|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
|
|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОГО СПЕКТРАСтр 1 из 5Следующая ⇒
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ Тесная связь учебного процесса с фундаментальными научными исследованиями является наиболее характерным отличием университетского образования. Поэтому в настоящее время актуально увеличение научного содержания во всех видах учебного процесса, включая курсовые работы. Изучение релаксационной поляризации полимерных полупроводников полиаценхинонов в ИрГТУ совместно с ИрИХ СО РАН привело к открытию семиэлектриков (от semiconductor – полупроводник и dielectric) [1]. Это новый класс полимеров, обладающих особыми свойствами диэлектриков вследствие нового электронного явления – локальной проводимости макромолекул [2]. Параметры этой проводимости, определяемые из диэлектрических спектров, можно изменять в зависимости от химического состава и условий синтеза полимеров. Таким путем можно управлять их электрофизическими свойствами с целью получения материалов молекулярной электроники. Перспективными материалами считаются полимеры с сопряженными связями, в частности, полиаценхиноны, а также комплексы с переносом заряда, к которым относятся полимерные ион-радикальные соли тетрацианохинодиметана (ИРС ТЦХМ). Для этих полимеров ранее [3] предложена структурная модель проводящих молекулярных цепей. Молекулярная электроника [4] представляет собой направление в микроэлектронике с целью изучения возможности расширения ее элементной базы. В настоящее время актуально создание физической основы этого направления, которую по аналогии с электроникой твердого тела можно назвать электроникой макромолекул. Для этого необходима разработка методов исследования структуры и процессов переноса заряда в полимерных полупроводниках. В связи с поиском подходов к решению проблемы представляет интерес диэлектрическая спектроскопия полимерных полупроводников, открывающая принципиальную возможность изучения процессов внутримолекулярного переноса заряда путем исследования поляризации проводящих макромолекул. Методом круговых диаграмм в спектре прессованного образца полиаценхинона удалось обнаружить три области дисперсии комплексной диэлектрической проницаемости, соответствующие различным механизмам поляризации. Чрезвычайно большая 1-я область дисперсии в диапазоне низких и звуковых частот объяснена межслойной поляризацией, связанной с образованием барьера Шоттки, значительно меньшая 2-я область в диапазоне звуковых и ультразвуковых частот – поверхностной емкостью, связанной с образованием поверхностного барьера, сравнительно небольшая 3-я область – межслойной поляризацией трехмерных проводящих макромолекул. Предлагаемые темы курсовых работ посвящены анализу диэлектрических спектров полимерных ИРС ТЦХМ, опубликованных в процессе разработки методов синтеза сверхдиэлектриков [34], построенных из сверхпроводящих изолированных молекулярных цепей, для создания конденсаторов [12] и волноводов [34]. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ Целью является развитие навыков самостоятельной творческой работы. Курсовая работа должна включать оглавление, введение, реферативный раздел, расчетно-графический раздел, заключение и список литературы. Во введении необходимо обосновать актуальность проблемы, определить ее состояние и сформулировать задачи и цели работы с указанием объекта и метода исследования. Рекомендуемый объем – 1 страница. Для достижения цели в реферативном разделе курсовой работы необходимо усвоить идею, перефразировать текст и записать его своими словами кратко. Однако математические выводы следует сделать более подробно, чем в литературе повышенной трудности. Рекомендуемый объем реферативного раздела – от 10 до 12 страниц. Творческое начало заключается в уменьшении объема текста. При этом плагиат не допускается. Расчетный раздел представляет собой анализ опубликованного диэлектрического спектра методом круговых диаграмм и дисперсионных графиков с целью определения значений параметров обобщенного уравнения Дебая. Результаты должны быть представлены в виде диэлектрического спектра, его круговой диаграммы и дисперсионных графиков диэлектрической проницаемости и коэффициента потерь при постоянной температуре в диапазоне частот до 1 МГц. В измеренные значения тангенса угла диэлектрических потерь следует ввести поправку на сопротивление образца и от гибридного спектра (частотной зависимости диэлектрической проницаемости и тангенса угла потерь) перейти к основному спектру – частотной зависимости диэлектрической проницаемости и коэффициента потерь. Численные результаты раздела оформляются в виде таблицы в системе СИ. При этом оценивается их погрешность. Заключение представляет резюме (краткое содержание работы) и выводы, в которых объясняются полученные результаты, определяется их новизна, теоретическая и практическая ценность, а также предлагаются рекомендации для их использования. Рекомендуемый объем – 1 страница. Рекомендуемый объем работы – 25 страниц. Рисунки, таблицы и формулы необходимо нумеровать. Рисунки и таблицы должны иметь надписи. Разделы курсовой работы необходимо нумеровать и снабжать заголовками, отделяя их от текста свободными строками. Раздел не следует начинать формулой, рисунком или таблицей: им должен предшествовать текст. Список литературы должен соответствовать ГОСТ и включать хотя бы одну монографию в соответствии с требованием повышения научного содержания учебного процесса. При этом в тексте курсовой работы обязательно должны быть ссылки на используемые литературные источники. Грамматические ошибки недопустимы. Защита проводится публично, перед всей группой. На доклад отводится 10 минут. Желательный иллюстративный материал: круговая диаграмма, дисперсионные графики и таблица. Глава 1 ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОГО СПЕКТРА Диэлектрическая релаксация Диэлектрическая релаксация представляет собой постепенное изменение поляризованности диэлектрика при достаточно быстром («мгновенном») изменении приложенного электрического поля. Оказывается, что функция от времени, описывающая такое изменение, содержит столько же информации о диэлектрике, что и частотный спектр комплексной диэлектрической проницаемости. Будем рассматривать переход от временного спектра к частотному как задачу феноменологической теории диэлектриков с целью объяснения частотного спектра на основе более простого явления релаксации. Для ознакомления с этим явлением поставим мысленный эксперимент с целью получения и анализа осциллограммы токов зарядки и разрядки конденсатора с диэлектриком (рис. 1-1). Пусть в момент времени По этим данным требуется определить зависимость поляризованности от времени P(t). Предположим, что при
где h – толщина диэлектрика и S - площадь приэлектродной поверхности. При этом напряженность среднего макроскопического поля равна
а отношение Р к Е определяет восприимчивость c и проницаемость e диэлектрика:
Рис. 1-1. Схема установки для проведения мысленного эксперимента по определению функции диэлектрической релаксации
Предположим, что при ступенчатой функции напряженности электрического поля (рис. 1-2, а) ток зарядки зависит от времени экспоненциально:
где I0 и I¥ – соответственно начальное и установившееся значения тока и t - время релаксации. Для простоты в дальнейшем будем считать I¥ = 0 (рис. 1-2, б). Для определения функции q(t) учтем, что
Из формулы (1.5) следует:
Постоянная интегрирования определяется из условия
где
– емкость конденсатора без диэлектрика. Из (1.6) получаем
откуда следует:
Поэтому функция (1.6) определится как
Для определения q¢ (t) учтем, что
Из формулы (1.9) следует:
Подставляя q(t) из формулы (1.8), получаем:
Для определения функции P(t) в формуле (1.11) выразим q¢ через P согласно (1.1). Получим:
где P¥ – установившееся значение поляризованности. Графики полученных зависимостей представлены на рис. 1-2.
Рис. 1-2. Результаты мысленного эксперимента при зарядке конденсатора (рис. 1-1). Временные диаграммы: а – напряженности приложенного к диэлектрику электрического поля, б – тока зарядки конденсатора с диэлектриком, в – свободного q (1) и связанного q¢ (2) зарядов, г – поляризованности 1.3. Преобразование Лапласа Преобразование Лапласа представляет переход от функции f(t) действительной переменной к функции
Функция
в предположении, что функция
График этой функции показан на рис. 1-3.
Рис. 1-3. Функция Хевисайда
При этом преобразование Лапласа принимает вид:
Обычно единичную функцию опускают, учитывая ее неявно.
1.4. Уравнение Дебая Предположим, что к диэлектрику приложено переменное напряжение
где uм – амплитуда и w - круговая частота. Уравнения Дебая выражаются формулами:
где e¢ - диэлектрическая проницаемость, e¢ ¢ - коэффициент потерь, e¢ s и e¢ ¥ - соответственно низкочастотный и высокочастотный пределы e¢ в области дисперсии, De¢ - инкремент e¢ и t - время релаксации. Формулы (1.18) и (1.19) иллюстрируют рисунки 1-4 и 1-5. В области дисперсии наблюдается запаздывание во времени поляризованности P(t) и индукции
относительно приложенного электрического поля E(t) на угол j. Для описания этого явления удобен символический метод, в котором используются комплексные величины, далее отмечаемые звездочкой:
и
Согласно формуле
вводится комплексная диэлектрическая проницаемость
где по формуле Эйлера
e¢ и e¢ ¢ выражаются формулами:
Рис. 1-4. Диэлектрический спектр при отсутствии распределения времени релаксации (a = 1)
Рис. 1-5. Круговая диаграмма, соответствующая спектру рис. 1-4 (a = 1)
При этом уравнения Дебая объединяются в одно комплексное выражение:
Чтобы получить формулы (1.18) и (1.19) из (1.28), нужно избавиться от мнимой единицы в знаменателе, умножая его и числитель на Покажем, что уравнение вида (1.28) может быть получено из экспоненциальной функции поляризованности от времени P(t). Запишем равенство (1.3) в виде:
Ему соответствует операторное уравнение:
Операторы
Подставляя
где
При
Обобщенное уравнение Дебая Поскольку все n релаксаторов дают вклад De¢ в диэлектрическую проницаемость полимера, а вклад их числа dn равен de¢, из (1.34) следует, что функцию распределения можно выразить иначе:
При этом абсолютный вклад в диэлектрическую проницаемость равен
Обобщение уравнений Дебая (1.18), (1.19) с учетом распределения времени релаксации представляет суперпозицию вкладов в диэлектрический спектр отдельных групп релаксаторов:
Выберем в качестве функции распределения (1.44), заменив параметр b выражением
где a называется параметром распределения времени релаксации. При этом соответствующая безразмерная функция (1.49) выразится формулой:
Согласно (1.56) при уменьшении a пик плотности вероятности уменьшается и расширяется при постоянстве площади под кривой При a = 1 распределение времени релаксации отсутствует, все релаксаторы имеют одинаковые значения t = tн, а функция распределения превращается в d-функцию, равную 0 при t ¹ tн. Поэтому интеграл (1.54) с учетом равенства
Используя свойство дельта-функции, выражаемое равенством [7]
с учетом t = tн для интеграла (1.57) при a = 1 получаем тривиальный результат (1.28), который, однако, запишем в виде:
Оказывается, этот результат справедлив для всех значений 0 £ a £ 1 и поэтому называется обобщенным уравнением Дебая. При a = 1 оно переходит в частное уравнение Дебая (1.28). Для получения уравнения (1.59) в развернутой форме используем формулу Эйлера
из которой следует:
Подставляя выражение (1.61) в уравнение (1.59) и избавляясь от мнимой единицы в знаменателе, получаем обобщенные уравнения Дебая:
Глава 2 МЕТОДЫ АНАЛИЗА СПЕКТРОВ Метод круговых диаграмм Применение обобщенного уравнения Дебая в диэлектрической спектроскопии ограничивалось методом круговых диаграмм [8] для оценки достоверности первичных экспериментальных данных и экстраполяции результатов измерений в недоступный диапазон частот, а также для анализа структуры сложных спектров. Круговая диаграмма выражает зависимость между диэлектрической проницаемостью и коэффициентом потерь в области дисперсии, получаемую из обобщенного уравнения Дебая путем исключения частоты. Это приводит к упрощению метода, но вместе с тем и к неконтролируемости расположения экспериментальных точек на диаграмме. Поэтому построение круговой диаграммы является лишь приблизительной проверкой соответствия экспериментальных спектров обобщенному уравнению Дебая. Параметр распределения времени релаксации можно рассчитать по круговой диаграмме, измерив угол j (см. рис. 2-1). Имеем:
Из формулы (1.63) при условии максимума коэффициента потерь
Из формул (2.1) и (2.2) получаем трансцендентное уравнение для угла j:
Его решением является функция
график которой приведен на рис. 2-2.
Рис. 2-1. Геометрическое построение для получения уравнения (2.3)
Рис. 2-2. Зависимость параметра распределения времени релаксации a от угла j (рис. 2-1) Глава 3 Пример анализа диэлектрического спектра Для ознакомления с методикой определения параметров диэлектрического спектра рассмотрим обработку первичных экспериментальных данных, полученных для полиаценхинона на основе пирена и диангидрида пиромеллитовой кислоты [10]. В таблице 1 приведены значения диэлектрической проницаемости e¢ и tg d¢ без поправки на электропроводность при температуре 293 К, измеренные с помощью моста МЛЕ-1 при частотах 0.4 – 5 кГц и куметров Е9-3 (1 – 100 кГц) и Е9-4 (50 кГц – 5 МГц). В параллельной схеме замещения образца (см. рис. 3-7) общим является напряжение, а токи
Рис. 3-7. Параллельная схема замещения образца и векторная диаграмма токов
Искомый вклад диэлектрических потерь в измеренное значение tg d¢ выразится формулой:
Полученный гибридный спектр e¢ и tg d представлен в таблице 1, здесь же – основной спектр диэлектрической проницаемости e¢ и коэффициента потерь
графики которого показаны на рис. 2-3. Далее по значениям e¢ и e¢ ¢ строится круговая диаграмма и определяются ее параметры (см. рис. 2-4), представленные в таблице 2. Полученные значения параметров спектра используются далее для построения дисперсионных e1- и e2-графиков – частотных зависимостей приведенных диэлектрической проницаемости (2.10) и коэффициента потерь (2.11).
Таблица 1. Диэлектрический и кондуктивный спектры полиаценхинона при температуре 293 К [10]
Таблица 2. Значения параметров диэлектрического спектра полиаценхинона при температуре 293 К
Примечание.
РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ Для выбора диэлектрического спектра используется таблица 3. Таблица 3 Варианты задания в соответствии с номером зачетной книжки студента
Порядок выполнения задания 1. Определите значения e¢ при заданной температуре и частотах от 30 Гц до 1 МГц, используя рис. 3-3 для образца II и рис. 3-5 для образца III-0.15. 2. Определите как можно точнее удельное сопротивление выбранного образца полимера при заданной температуре, используя рис. 3-2. 3. Рассчитайте значения тангенса угла потерь, обусловленного сопротивлением образца, по формуле 3-1. 4. Рассчитайте исправленные значения tg d по формуле (3.2), постройте график tg d (n) и определите значение tg dм. 5. Рассчитайте значения коэффициента потерь по формуле (3.3). 6. Постройте круговую диаграмму по значениям e¢ и e¢ ¢ и определите ее параметры в соответствии с рис. 2-1. В случае сложного спектра (см. рис. 2-6) постройте две круговые диаграммы для 2-й и 3-й областей дисперсии и определите их параметры. 7. Рассчитайте значения e1 и e2 по формулам (2.10) и (2.11) в каждой области дисперсии, постройте дисперсионные графики, определите nм и t. 8. Рассчитайте значения дисперсионной D-функции по формуле (2.23), используя значения c и a, определенные по круговой диаграмме. 9. Рассчитайте значения tg d/tg dм и постройте дисперсионный D-график (см. рис. 2-5). 10. Оцените погрешность анализа путем сравнения теоретического и экспериментального значений nмd по формуле (см. примечание к таблице 2). Все расчеты привести подробно и их результаты представить таблицами 1 и 2 и рисунками видами 2-4 и 2-5. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Афанасьев Н.В., Мухаева Л.В., Воронков М.Г., Ермакова Т.Г. Механизмы поляризации растворимых семиэлектриков //ДАН. 1996. Т. 350. № 1. С. 31 – 34. 2. Афанасьев Н.В., Мухаева Л.В., Воронков М.Г., Ермакова Т.Г. Доменная структура полимерных полупроводников //ДАН. 1992. Т. 323. № 3. С. 452 – 455. 3. Rosen R., Pohl H.A. Some polymers of high dielectric constant //J. Polym. Sci. 1966. A-1. V. 4, P. 1135 – 1149. 4. Минкин В.И. Молекулярная электроника на пороге нового тысячелетия. //Российский хим. журн. (ЖРХО им. Д.И. Менделеева). 2000. Т. XLIX. № 6. С. 3 – 13. 5. Диэлектрики. Сборник рекомендуемых терминов /Под ред. Б.М. Тареева. М.: Изд-во АН СССР, 1961. 6. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. – Изд-е 4-е. М.: Физматгиз, 1963. 1100 с. 7. Дирак П.А.М. Принципы квантовой механики. М.: Физматгиз, 1960. 434 с. 8. Cole K.S. and Cole R.H. Dispersion and absorbtion in dielectrics //J. Chem. Phys. 1941. V. 9. P. 341. 9. Pohl H.A. Superdielectric polymers //IEEE Transaction on electric insulation. 1986. V. EI-21. № 5. P. 683 – 692. 10. Афанасьева Р.В., Афанасьев Н.В. и др. Изменение с температурой диэлектрических спектров полимерных полупроводников //Физическое исследование вещества. Ч. 2. Иркутск: ИПИ. 1975. С. 18 –20. 11. Афанасьева Р.В., Афанасьев Н.В. и др. Исследование диэлектрического спектра полиаценхинона //Физическое исследование вещества. Ч. 2. Иркутск: ИПИ. 1975. С. 12 – 17. 12. Ikeno S., Matsumoto K., Yokoyama M., Mikawa H. Studies of conductive and dielectric properties of polymeric charge-transfer complexes. 1. Polycation-TCNQ salts //Polymer Journ. 1977. V. 9. № 3. P. 261 – 273. 13. Афанасьев Н.В., Омельченко Л.Н., Мухаева Л.В., Воронков М.Г. и др. Исследование полиаценхинонов методом диэлектрической спектроскопии //ДАН. 1986. Т. 289. № 3. С. 596 – 599. 14. Афанасьев Н.В., Мухаева Л.В., Воронков М.Г., Вакульская Т.И. и др. Исследование явлений сильного поля в диэлектрической спектроскопии полимерных полупроводников //ДАН. 1991. Т. 319. № 4. С. 858 – 861. 15. Афанасьев Н.В., Мухаева Л.В., Воронков М.Г., Ермакова Т.Г. Зависимость между параметрами диэлектрических спектров полимерных полупроводников //ДАН. 1994. Т. 336. № 2. С. 179 – 182. 16. Афанасьев Н.В., Мухаева Л.В., Воронков М.Г., Ермакова Т.Г. Зависимость между параметрами диэлектрических и кондуктивных спектров контакта полимерных полупроводников с металлами //ДАН. 1995 Т. 344. № 2. С. 178 – 181. 17. Koops C.G. On the dispersion of resistivity and dielectric constant of some semiconductors at audiofrequencies //Phys. Rev. 1951. V. 83. № 1. P. 121. 18. Афанасьев Н.В., Мухаева Л.В., Воронков М.Г. Ермакова Т.Г. Модель поверхностной емкости зерен полимерных полупроводников //ДАН. 1994. Т. 337. № 5. С. 595 - 596. 19. Хиппель А.Р. Диэлектрики и их применение. – М.: Госэнергоиздат, 1959. – 336 с. 20. Хиппель А.Р. Диэлектрики и волны. – М.: ИЛ, 1960. – 438 с. 21. Органические полупроводники /Под ред. В.А. Каргина. – М.: Наука, 1968. – с. 547. 22. Гутман Ф., Лайонс Л. Органические полупроводники. М.: Мир, 1970. – 696 с. 23. Сажин Б.И. и др. Электрические свойства полимеров. – Л.: Химия, 1970. – 376 с. 24. Берлин А.А., Чаусер М.Г. Полимеры с системой сопряжения //Энциклопедия полимеров. Т. 2. – М.: Сов. энциклопедия, 1974. С. 989 – 1002. 25. Мостовой Р.В., Глазкова И.В., Котов В.В. и др. Полимерные ион-радикальные соли 7, 7, 8, 8-тетрацианохинодиметана на основе алифатических ионенов, зависимость свойств от состава и способа получения //Высокомол. соед. 1978. Т. А ХХ. № 5. С. 1042 – 1050. 26. Симон Ж., Андре Ж.-Ж. Молекулярные полупроводники. – М.: Мир, 1988. – 341 с. 27. Афанасьев Н.В., Мухаева Л.В., Ермакова Т.Г., Воронков М.Г. Влияние барьерных механизмов поляризации на определение параметров семиэлектриков–полиаценхинонов //ДАН. 2004. Т. 395. № 6. С. 751–755. 28. Афанасьев Н.В., Мухаева Л.В., Царик Л.Я., Воронков М.Г.и др. Коэффициент формы проводящих макромолекул полиаценхинонов //ДАН. 1999. Т. 367. № 2. С. 179–182. 29. Афанасьев Н.В., Мухаева Л.В., Максимов А.А., Воронков М.Г. и др. Капельная модель образования доменной структуры полиаценхинонов //ДАН. 2000. Т. 372. № 4. С. 469–472. 30. Левич В.Г., Маркин В.С., Чирков Ю.Г. //ДАН СССР. 1963. Т. 149. № 4. С. 894. 31. Пайерлс Р. Квантовая теория твердых тел. М.: ИЛ, 1956. С.129. 32. Элиас Г.-Г. Мегамолекулы. Л.: Химия, 1990. – 272 с. 33. Горьков Л.П., Дзялошинский И.Е. Письма в ЖЭТФ. 1973. Т. 18. № 11. С. 686. 34. Капица П.Л. Эксперимент, теория, практика. М.: Наука, 1974. – 288.
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ Тесная связь учебного процесса с фундаментальными научными исследованиями является наиболее характерным отличием университетского образования. Поэтому в настоящее время актуально увеличение научного содержания во всех видах учебного процесса, включая курсовые работы. Изучение релаксационной поляризации полимерных полупроводников полиаценхинонов в ИрГТУ совместно с ИрИХ СО РАН привело к открытию семиэлектриков (от semiconductor – полупроводник и dielectric) [1]. Это новый класс полимеров, обладающих особыми свойствами диэлектриков вследствие нового электронного явления – локальной проводимости макромолекул [2]. Параметры этой проводимости, определяемые из диэлектрических спектров, можно изменять в зависимости от химического состава и условий синтеза полимеров. Таким путем можно управлять их электрофизическими свойствами с целью получения материалов молекулярной электроники. Перспективными материалами считаются полимеры с сопряженными связями, в частности, полиаценхиноны, а также комплексы с переносом заряда, к которым относятся полимерные ион-радикальные соли тетрацианохинодиметана (ИРС ТЦХМ). Для этих полимеров ранее [3] предложена структурная модель проводящих молекулярных цепей. Молекулярная электроника [4] представляет собой направление в микроэлектронике с целью изу Популярное:
|
Последнее изменение этой страницы: 2017-03-03; Просмотров: 946; Нарушение авторского права страницы
ключ К переводится в положение 1 и конденсатор соединяется с источником постоянного напряжения U. Ток зарядки конденсатора I создает напряжение на резисторе R, имеющем достаточно малое сопротивление (можно использовать преобразователь тока в напряжение на операционном усилителе, имеющий незначительное входное сопротивление порядка 1 Ом). Зависимость I(t) наблюдается на экране электронного осциллографа. После достижения постоянного значения I¥ , определяемого сопротивлением диэлектрика, ключ переводится в положение 2 и наблюдается осциллограмма тока разрядки.
поляризация диэлектрика отсутствует. Внешнее электрическое поле напряженностью Е0 создается зарядами q на электродах (рис. 1-1). Для описания поляризации используем заряд q¢ на приэлектродной поверхности диэлектрика, создающий поле E¢ противоположного направления. Напряженность результирующего поля 
определяется разностью 
этих зарядов, а поляризованность диэлектрика равна отношению электрического момента q¢ h заряда q¢ к объему диэлектрика V: 
, (1.1)
, (1.2)
. (1.3)
, (1.4)
. (1.5)
. (1.6)
, 
(1.7)
, 
.
. (1.8)
. (1.9)
. (1.10)
. (1.11)
, (1.12)
комплексной переменной 
, где w – круговая частота: 
. (1.13)
называется оператором, а преобразование вида (1.13) – двусторонним. В операционном исчислении используется одностороннее преобразование Лапласа
(1.14)
. Чтобы удовлетворить этому требованию при произвольной функции f, ее умножают на единичную функцию Хевисайда 
: 
(1.15)
. (1.16)
, (1.17)
, (1.18)
, (1.19)
(1.20)
(1.21)
. (1.22)
(1.23)
, (1.24)
(1.25)
, (1.26)
. (1.27)
. (1.28)
.
. (1.29)
. (1.30)
получим преобразованием Лапласа, считая 
: 
(1.31)
(1.32)
, (1.33)
.
операторное уравнение (1.33) соответствует формуле Дебая (1.28), где 
, без учета упругих видов поляризации ( 
.
. (1.52)
. (1.53)
. (1.54)
, (1.55)
. (1.56)
, равной 1 в соответствии с условием нормировки (1.45).
, где x = ln(t/tн), выразится формулой: 
. (1.57)
, (1.58)
. (1.59)
, (1.60)
. (1.61)
, (1.62)
. (1.63)
. (2.1)
следует: 
. (2.2)
. (2.3)
, (2.4)
через емкость С и 
через сопротивление R сдвинуты по фазе, где индексом «м» обозначены амплитудные значения токов и напряжений. Поэтому тангенс угла диэлектрических потерь выразится формулой: 
. (3.1)
. (3.2)
, (3.3)
,
См/м
, где 
и 
– соответственно экспериментальное и теоретическое значения частоты максимума тангенса угла потерь.