Одновременно сходятся или расходятся.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Рассмотрим криволинейную трапецию (рис. 1), ограниченную сверху графиком функции y = f(x), с основанием от x =1 до x = n. Впишем в эту трапецию и опишем около нее две ступенчатые фигуры, состоящие из прямоугольников, основаниями которых служат отрезки

[1; 2], [2; 3], [3; 4], …, [n-1; n].

Рис. 1

Высотами прямоугольников первой из фигур служат значения функции f(2), f(3), f(4), …, f(n), а высотами прямоугольников второй – значения f(1), f(2), f(3), …, f(n-1). Площадь криволинейной трапеции, выражаемая интегралом , закючается между площадями вписанной и описанной ступенчатых фигур.

Так как площадь вписанной фигуры выражается суммой

а описанной – суммой

то получаем неравенство

или короче, .

Отсюда получаем:

; (1.3)

. (1.4)

Рассмотрим теперь следующие случаи:

1. Пусть несобственный интеграл сходится, это значит, что существует .

Так как f(x) > 0, то с возрастанием n интеграл возрастает и не превосходит своего предела: .

Из неравенства (1.3) следует, что .

Таким образом, в этом случае последовательность частичных сумм ограничена и, следовательно, существует конечный , т.е. ряд сходится.

2. Пусть несобственный интеграл расходится, это значит, что .

Из неравенства (1.4) следует, что последовательность частичных сумм {S_n} неограничена, следовательно, ряд расходится. #

Пример 1.6. Исследовать на сходимость ряд , (p > 0).

Р е ш е н и е.

Члены ряда являются значениями функции , удовлетворяющей всем условиям интегрального признака при .

Рассмотрим несобственный интеграл .

Сначала вычислим интеграл

а) Пусть 0 < p < 1, тогда n^1-^p ® ¥ при n ® ¥ и

- интеграл расходится. Следовательно, и ряд расходится.

б) Пусть p > 1, тогда при n ® ¥ и

т.е. несобственный интеграл сходится.

Следовательно, и ряд сходится.

в) Пусть p = 1, тогда

Интеграл расходится, следовательно, и ряд расходится. ¨

Замечание. При p £ 0 для ряда не выполняется необходимый признак сходимости, так как при n ® ¥ , следовательно, ряд расходится.

Ряд называют гармоническим рядом,

а ряд , (p > 0) – обобщенным гармоническим рядом.

Гармонический ряд — расходится.

Обобщенный гармонический ряд

—

Например,

ряды , , - сходятся,

а ряды , , - расходятся.

Пример 1.7. Исследовать на сходимость ряд:

а) ;

б) ;

в) ;

г)

Р е ш е н и е.

а)

Члены данного ряда являются значениями функции , удовлетворяющей условиям интегрального признака при xÎ [1; +¥ ).

Вычислим интеграл

,

т.е. несобственный интеграл сходится и вместе с ним сходится ряд .

б)

Общий член ряда .

Вычислим соответствующий несобственный интеграл:

,

несобственный интеграл расходится, следовательно, и ряд расходится.

в)

Члены ряда являются значениями функции , удовлетворяющей условиям интегрального признака при xÎ [1; +¥ ).

Несобственный интеграл

- расходится,

следовательно, и ряд расходится.

г)

Члены ряда являются значениями функции , удовлетворяющей условиям интегрального признака при xÎ [2; +¥ ).

Несобственный интеграл

- сходится,

следовательно, и ряд сходится. ¨

ПРИЗНАК СРАВНЕНИЯ

Теорема 1.6.

Пусть даны два ряда и , причем 0 £ u_n £ v_n.

Тогда:

1) если ряд - сходится, то и ряд - тоже сходится;

2) если ряд - расходится, то и ряд - расходится.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Обозначим через S_n и σ _n n-ые частичные суммы рядов

и соответственно. Из неравенства u_n £ v_n следует, что S_n £ σ _n.

1) Так как ряд - сходится, то существует , при этом, очевидно, σ _n < σ , а следовательно, и S_n £ σ _n < σ .

Таким образом, частичные суммы S_n ряда ограничены и, следовательно, ряд сходится, причем его сумма не превосходит суммы ряда .

2) Если ряд - расходится, то последовательность его частичных сумм возрастает, то есть .

А так как S_n £ σ _n, то и . Следовательно, ряд - расходится. #

Замечание. Обычно, выбирая ряд для сравнения, рассматривают либо обобщенный гармонический ряд , либо ряд, составленный из членов геометрической прогрессии .