Необходимый признак сходимости ряда

Если предела последовательности частичных сумм ряда не существует или предел равен ¥, то ряд называют расходящимся.

 

Пример 1.3. Установить сходимость или расходимость ряда:

а)

б)

в) .

 

Р е ш е н и е.

а)

Составим последовательность частичных сумм ряда:

и т.д.

Очевидно,

Тогда , следовательно, ряд сходится и его сумма S=1.

 

б)

Элементы ряда образуют арифметическую прогрессию, тогда

и ряд расходится.

 

в)

Последовательность частичных сумм ряда имеет вид:

т.е. а

Таким образом, предела последовательности частичных сумм ряда не существует, следовательно, ряд расходится. ¨

 

Пример 1.4. Найти сумму ряда:

а)

б)

 

Р е ш е н и е.

а)

Общий член ряда

Составим последовательность частичных сумм:

…,

Разложим общий член ряда на сумму простейших дробей:

Приведем дроби к общему знаменателю

и приравняем числители:

при n = -1 1 = A Þ A = 1,

при n = -2 1 = -B Þ B = -1,

получим

следовательно,

…

Тогда

После раскрытия скобок и приведения подобных членов, получим

Þ ряд сходится и сумма S = 1.

 

б)

Разложим общий член ряда

на сумму простейших дробей:

При n =

Þ 1=5А Þ

при n =

Þ 1=-5В Þ

получим

следовательно, n-ая частичная сумма ряда равна

После приведения подобных членов, получим

Тогда Þ ряд сходится и

сумма ряда . ¨

 

Рассмотрим ряд, составленный из членов геометрической прогрессии:

Сумма n первых членов геометрической прогрессии (n-ая частичная сумма построенного ряда) вычисляется по формуле

1) Если |q| < 1, то qⁿ ® 0 при n ® ¥ .

Тогда

Следовательно, ряд при |q| < 1 сходится и его сумма

равна .

2) Если |q| > 1, то qⁿ ® ¥ при n ® ¥ .

Тогда

следовательно, ряд расходится.

3) Если q = 1, то ряд принимает вид a + a + a + a + … + a + …

При a ≠ 0 и т.е. ряд расходится.

4) Если q = -1, то ряд принимает вид

Так как при a ≠ 0 а то не существует и ряд расходится. ¨

Ряд, составленный из членов геометрической прогрессии,

сходится при |q| < 1, расходится при |q| ≥ 1.

Например,

Ряды сходятся,

а ряды расходятся.

 

Ряд (1.2)

полученный из ряда (1.1) отбрасыванием первых n членов, называется n-ым остатком ряда или n-ым остаточным членом ряда.

 

Если сумму остаточного члена сходящегося ряда обозначить R_n, то, очевидно, S_n + R_n = S.

 

Вычисление суммы ряда, если оно возможно, связано с громоздкими вычислениями. Поэтому чаще всего ограничиваются приближенным вычислением частичной суммы ряда, полагая S = S_n и допуская при этом ошибку, равную Но для этого надо быть уверенным, что данный ряд сходится.

Поэтому особое значение приобретают приемы и методы, позволяющие определить сходимость ряда без нахождения его суммы.

 

Необходимый признак сходимости ряда

 

Теорема 1.1. Если ряд (1.1) сходится, то предел его общего члена равен нулю.

— сходится Þ

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Пусть - сходится и его сумма равна S, т.е. , но тогда и . Так как , то

#

 

Сформулированный признак является необходимым, но не достаточным, т.е.

 

из того, что не следует, что — сходится.

Свойства сходящихся рядов.

 

Теорема 1.2. Пусть ряды и - сходятся и имеют соответственно суммы S и σ , тогда ряд - тоже сходится и его сумма равна S ± σ.

 

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Так как ряд - сходится, то существует ,

где .

Так как ряд - сходится, то существует ,

где .

Обозначим через d_n n-ую частичную сумму ряда :

Тогда

Следовательно, ряд - сходится и его сумма равна . #

 

Теорема 1.3. Пусть ряд - сходится и имеет сумму S, тогда ряд , где l - число, тоже сходится и его сумма равна lS.

 

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Так как ряд - сходится, то существует ,

где .

Обозначим через d_n n-ую частичную сумму ряда :

.

Тогда ,

следовательно, ряд - сходится и его сумма равна lS. #

 

Теорема 1.4. Если у сходящегося ряда отбросить конечное число первых членов ряда, то полученный ряд также будет сходиться.

 

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Обозначим через —

сумму n первых членов ряда ,

— сумму m отброшенных членов (m < n),

— сумму n—m первых членов полученного остатка ряда после m-го члена: .

Тогда .

Если ряд сходится, то существует .

Тогда ,

т.е. последовательность частичных сумм σ _n-m ряда имеет конечный предел.

Следовательно, ряд сходится. #

 

 

ИНТЕГРАЛЬНЫЙ ПРИЗНАК КОШИ

Теорема 1.5.

Пусть дан знакоположительный ряд (u_n ≥ 0)

Пусть функция f(x): а) положительная, непрерывная и

монотонно убывающая на [1; +¥ ),

б) f(1) = u₁, f(2) = u₂, …, f(n) = u_n, …

Тогда интеграл и ряд

ПРИЗНАК СРАВНЕНИЯ

Теорема 1.6.

Пусть даны два ряда и , причем 0 £ u_n £ v_n.

Тогда:

1) если ряд - сходится, то и ряд - тоже сходится;

2) если ряд - расходится, то и ряд - расходится.

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Обозначим через S_n и σ _n n-ые частичные суммы рядов

и соответственно. Из неравенства u_n £ v_n следует, что S_n £ σ _n.

1) Так как ряд - сходится, то существует , при этом, очевидно, σ _n < σ , а следовательно, и S_n £ σ _n < σ .

Таким образом, частичные суммы S_n ряда ограничены и, следовательно, ряд сходится, причем его сумма не превосходит суммы ряда .

2) Если ряд - расходится, то последовательность его частичных сумм возрастает, то есть .

А так как S_n £ σ _n, то и . Следовательно, ряд - расходится. #

 

Замечание. Обычно, выбирая ряд для сравнения, рассматривают либо обобщенный гармонический ряд , либо ряд, составленный из членов геометрической прогрессии .

Пример 1.8. Исследовать на сходимость ряд:

а) , ;

б) ;

в) .

Р е ш е н и е.

а) , .

Воспользуемся признаком сравнения.

Для сравнения возьмем ряд , о котором известно, что он сходится

(ряд геометрической прогрессии со знаменателем ), а т.к.

, то исходный ряд сходится.

б)

Оценим общий член данного ряда .

Ряд - сходится (составлен из членов геометрической прогрессии со знаменателем ).

А в силу неравенства , по признаку сравнения, из сходимости большего ряда следует, что ряд тоже сходится.

в)

Воспользуемся признаком сравнения.

Так как при t ® 0, а при , можно записать цепочку неравенств

, (*)

Ряд - сходится как обобщенный гармонический ряд с .

Тогда, по признаку сравнения, сходится и ряд . ¨

Теорема 1.7.

Пусть даны два ряда и (u_n ≥ 0, v_n ≥ 0).

Если (0 < A < ¥ ), то оба ряда одновременно

Сходятся или расходятся.

Замечание. При выборе ряда для сравнения можно воспользоваться следующими правилами.

Пусть P_m(n) и Q_r(n) – многочлены относительно переменной n.

I. Ряды вида сравнивают с рядом , где p = r—m.

II. Ряды вида

, ,

,

сравнивают с рядом .

III. Ряды вида

сравнивают с рядом .

Пример 1.9. Исследовать на сходимость ряд:

а) ; б) ;

в) .

Р е ш е н и е.

а) .

Ряды такого вида лучше исследовать по предельному признаку сравнения. Чтобы подобрать второй ряд, оставим в числителе и знаменателе общего члена ряда только старшие члены многочленов, получим - гармонический ряд, расходящийся, а далее применим предельный признак сравнения.

Имеем: , ,

тогда , следовательно, по предельному признаку сравнения, ряд - расходится, т.к. выбранный для сравнения ряд - расходится.

б)

Для сравнения возьмем ряд - сходящийся

(обобщенный гармонический ряд при p = 3).

Имеем: , .

Вычислим

.

Условие теоремы выполняется, а так как ряд сходится, то и ряд тоже сходится.

в)

Рассмотрим сначала ряд .

По интегральному признаку этот ряд сходится, т.к. соответствующий несобственный интеграл сходится:

.

Для рядов и применим предельный признак сравнения.

Вычислим

,

т.е. ряды ведут себя одинаково относительно сходимости, следовательно, ряд сходится. ¨

ПРИЗНАК ДАЛАМБЕРА

Теорема 1.8.

Если для ряда , u_n ≥ 0,

, то при

Д о к а з а т е л ь с т в о.

а) Пусть d < 1. Так как , то на основании определения предела числовой последовательности для любого e > 0 можно подобрать такое натуральное число N, зависящее от e, что для всех членов ряда, номер которых n ≥ N, выполняется неравенство

.

Откуда следует, что ,

или .

Пусть , тогда имеем .

Так как d < 1 по предположению, а e произвольно мало, то можно выбрать e настолько малым, чтобы .

Таким образом, для n ≥ N имеем:

, , , …, Þ

,

,

, …

Рассмотрим два ряда:

, (1.5)

(1.6)

Ряд (1.6) сходится как геометрическая прогрессия со знаменателем |q| < 1. так как члены ряда (1.5) меньше соответствующих членов ряда (1.6), то по признаку сравнения ряд (1.5) тоже сходится.

Но ряд (1.5) получается из данного ряда отбрасыванием конечного числа первых членов ; следовательно, по теореме 1.4. ряд (1.4) также сходится.

б) Пусть теперь d > 1. Тогда , т.е. начиная с достаточно больших значений n ≥ N, выполняется неравенство , или . Таким образом, члены ряда возрастают с увеличением номера члена n. Поэтому , т.е. выполняется достаточный признак расходимости ряда и, следовательно, ряд расходится. #

Замечание. При d = 1 признак Даламбера не вопрос о том, сходится или расходится ряд, ответа не дает. В этом случае может иметь место как сходимость, так и расходимость, что устанавливается с помощью других признаков.

Пример 1.10. Исследовать на сходимость ряд:

а) ; б) ;

в) .

Р е ш е н и е.

а)

В формуле содержится множитель n! (n факториал), поэтому воспользуемся признаком Даламбера.

Найдем и вычислим

.

Следовательно, по признаку Даламбера, ряд схоится.

б)

Так как ,

то , тогда

,

следовательно, ряд расходится.

в)

Воспользуемся признаком Даламбера.

Так как , то .

Вычислим

,

следовательно, ряд расходится. ¨

РАДИКАЛЬНЫЙ ПРИЗНАК КОШИ

Теорема 1.9.

Если для ряда (u_n ≥ 0)

, то при

Доказательство радикального признака аналогично доказательству признака Даламбера и основано на сравнении с рядом (1.6).

Пример 1.11. Исследовать на сходимость ряд:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) .

Р е ш е н и е.

а) Общий член ряда .

Воспользуемся радикальным признаком Коши.

Вычислим .

Так как , то ряд расходится.

б)

Общий член ряда .

Вычислим .

Так как , следовательно, ряд сходится.

в)

Общий член ряда .

Исследуем по радикальному признаку Коши:

.

Следовательно, ряд сходится.

г)

Общий член ряда . Вычислим предел:

.

Так как , то ряд сходится.

д)

Так как и

,

следовательно, ряд расходится.

е)

Воспользуемся радикальным признаком: ,

,

следовательно, ряд сходится. ¨

Теорема 1.11.

Если у знакочередующегося ряда

1) абсолютные величины членов ряда монотонно

убывают (начиная с некоторого номера n):

2) общий член ряда стремится к нулю:

,

то ряд сходится.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Рассмотрим частичную сумму четного числа членов ряда

.

Сгруппируем члены попарно:

.

Так как по условию абсолютные величины членов ряда монотонно убывают, то все разности в скобках положительны и, следовательно, сумма S_2m положительна (S_2m > 0) и возрастает при увеличении номера m.

Запишем теперь S_2m, группируя члены иным образом:

.

Сумма в квадратных скобках будет также положительной.

Поэтому для любого значения m: . Таким образом, последовательность четных сумм {S_2m} возрастает с увеличением m, оставаясь ограниченной. Следовательно, S_2m имеет предел

.

Так как , то .

Рассмотрим теперь сумму нечетного числа членов:

.

При m ® ¥ имеем

,

Так как по условию , следовательно, и .

Таким образом, частичные суммы как четного, так и нечетного числа членов ряда имеют общий предел S. Это означает, что вообще , т.е. ряд сходится. #

Замечание. Из доказательства теоремы следует, что сумма знакочередующегося ряда S удовлетворяет неравенствам 0 < S < u₁.

Так как знакочередующийся ряд является частным случаем знакопеременных рядов, то для него справедливы все определения и теоремы предыдущего пункта 1.5, в том числе понятие и свойства абсолютной и условной сходимости ряда.

Если - сходится и

- сходится,

то - сходится абсолютно.

Если - сходится, а

- расходится,

то - сходится условно.

Пример 1.13. Исследовать ряд на абсолютную или условную сходимость:

а) ; б) ;

в) .

Р е ш е н и е.

а) - это знакочередующийся ряд.

Проверим выполнение условий признака Лейбница:

1) ; 2) ,

оба условия теоремы выполнены, следовательно, ряд сходится.

Исследуем характер сходимости, для чего составим ряд из абсолютных величин

.

Получили знакоположительный ряд, гармонический, расходящийся.

Таким образом, знакочередующийся ряд сходится, а ряд из абсолютных величин его членов – расходится, следовательно, знакочередующийся ряд - сходится условно.

б)

Ряд знакочередующийся. Проверим выполнение условий признака Лейбница:

1) ; 2) .

Оба условия признака Лейбница не выполняются, следовательно, знакочередующийся ряд - расходится.

в)

Ряд знакочередующийся.

Проверим выполнение условий признака Лейбница:

1) ; 2) .

Оба условия признака Лейбница выполняются, следовательно, знакочередующийся ряд - сходится.

Определим характер сходимости:

Составим ряд из абсолютных величин

.

Полученный ряд – знакоположительный, следовательно для определения его сходимости нужно воспользоваться одним из достаточных признаков сходимости знакоположительных рядов.

Воспользуемся признаком сравнения.

Сравним ряд с рядом , который сходится.

Так как ,

то из сходимости второго ряда следует сходимость первого (см. Признак сравнения).

Таким образом, ряд - сходится, а следовательно, знакочередующийся ряд - сходится абсолютно. ¨

Функциональные ряды

Степенные ряды

Степенным рядом называется функциональный ряд вида

, (2.2)

т.е. ряд, членами которого являются степенные функции.

Более общий вид степенного ряда:

(2.3)

Замечание. Так как , то ряды

и

являются степенными, а ряды

и

функциональные, но не являются степенными.

Теорема 2.1 (Абеля).

Если степенной ряд (2.2)

сходится в некоторой точке ,

то он сходится (причем абсолютно) при всех значениях x,

удовлетворяющих условию .

Д о к а з а т е л ь с т в о.