Понятие функции нескольких переменных

Переменные x и y называются аргументами.

При получим частное значение функции .

Область на плоскости Oxy, состоящая из одних внутренних точек, называется открытой или незамкнутой. (Точки, входящие в область вместе со своей окрестностью, называются внутренними) Открытая область вместе с ее границей называется замкнутой. Область называется ограниченной, если существует круг, полностью ее покрывающий.

Примеры:

1) ; ;

Область определения – вся плоскость Oxy

(незамкнутая (, открытая), неограниченная)

2) ;

Область определения – круг с центром в т. O(0; 0)

и радиусом .

(замкнутая, граница – окружность , ограниченная)

3) ;

Область определения – внутренность круга с центром

в т. O(0; 0) и радиусом .

(открытая, ограниченная)

Определение: Переменная u называется функцией независимых переменных , если каждой совокупности значений по некоторому правилу или закону поставлено в соответствие определенное значение переменной u.

Замечание 1. Арифметическое пространство , метрическое пространство

Определение: Множество всех упорядоченных наборов действительных чисел называется n-мерным арифметическим пространством . Каждый упорядоченный набор действительных чисел обозначают и называют точкой пространства , а – i-ой координатой этой точки.

Расстояние между двумя точками и определяют по формуле .

Множество с введенным в нем расстоянием между двумя точками называется метрическим пространством .

Метрическое пространство можно рассматривать как векторное пространство, если для его элементов (векторов) и определить понятие равенства векторов, суммы векторов и умножения векторов на число (аналогично для ).

- норма (длина) вектора

Замечание 2. Геометрическое изображение функции двух независимых переменных

Рассмотрим функцию двух переменных (1)

Рассмотрим пространство Oxyz.

На плоскости Oxy изобразим область D – область

определения функции z. Каждой точке

соответствует точка , где .

(Всей области D соответствует некоторая поверхность).

Геометрическое место точек P, координаты которых

удовлетворяют (1), называется графиком функции двух переменных.

Графиком функции в пространстве Oxyz является поверхность. Уравнение (1) называют уравнением поверхности.

– уравнение поверхности в явном виде

– уравнение поверхности в неявном виде

Поверхности, имеющие уравнение второй степени, называются поверхностями второго порядка.

Числа a, b, c – полуоси эллипсоида.

Рассмотрим сечения эллипсоида плоскостями:

1) плоскостью Oхy:

– эллипс

2) аналогично в сечении плоскостями Oyz и Oxz –эллипсы

3) в сечении эллипсоида плоскостями ,

, также получаем эллипсы

Свойства эллипсоида:

1) эллипсоид – замкнутая поверхность, симметричная

относительно начала координат и относительно координатных

плоскостей

2) Если , то в сечении плоскостью Oxy получим – окружность. Эллипсоид является эллипсоидом вращения вокруг оси Oz

3) Если , то эллипсоид вращения вокруг оси Oх

4) Если , то эллипсоид вращения вокруг оси Oу

5) Если , то – сфера

Рассмотрим сечения эллиптического параболоида плоскостями:

1) плоскостью Oхy:

, – точка О(0, 0, 0)

не пересекается с плоскостью Oхy

2) плоскостью Oхz: – парабола

3) плоскостью Oуz: – парабола

4) плоскостью , – эллипсы

§3. Предел и непрерывность функции двух переменных

Определение: Окрестностью точки называется

внутренность круга с центром в точке . Если радиус круга ,

то имеем -окрестность т .

Определение: Число называется пределом функции двух

независимых переменных , если для любого сколь угодно малого положительного значения найдется такая -окрестность точки , что для любой точки из этой окрестности (за исключением, быть может, т. ) выполняется неравенство или , обозначается:

или

Определение: Функция называется непрерывной в т. , если она определена в т. и некоторой её окрестности, если существует предел функции в т. , равный значению функции в этой точке, т.е.

или

Определение: Функция называется непрерывной в области D, если она непрерывна в каждой точке этой области.

ТЕОРЕМА. Если функция непрерывна в ограниченной замкнутой области D, то она в этой области:

1) Ограничена, т.е. ;

2) Достигает своих наименьшего и наибольшего значений;

3) Принимает все промежуточные значения.

(Без доказательства)