Определение радиуса сходимости степенного ряда

Рассмотрим степенной ряд (2.2)

и воспользуемся приведенными в п. 2.1 рассуждениями.

Ряд (2.2) является знакопеременным, поэтому, чтобы исследовать его сходимость, составим ряд из абсолютных величин его членов (2.6)

Обозначим .

1⁰. По признаку Даламбера, для сходимости ряда должно выполняться условие

т.е.

откуда получим .

Обозначим

, (2.9)

где R – радиус сходимости степенного ряда (2.6), тогда - интервал сходимости степенного ряда (2.2).

2⁰. По радикальному признаку Коши, для сходимости ряда должно выполняться условие

т.е.

откуда получим .

Таким образом

(2.10)

является радиусом сходимости степенного ряда (2.2).

Радиус сходимости степенного ряда

Пример 2.2. Найти область сходимости степенного ряда:

а) ;

б) .

Р е ш е н и е.

а)

Определим радиус сходимости ряда, используя формулу (2.9)

; ,

тогда .

Следовательно, интервал сходимости ряда .

Исследуем ряд в граничных точках интервала сходимости.

1. При исходный степенной ряд примет вид:

Полученный знакоположительный ряд исследуем по предельному признаку сравнения. Сравним его с расходящимся гармоническим рядом .

Вычислим ,

тогда, согласно предельному признаку сравнения, и ряд - расходится. Следовательно, при степенной ряд расходится.

2. При получим числовой ряд

Это знакочередующийся ряд, для исследования сходимости применим признак Лейбница:

1) ; 2) ,

оба условия теоремы выполнены, следовательно, ряд сходится.

Исследуем характер сходимости, для чего составим ряд из абсолютных величин

Ряд расходится (показано выше).

Таким образом, знакочередующийся ряд сходится, а ряд из абсолютных величин его членов – расходится, следовательно, знакочередующийся ряд - сходится условно, а - точка условной сходимости степенного ряда .

Итак, область сходимости данного степенного ряда .

б)

Определим радиус сходимости степенного ряда, используя формулу (2.10).

, тогда .

Так как , , то интервал сходимости будет иметь вид

Рассмотрим сходимость степенного ряда в граничных точках интервала сходимости ряда.

При , получается расходящийся числовой ряд

При также получается расходящийся числовой ряд:

Окончательно, область сходимости исходного степенного ряда – , совпадает с интервалом сходимости ряда. ¨

Пример 2.3. Найти область сходимости степенного ряда

Р е ш е н и е.

Данный ряд является неполным степенным рядом, так как отсутствуют слагаемые с нечетными степенями, поэтому интервал сходимости находят, непосредственно применяя признак Даламбера (или Коши), для ряда, составленного из абсолютных величин членов данного ряда:

По признаку Даламбера:

, ,

Знакоположительный ряд будет сходиться, если

т.е. Þ Þ ,

Тогда и исходный ряд будет сходиться, и притом абсолютно в интервале (3; 5).

Исследуем сходимость степенного ряда в граничных точках.

1. При получим числовой ряд

который сходится – обобщенный гармонический ряд, . Следовательно, - точка сходимости степенного ряда.

2. При из ряда получим

т.е. - точка сходимости степенного ряда.

Таким образом, областью сходимости ряда будет отрезок [3; 5]. ¨

Основные свойства степенных рядов

1⁰. Степенной ряд сходится в точке . (Чтобы убедиться в этом, достаточно подставить в ряд ).

2⁰. Сумма степенного ряда

есть функция, непрерывная в интервале сходимости этого ряда.

3⁰. Степенные ряды и , имеющие радиусы сходимости соответственно R₁ и R₂, можно почленно складывать, вычитать и умножать. Радиус сходимости суммы, разности и произведения рядов не меньше, чем меньшее из чисел R₁ и R₂.

4⁰. Ряд (2.2) можно почленно дифференцировать в каждой точке x его интервала сходимости сколько угодно раз, при этом радиус сходимости ряда не меняется.

5⁰. Степенной ряд (2.4) можно почленно интегрировать на любом отрезке .

Þ .

Пример 2.4. Найти сумму ряда

Р е ш е н и е.

Обозначим сумму этого ряда через S(x):

Интервал сходимости этого ряда (-1; 1). На основании свойства 4⁰ его можно почленно дифференцировать в каждой точке данного интервала:

Справа в этом равенстве – сумма геометрической прогрессии.

Если , то ,

откуда при .

Зная, что , имеем

Þ С = 0.

Тогда . ¨

Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора и Маклорена.

Для приложений важно уметь заданную функцию f(x) представлять в виде разложения в степенной ряд.

Ряд Тейлора и Маклорена

Пусть функция y=f(x) имеет в точке x₀ и некоторой ее окрестности производные любого порядка.

Ряд

или

(2.11)

называется рядом Тейлора для функции f(x).

Если же для всех значений x из некоторой окрестности точки x₀ ряд сходится и имеет суммой f(x), то есть

то f(x) называется разложимой в ряд Тейлора в окрестности точки x₀ (или по степеням ).

Если , то ряд Тейлора имеет вид

(2.12)

и называется рядом Маклорена.

Теорема 2.2. Для того, чтобы функция была разложима в ряд Тейлора в окрестности точки x₀, необходимо и достаточно, чтобы

R_n(x) – остаточный член ряда Тейлора.

Записанный в форме Лагранжа, он имеет вид

, , .

Рис. 4

Теорема 2.3. Если имеет в некотором промежутке, содержащем точку x₀, производные всех порядков, для которых , то при и, значит, функция разложима в этом промежутке в ряд Тейлора.

Теорема 2.4. Если функция может быть разложена в ряд Тейлора, то это разложение единственно.

2.3.2. Разложение основных элементарных функций в ряд Тейлора (Маклорена)

При разложении функции в ряд Тейлора применяют следующие приемы:

I. Непосредственное разложение функции в ряд Тейлора, которое состоит из трех этапов:

a) формально составляют ряд Тейлора, для чего находят для любых n, вычисляют и подставляют найденные значения в (2.11);

b) находят область сходимости ряда (2.11);

c) выясняют, для каких значений x из области сходимости ряда , т.е., для каких x имеет место равенство

Предыдущая 1 2 3 4 567 8 Следующая