Точечные и интервальные оценки истинного

Значения измеряемой величины

Точечные оценки. В метрологии для оценки параметров случайных величин на основе выборочных значений используют математическое ожидание и СКО.

Оценки параметра называют точечными, если они выражаются одним числом.

Любые точечные оценки выполняются на основании опытных данных. Они являются функциями случайных величин с распределенными, зависящими от распределения оцениваемых параметров измеряемой величины и числа опытов.

Поэтому точечные оценки должны удовлетворять требованиям состоятельности, несмещенности и эффективности.

Используются несколько методов определения оценок, но наиболее распространен метод наибольшего правдоподобия.

При выполнении многократных измерений истинное значение величины сосредоточено в наблюдении. Х₁...Х_n их можно рассматривать как n независимых случайных величин с одной функцией распространения , но вероятность P_i получения результата х_i будет равна какой-то части общей вероятности.

Вероятность появления всех результатов может быть определена

Суть этой методики состоит в том, что при изменении характеристик распространения может быть достигнута наибольшая вероятность получения экспериментальных данных.

В соответствии с методом Фингера, те значения при которых достигнет наибольшего значения и принимаются в качестве точечных оценок истинного значения.

В соответствии с данной методикой доказано, что точечной оценкой результатов измерений расп-х по норм. закону являются

;

Таким образом, оценкой истинного значения величины является среднее арифметическое значение, а оценкой дисперсии является среднее из квадратов отклонений результатов наблюдений от среднего арифметического.

Исходя из теории наибольшего правдоподобия для норм. закона распр-ия установлены следующие виды оценок.

1) Оценка истинного значения является среднее арифметическое значение результатов отдельных измерений.

;

2) Оценка среднего квадратичного отклонения результатов наблюдения

;

3) Оценка СКО среднего арифметического значения

4) Оценка СКЛ оценки среднего квадрат. Отклонения результатов наблюдений.

Интервальные оценки

Сущность оценки параметров измерений с помощью интервалов заключается в нахождении доверительных нтервалов между границами которых с какой-то доверит вероятностью может находиться истинное значение оцениваемых параметров.

Интервальные оценки применяются в сочетании с точечными.

Допустим при обработке результатов изменений получена точечная оценка, отвечающая требованиям состоятельности, несмещенности и эффективности

Эта оценка используется вместо истинного значения Х_ист. = Q

ε ε

X_ист

0 x

доверительный интервал

Истинное значение величины будет с доверительной вероятностью находится между границами доверительного интервала + ε

Указанная вероятность может быть представлена в следующем виде

- квантиль закона распределения

Величина для различных законов распределения составляет следующие значения

Р закон распределения	0, 90	0, 95	0, 99	0, 999
нормальный	1, 645	1, 360	2, 576	3, 290
равномерный	1, 55	1, 64	1, 71	1, 73
треугольный	1, 67	1, 90	2, 20	2, 37

ε – половина доверительного интервала

Формула доверительного интервала

Поскольку на практике можно воспользоваться статистическими определенными видами оценок данная формула приводится к следующему виду:

где и S_X – точечные оценки по результатам наблюдений

Для точного определения доверительного интервала для случайных величин Х распространенных по норм. закону при неизвестной дисперсии рекомендуется применять закон распространения Стюдента С(n-1) степенями свободы. В этом случае определяется по таблицам Стьюдента для соответствующей вероятности Р = 0, 90... 0, 999S k = n-1

При использовании распределения Стьюдента применение СКО без всяких оснований закон распределения Стьюдента при определении может использоваться в тех случаях, когда распределение случайных величин не является нормальным. На основании закона больших чисел при достаточно большом n(20 - 25) сумма случайных величин будет подчиняться нормальному закону.

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 5 67