Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.

До сих пор мы рассматривали только ряды, все члены которых были неотрицательными числами. Теперь перейдем к рассмотрению рядов, содержащих как положительные, так и отрицательные члены. Такие ряды называются знакопеременными.

Например, знакопеременным является ряд

Рассмотрим вопрос о сходимости знакопеременных рядов.

Пусть дан знакопеременный ряд

, (1.7)

Ряд, составленный из абсолютных величин членов знакопеременного ряда

Является знакоположительным и сходимость его можно исследовать с помощью достаточных признаков сходимости знакоположительных рядов (Даламбера, Коши и т.д.).

Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд , составленный из абсолютных величин его членов.

Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.

Теорема 1.10. (признак сходимости знакопеременных рядов)

Если для знакопеременного ряда сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов, то данный знакопеременный ряд также сходится, причем абсолютно.

— сходится Þ — сходится абсолютно

Пример 1.12. Исследовать на сходимость ряд

Р е ш е н и е.

Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда

(*)

Ряд (*) является сходящимся (обобщенный гармонический ряд при p = 2).

Следовательно, исходный знакопеременный ряд тоже сходится, причем абсолютно. ¨

Среди знакопеременных рядов абсолютно сходящиеся ряды занимают особое место. Это объясняется тем, что на такие ряды переносятся основные свойства конечных сумм. Особое значение имеет свойство переместительности, которым обладают только абсолютно сходящиеся ряды.

1⁰. При любой перестановке членов абсолютно сходящегося ряда получается сходящийся ряд, сумма которого равна сумме данного ряда.

Наоборот, в случае перестановки членов условно сходящегося ряда может измениться его сумма, и даже может получиться расходящийся ряд.

Говоря о перестановке членов ряда, подразумевается, что меняют местами бесконечное множество членов, так как, при перестановке двух, трех или любого конечного числа членов, сумма ряда, очевидно, не изменится.

2⁰. Если знакопеременные ряды и сходятся абсолютно и их суммы соответственно равны S и σ, то сумма (разность) этих рядов есть также абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равна S + σ (или соответственно S – σ ).

3⁰. Если знакопеременные ряды и сходятся абсолютно и их суммы соответственно равны S и σ, то произведение этих рядов есть также абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равна S × σ.

Под произведением двух сходящихся рядов

, (1.9)

(1.10)

понимают ряд, составленный из всевозможных попарных произведений членов данных рядов, расположенных в таком порядке:

(1.11)

В каждой группе членов ряда (1.11), объединенных скобками, сумма индексов сомножителей (т.е. номеров мест, на которых они находятся в своих рядах) постоянна: в 1-ой скобке она равна 2, во 2-й равна 3, в 3-1 равна 4, …, в n-ой равна n+1, и т.д.

Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница

Частным случаем знакопеременного ряда является знакочередующийся ряд.

Знакочередующимся рядом называют ряд вида

, (1.12)

где u_n > 0 для всех (т.е. ряд, положительные и отрицательные члены которого чередуются).

Для исследования сходимости знакочередующихся рядов используют достаточный признак сходимости Лейбница.

ПРИЗНАК ЛЕЙБНИЦА

Теорема 1.11.

Если у знакочередующегося ряда

1) абсолютные величины членов ряда монотонно

убывают (начиная с некоторого номера n):

2) общий член ряда стремится к нулю:

то ряд сходится.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Рассмотрим частичную сумму четного числа членов ряда

Сгруппируем члены попарно:

Так как по условию абсолютные величины членов ряда монотонно убывают, то все разности в скобках положительны и, следовательно, сумма S₂_m положительна (S₂_m > 0) и возрастает при увеличении номера m.

Запишем теперь S₂_m, группируя члены иным образом:

Сумма в квадратных скобках будет также положительной.

Поэтому для любого значения m: . Таким образом, последовательность четных сумм {S₂_m} возрастает с увеличением m, оставаясь ограниченной. Следовательно, S₂_m имеет предел

Так как , то .

Рассмотрим теперь сумму нечетного числа членов:

При m ® ¥ имеем

Так как по условию , следовательно, и .

Таким образом, частичные суммы как четного, так и нечетного числа членов ряда имеют общий предел S. Это означает, что вообще , т.е. ряд сходится. #

Замечание. Из доказательства теоремы следует, что сумма знакочередующегося ряда S удовлетворяет неравенствам 0 < S < u₁.

Так как знакочередующийся ряд является частным случаем знакопеременных рядов, то для него справедливы все определения и теоремы предыдущего пункта 1.5, в том числе понятие и свойства абсолютной и условной сходимости ряда.

Если - сходится и

- сходится,

то - сходится абсолютно.

Если - сходится, а

- расходится,

то - сходится условно.

Пример 1.13. Исследовать ряд на абсолютную или условную сходимость:

а) ; б) ;

в) .

Р е ш е н и е.

а) - это знакочередующийся ряд.

Проверим выполнение условий признака Лейбница:

1) ; 2) ,

оба условия теоремы выполнены, следовательно, ряд сходится.

Исследуем характер сходимости, для чего составим ряд из абсолютных величин

Получили знакоположительный ряд, гармонический, расходящийся.

Таким образом, знакочередующийся ряд сходится, а ряд из абсолютных величин его членов – расходится, следовательно, знакочередующийся ряд - сходится условно.

б)

Ряд знакочередующийся. Проверим выполнение условий признака Лейбница:

1) ; 2) .

Оба условия признака Лейбница не выполняются, следовательно, знакочередующийся ряд - расходится.

в)

Ряд знакочередующийся.

Проверим выполнение условий признака Лейбница:

1) ; 2) .

Оба условия признака Лейбница выполняются, следовательно, знакочередующийся ряд - сходится.

Определим характер сходимости:

Составим ряд из абсолютных величин

Полученный ряд – знакоположительный, следовательно для определения его сходимости нужно воспользоваться одним из достаточных признаков сходимости знакоположительных рядов.

Воспользуемся признаком сравнения.

Сравним ряд с рядом , который сходится.

Так как ,

то из сходимости второго ряда следует сходимость первого (см. Признак сравнения).

Таким образом, ряд - сходится, а следовательно, знакочередующийся ряд - сходится абсолютно. ¨

Предыдущая 1 2 345 6 7 8 Следующая