Частные производные функции двух переменных. Дифференцируемость функции двух переменных

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3

Пусть в области D задана функция . Если считать постоянным, то функция будет функцией одной переменной x. Значит можно рассматривать её производную по . Если считать x постоянным, то будет функцией по переменной , и можно рассматривать производную по .

Возьмем т. , найдем . Дадим приращение , а оставим неизменным. Получим т. , найдем . Функция получит приращение – частное приращение функции по переменнойx .

Аналогично, если получит приращение , а сохраняет постоянное значение, то функция получит приращение – частное приращение функции по переменной

Если получит приращение , а приращение , то функция получит приращение – полное приращение функции

Определение: Частной производной функции по называется предел отношения частного приращения по к приращению аргумента при

Обозначается: ; ;

Определение: Частной производной функции по называется предел отношения частного приращения по к приращению аргумента при

вычисляется в предположении, что

вычисляется в предположении, что

Частные производные вычисляются по тем же правилам и формулам, что и производные функции одной переменной.

Примеры:

1) ;

2) ;

3) Доказать, что удовлетворяет уравнению

Решение:

;

Определение: Функция называется дифференцируемой в т. , если её полное приращение в этой точке можно представить в виде

(1)

где и – постоянные (не зависят от а зависят от координат т. )

при

(1) можно записать в виде , где – расстояние от т. до т. . Слагаемое , линейное относительно и , называют главной частью приращения функции.

ТЕОРЕМА 1. Если функция дифференцируема в т. , то она непрерывна в этой точке.

ТЕОРЕМА 2. ( необходимое условие дифференцируемости функции ) Если функция дифференцируема в т. , то она имеет в этой точке частные производные , , причем (2)

ТЕОРЕМА 3. ( достаточное условие дифференцируемости функции ) Если функция имеет частные производные в некоторой окрестности т. , непрерывные в самой этой точке, то она дифференцируема в этой точке.

Замечание. Для функции одной переменной понятия «дифференцируемости» и «существования производной» равносильны. Для функции нескольких переменных (в частности двух) утверждения «функция дифференцируема в данной точке» не равнозначно утверждению «функция имеет частные производные по всем переменным в этой точке».

Полное приращение и полный дифференциал функции двух переменных

Из формул (1) и (2) предыдущего параграфа получим, что если дифференцируема в т. , то ее полное приращение в этой точке можно представить в виде

Определение: Если функция дифференцируема в т. , то главная, линейная относительно и часть приращения функции, то есть выражение называется полным дифференциалом функции и обозначается .

Приращения и называются дифференциалами независимых переменных x и y.

Итак, – полный дифференциал функции

Пример: Найти полный дифференциал в произвольной точке

Решение. , ,

, – непрерывны на всей плоскости Oxy существует в любой точке Oxy.

Замечание. ,

Полный дифференциал применяется к приближенным вычислениям.

Дифференцирование сложной функции

Пусть дана функция , где , – функции от t. Тогда – сложная функция от t, а переменные x и y – промежуточные аргументы.

Пусть , имеют производные в точке t, а в соответствующей точке дифференцируема.

Найдем , зная , и , . Дадим t приращение , тогда x и y получат приращения , , а z приращение . Функция z дифференцируема, значит

, где при .

Разделим на :

Устремим :

Если , то и , так как и непрерывны

(1) - производная сложной функции , где ,

Пример: , ,

, ,

Замечание. Рассмотрим функцию , где , . Тогда – сложная функция и ее частные производные вычисляются по формулам (при условии дифференцируемости соответствующих функцийее частные производные вычисляются по формулам ()):

Полная производная

Рассмотрим функцию , где . Переменная z есть функция одной переменной х: . Тогда из , где вместо t рассматривать переменную х, получаем (2) – формула полной производной