Ряды Фурье для четных и нечетных функций

В некоторых случаях формулы для вычисления коэффициентов Фурье могут быть упрощены. Это имеет место для четных и нечетных функций.

Допустим, что нужно разложить в ряд Фурье четную функцию .

Так как - функция четная, а - функция нечетная, то произведение будет функцией четной, а - функцией нечетной.

На основании свойств определенного интеграла от четных и нечетных функций на симметричном отрезке [-π; +π ] получим:

, (3.6)

Соответственно этому ряд Фурье для четной функции содержит только четные функции – косинусы и имеет вид

. (3.7)

Если требуется разложит в ряд Фурье нечетную функцию, то произведение будет функцией нечетной, а - функцией четной.

Поэтому

, . (3.8)

Ряд Фурье для нечетной функции будет иметь вид

. (3.9)

Таким образом, четная функция разлагается в ряд только по косинусам, а нечетная функция – только по синусам.

- четная функция

где ,

- нечетная функция

где .

Пример 3.2. Разложить в ряд Фурье функцию периода 2π, заданную в интервале (-π; π ) формулой .

Рис. 6

Р е ш е н и е.

Функция - четная, поэтому коэффициенты ряда определяются по формулам (3.6):

Таким образом,

Разложение в ряд Фурье функции имеет вид

Функция удовлетворяет условиям теоремы Дирихле, следовательно, ряд сходится на всей числовой оси и имеет своей суммой данную функцию, причем .

3.3.Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода 2l

Пусть функция , удовлетворяющая условиям теоремы Дирихле, задана на промежутке [-l; l] и имеет период 2l:

.

Тогда тригонометрический ряд Фурье для имеет вид

, (3.10)

, (3.11)

, (3.12)

. (3.13)

Пример 3.3. Разложить в ряд Фурье функция , заданную на отрезке [-1; 1].

Р е ш е н и е.

График функции имеет вид

Рис. 7

Эта функция удовлетворяет условиям Дирихле и, следовательно, может быть разложена в ряд Фурье. Применяя формулы (3.11) – (3.13), вычислим коэффициенты Фурье при :

,

.

Вычислим коэффициент , при :

.

Таким образом, ряд Фурье функции имеет вид:

или

Функция непрерывна во всех внутренних точках отрезка [-1; 1], поэтому, согласно теореме Дирихле, для всех этих точек сумма полученного ряда .

В точках разрыва сумма ряда равна

. ¨

3.4. Разложение в ряд Фурье функций, заданных на (0; l)

Функцию , удовлетворяющую условиям Дирихле в интервале (0; l), можно разложить в ряд Фурье только по косинусам или по синусам. Для этого достаточно продолжить четным или соответственно нечетным образом на интервал (l; 0) и для полученной на (-l; l) функции составить ряд Фурье. Коэффициенты Фурье будут при этом вычисляться по формулам соответственно (3.6), (3.7) или (3.8), (3.9).

Пример 3.4. Разложить в ряд Фурье по косинусам на отрезке .

Р е ш е н и е.

График функции имеет вид

Рис. 8

Продолжим четным образом на [-2; 0] (рис. 8а), а затем построи периодическое продолжение функции, заданной на [-2; 2] на всю ось Ox (рис. 8б).

Рис. 8а

Рис. 8б

Получим непрерывную на функцию; .

Ряд Фурье имеет вид

,

где ,

.

Ряд Фурье имеет вид

, . ¨

В ряд Фурье можно разложить и непериодическую функцию, заданную лишь в интервале (-l; l), вычисляя коэффициенты по формулам (3.10) – (3.13). Полученный ряд будет сходиться на всей числовой оси, а его суммой будет - периодическое продолжение на ось Ox.

Ряд Фурье ,

,

,

.

Ряд Фурье ,

,

,

.

Вопросы для самоконтроля

1. Определение числового ряда. Общий член ряда, сумма ряда.

2. Определение сходящегося и расходящегося рядов. Примеры.

3. Необходимый признак сходимости ряда. Приведите пример, показывающий, что он не является достаточным.

4. Достаточные признаки сходимости числовых знакоположительных рядов:

- Интегральный признак Коши

- Признак Даламбера

- Признаки сравнения

- Радикальный признак Коши.

5. Сходимость обобщенного гармонического ряда.

6. Определение знакопеременных и чередующихся числовых рядов. Абсолютная и условная сходимость.

7. Признак Лейбница о сходимости знакочередующихся рядов.

8. Оценка остатка сходящегося знакочередующегося ряда.

9. Функциональный ряд. Примеры.

10. Область сходимости функционального ряда.

11. Степенной ряд. Теорема Абеля о сходимости степенных рядов.

12. Радиус сходимости и область сходимости степенного ряда.

13. Свойства степенных рядов.

14. Ряды Тейлора, Маклорена функции . Условия разложимости функции в степенной ряд.

15. Разложение в ряд основных элементарных функций. Укажите интервалы, в которых данные разложения имеют место.

16. Приложения степенных рядов в приближенных вычислениях. Решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов.

17. тригонометрический ряд Фурье. Условия разложимости функций в ряд Фурье. Теорема Дирихле.

18. Ряд и коэффициенты Фурье периодической функции с периодом 2p и 2l.

19. Ряды Фурье для четных и нечетных функций.

20. Разложение в ряд Фурье функций, заданных на половине периода.

Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78Следующая