ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПРИЗНАК СРАВНЕНИЯ

Теорема 1.7.

Пусть даны два ряда и (u_n ≥ 0, v_n ≥ 0).

Если (0 < A < ¥ ), то оба ряда одновременно

Сходятся или расходятся.

Замечание. При выборе ряда для сравнения можно воспользоваться следующими правилами.

Пусть P_m(n) и Q_r(n) – многочлены относительно переменной n.

I. Ряды вида сравнивают с рядом , где p = r—m.

II. Ряды вида

, ,

сравнивают с рядом .

III. Ряды вида

сравнивают с рядом .

Пример 1.9. Исследовать на сходимость ряд:

а) ; б) ;

в) .

Р е ш е н и е.

а) .

Ряды такого вида лучше исследовать по предельному признаку сравнения. Чтобы подобрать второй ряд, оставим в числителе и знаменателе общего члена ряда только старшие члены многочленов, получим - гармонический ряд, расходящийся, а далее применим предельный признак сравнения.

Имеем: , ,

тогда , следовательно, по предельному признаку сравнения, ряд - расходится, т.к. выбранный для сравнения ряд - расходится.

б)

Для сравнения возьмем ряд - сходящийся

(обобщенный гармонический ряд при p = 3).

Имеем: , .

Вычислим

Условие теоремы выполняется, а так как ряд сходится, то и ряд тоже сходится.

в)

Рассмотрим сначала ряд .

По интегральному признаку этот ряд сходится, т.к. соответствующий несобственный интеграл сходится:

Для рядов и применим предельный признак сравнения.

Вычислим

т.е. ряды ведут себя одинаково относительно сходимости, следовательно, ряд сходится. ¨

ПРИЗНАК ДАЛАМБЕРА

Теорема 1.8.

Если для ряда , u_n ≥ 0,

d < 1 – ряд сходится, d > 1 – ряд расходится.

, то при

Д о к а з а т е л ь с т в о.

а) Пусть d < 1. Так как , то на основании определения предела числовой последовательности для любого e > 0 можно подобрать такое натуральное число N, зависящее от e, что для всех членов ряда, номер которых n ≥ N, выполняется неравенство

Откуда следует, что ,

или .

Пусть , тогда имеем .

Так как d < 1 по предположению, а e произвольно мало, то можно выбрать e настолько малым, чтобы .

Таким образом, для n ≥ N имеем:

, , , …, Þ

, …

Рассмотрим два ряда:

, (1.5)

(1.6)

Ряд (1.6) сходится как геометрическая прогрессия со знаменателем |q| < 1. так как члены ряда (1.5) меньше соответствующих членов ряда (1.6), то по признаку сравнения ряд (1.5) тоже сходится.

Но ряд (1.5) получается из данного ряда отбрасыванием конечного числа первых членов ; следовательно, по теореме 1.4. ряд (1.4) также сходится.

б) Пусть теперь d > 1. Тогда , т.е. начиная с достаточно больших значений n ≥ N, выполняется неравенство , или . Таким образом, члены ряда возрастают с увеличением номера члена n. Поэтому , т.е. выполняется достаточный признак расходимости ряда и, следовательно, ряд расходится. #

Замечание. При d = 1 признак Даламбера не вопрос о том, сходится или расходится ряд, ответа не дает. В этом случае может иметь место как сходимость, так и расходимость, что устанавливается с помощью других признаков.

Пример 1.10. Исследовать на сходимость ряд:

а) ; б) ;