность, симметричная

относительно начала координат и относительно координатных

плоскостей

2) Если , то в сечении плоскостью Oxy получим – окружность. Эллипсоид является эллипсоидом вращения вокруг оси Oz

3) Если , то эллипсоид вращения вокруг оси Oх

4) Если , то эллипсоид вращения вокруг оси Oу

5) Если , то – сфера

Однополостный гиперболоид

Поверхность, определяемая уравнением (4), называется однополостным гиперболоидом.

Рассмотрим сечения однополостного гиперболоида

плоскостями:

1) плоскостью Oхy: – эллипс

2) плоскостью Oхz: – гипербола

3) плоскостью Oуz: – гипербола

4) плоскостью – эллипсы

Двуполостный гиперболоид

Поверхность, определяемая уравнением (5), называется двуполостным гиперболоидом.

Рассмотрим сечения двуполостного гиперболоида плоскостями:

1) плоскостью Oхy:

– мнимые точки

не пересекается с плоскостью Oхy

2) плоскостью Oхz:

; – гипербола

3) плоскостью Oуz:

; – гипербола

4) плоскостью , – эллипсы

Эллиптический параболоид

Поверхность, определяемая уравнением , где , (6), называется эллиптическим параболоидом

Рассмотрим сечения эллиптического параболоида плоскостями:

1) плоскостью Oхy:

, – точка О(0, 0, 0)

не пересекается с плоскостью Oхy

2) плоскостью Oхz: – парабола

3) плоскостью Oуz: – парабола

4) плоскостью , – эллипсы

§3. Предел и непрерывность функции двух переменных

Определение: Окрестностью точки называется

внутренность круга с центром в точке . Если радиус круга ,

то имеем -окрестность т .

Определение: Число называется пределом функции двух

независимых переменных , если для любого сколь угодно малого положительного значения найдется такая -окрестность точки , что для любой точки из этой окрестности (за исключением, быть может, т. ) выполняется неравенство или , обозначается:

или

Определение: Функция называется непрерывной в т. , если она определена в т. и некоторой её окрестности, если существует предел функции в т. , равный значению функции в этой точке, т.е.

или

Определение: Функция называется непрерывной в области D, если она непрерывна в каждой точке этой области.

ТЕОРЕМА. Если функция непрерывна в ограниченной замкнутой области D, то она в этой области:

1) Ограничена, т.е. ;

2) Достигает своих наименьшего и наибольшего значений;

3) Принимает все промежуточные значения.

(Без доказательства)

Полная производная

Рассмотрим функцию , где . Переменная z есть функция одной переменной х: . Тогда из , где вместо t рассматривать переменную х, получаем (2) – формула полной производной