|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
|
|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Тогда необходимое количество теплоты будет равно
Q = Δ U + A = 2 R T
_ Ответ: P2 /P1 = 6n / {2(2+n) - 11η (n-1)}. Решение. Заметим, что процесс 3→ 1 является изобарическим, поскольку теплоемкость этого процесса совпадает с молярной теплоемкостью изобарического процесса 5/2R. Аналогично, можно утверждать, что процесс 2→ 3 является изохорическим процессом. На рисунке данный цикл изображен в координатах Р-V. За цикл газ получает количество теплоты равное Qн = 11 ν R (T2 – T1 ) / 6, а отдает Qx = ν R{3 (T2 – T3 ) +5 (T3 – T1)} /2 = R{3 T2+2T3 – 5T1} /2, где ν - число молей газа. Поскольку по определению КПД цикла равно η = (Qн - Qx ) / Qн = {4 + 2n – 6(T3 / T1 )}/ 11(n-1), отсюда T3 / T1 = {4 + 2n – 11(n-1) η }/ 6. Поскольку P1 = P3 , V2 = V3 и P2 / T2 = P3 / T3 , то
P2 / P1 = P2 / P3= T2 / T3 = (T2 / T1) (T1 / T3) = 6n / {2(2+n) - 11η (n-1)}.
12. В горизонтальном неподвижном цилиндрическом сосуде, закрытом поршнем массы М, находится газ. Газ нагревают. Поршень, двигаясь равноускоренно, приобретает скорость v. Найти количество теплоты, сообщенной газу. Внутренняя энергия моля газа U = cT. Теплоемкостью сосуда и поршня, а также внешним давлением пренебречь. (Меледин, 2.64) _ Ответ: Q = ½ Mv2[1 + (c/R)]. Решение. По закону сохранения энергии Q = mcΔ T/μ + ½ Mv2, где ½ Mv2 = PSL. Здесь учтено, что при постоянном ускорении поршня давление Р также постоянно. Уравнение газового состояния для постоянного давления дает РΔ V = mRΔ T/μ. Таким образом, Q = mcΔ T/μ + РΔ V = mcΔ T/μ + mRΔ T/μ = m(с +R)Δ T/μ. Отсюда Δ T = Qμ /m (с +R)], Q = Qc/(c + R) + ½ Mv2. Окончательно Q = ½ Mv2[1 + (c/R)].
13.В термосе находится вода при температуре 0 оС. Масса воды m = 100 г. Выкачивая из термоса воздух, воду замораживают посредством ее испарения. Какова масса льда образовавшегося в термосе? Удельная теплота плавления льда λ = 3.3.105 Дж/кг, удельная теплота парообразования воды r = 24.8.105 Дж/кг. Ответ: mл = 88 г.
Решение При образовании льда выделяется тепло, которое будет тратиться на испарение воды. Уравнение теплового баланса имеет вид: mлλ = (m – mл)r. Отсюда mлλ = mr/(r + λ ) = 88 г.
Решение Работа, совершенная газом за цикл, равна площади трапеции 1234. A = ½ [(P1 – P4) + (P2 – P3)](V3 – V4) = ½ P3V3(P1/P3 + P2/P3 –2)(1 – V4/V3). Из уравнения Менделеева-Клапейрона P3V3 = RT3. Поскольку процессы (4 → 1) и (2→ 3) – изохоры, а (3→ 4) – изобара, то P1/P3 = P1/P4 = T1/T4, P2/P3 = T2/T3, V4/V3 = T4/T3. Используя, найденные соотношения, получим: А = ½ R(T3 – T4) (T1/T4 + T2/T3 –2).
Ответ: m = 16г, V = 12.3дм3. Решение Наклон изохор, проведенных из начала координат обратно пропорционален объему газа P = [mR/(μ V)]T. Изохора, проведенная в точку 3, имеет минимальный наклон, следовательно, объем газа в этой точке максимален. Тогда для массы газа получим m = P3V3μ /(RT3) = 16 г. Поскольку 3 → 1 изобара, то V1/T1 = V3/T3, отсюда V1/= V3 T1/T3 = 12.3 дм3.
(МФТИ, 86-88) Ответ: А12 = 3/2R(T1 – T2) = 625Дж.
Решение. Согласно первому началу термодинамики для процесса 1→ 2 имеем А12 = - Δ u12 = сv(Т1 – Т2) – первое начало применимо всегда, и для неквазистационарных процессов, как здесь, процессов тоже. В процессе 2→ 3 Δ u23 = 0, т.е. Q23 = A23 = ½ (P2 + P3)(V3 – V2) = ½ P2V2(1 + P3/P2)(V3/V2 – 1). Поскольку Т2 = Т3, то P3/P2 = V2/V3 = V2/V1 = k. Тогда Q23 = ½ RT2(1 + k)(1/k – 1) = ½ RT2 (1 + k)(1 - k)/k. Q31 = (3/2)R(T1 – T2). Q = Q12 + Q31 = ½ RT2 (1 + k)(1 - k)/k + (3/2)R(T1 – T2). Отсюда Т2 = (9/17)T1 – (6/17) Q /R ≈ 50 K. Итак, А12 = (3/2)R(T1 – T2) = 625 Дж.
17. Найти теплоемкость одного моля идеального газа в политропическом процессе, в котором давление Р и объем газа V связаны соотношением Р = α V2, где α – некоторая постоянная. Молярную теплоемкость газа при постоянном объеме считать известной и равной Сμ V. (При решении задачи принять, что изменение объема и температуры газа мало по сравнению с начальными объемом и температурой). Ответ: С = Сμ V + R/3. Решение. Используя определение теплоемкости С = Δ Q/Δ T и первый закон термодинамики Δ Q = Сμ V Δ T + Δ А, получаем для идеального газа С = Сμ V + Δ А/Δ T. При малых изменениях объема давление можно считать постоянным и работу считать по формуле Δ А = РΔ V. Из уравнений Р = α V2 и PV = RT следует, что T = α V3/R. Разность температур Δ T = Т1 – Т = α V13/R - α V3/R = α V3/R[(V1/V)3 – 1], где V1 = V + Δ V. Тогда (V1/V)3 = (1 + Δ V/V)3 ≈ 1 + 3 (Δ V/V). С учетом этого Δ T = 3α V2 Δ V /R. Подставляя в выражение для работы РΔ V давление Р = α V2, найдем теплоемкость газа: С = Сμ V + α V2 Δ V /Δ T = Сμ V + α V2 Δ VR/3α V2 Δ V = Сμ V + R/3. В случае одноатомного газа С = 11R/6.
Ответ: mЛ = 1.23кг. Решение Из графика видно, что первые Δ τ 1 = 50 мин температура смеси оставалась равной 0 оС: таял лед и на это шла вся подводимая к смеси энергия. Далее за Δ τ 2 = 10 мин температура воды поднялась на Δ t = 2 оС. Эти данные позволяют найти скорость подвода теплоты Q/ = cВm Δ t/Δ τ 2, тогда количество теплоты, пошедшее на плавление льда, Q = mЛλ = Q/ Δ τ 1 = cВm Δ t Δ τ 1/Δ τ 2. Отсюда mЛ = cВm Δ t Δ τ 1/(λ Δ τ 2) = 1.23 кг. 19. В вакуумированном теплоизолированном цилиндре, расположенном вертикально, может перемещаться массивный поршень. В начальный момент поршень закрепляют и нижнюю часть цилиндра заполняют идеальным газом. Затем поршень освобождают. После установления равновесия объем, заполняемый газом, оказался в два раза меньше первоначального. Во сколько раз изменилась температура газа? Молярную теплоемкость газа при постоянном объеме принять равной Cμ v = 5/2R. Ответ: T2 / T1 = Cμ v /[ Cμ v – R(V1 / V2 – 1)] = -5/3. Решение При опускании поршня массой М на высоту h сила тяжести совершает работу А = Mgh, идущую на увеличение внутренней энергии газа Δ U = ν Cμ V(T2 – T1), где ν – число молей газа, Cμ V – молярная теплоемкость при постоянном объеме, T1 и T2 – начальная и конечная температуры газа. В состоянии равновесия сила тяжести поршня уравновешивается силой давления газа: Mg = P2S, где S – площадь поперечного сечения поршня. Работу А с учетом этого равенства можно преобразовать к следующему виду: A = Mgh = P2Sh = P2(V2 – V1) = P2V2(V1/V2 – 1) = ν RT2(V1/V2 – 1), здесь V1 и V2 – начальный и конечный объемы газа. Подставляя найденное выражение работы в уравнение A = Δ U = ν Cμ V(T2 – T1), после несложных преобразований найдем T2/T1 = T2 / T1 = Cμ v /[ Cμ v – R(V1 / V2 – 1)] = -5/3.
20. В герметически закрытом сосуде в воде плавает кусок льда массой М = 0.1кг, в который вмерзла свинцовая дробинка массой m =5г. Какое количество тепла нужно затратить, чтобы дробинка начала тонуть? Теплота плавления льда λ = 330 кДж/кг. Температура воды в сосуде 0оС. (ρ л =0.9г/см3, ρ св = 11.3г/см3). Ответ: Q = 19.5 кДж. Решение Условием, при котором дробинка начнет тонуть является условие равновесия системы лед+дробинка, полностью погруженной в воду (Mл + m)g = FАрх = ρ вgV = ρ вg(Mл/ρ л + m/ρ св). Отсюда Mл = m[1 - ρ в/ρ св]/[ ρ в/ρ л - 1]. Таким образом, должна растаять масса льда Δ M = M - Mл. Для этого необходимо сообщить количество теплоты Q = λ (M - Mл) = 19.5 кДж.
21. Один моль идеального газа, первоначально находившегося при нормальных условиях (Р0 = 105Па, t0=0oC), переводят в состояние с вдвое большим объемом и давлением. Процесс перевода осуществляется в два этапа – изобарически и изохорически (см. рис.) Какое количество теплоты подведено к газу? Теплоемкость при постоянном объеме Сμ V = 21Дж/мольК. Ответ: Q = (3CV +R)T0 = 19.5Дж.
Решение
При изобарическом нагревании (V2/V1 = T2/T1) газу сообщается количество теплоты Q1 = Сμ P(T2 – T1) = Сμ PT1(T2/T1 – 1) = Сμ PT1(V2/V1 – 1) где Т1, V1 – начальные температура и объем газа, Т2, V2– его температура и объем в конце изобарического процесса, Сμ P = Сμ V + R. В процессе изохорического нагревания (P3/P2 = T3/T2)газ получит количество теплоты Q2 = Сμ V(T3 – T2) = Сμ VT1(Т2/T1)[(Т3/T2) – 1] = Сμ VT1(V2/V1)[(P3/P2) – 1]. Общее количество теплоты Q, сообщенное газу, равно Q = Q1 + Q2 = (Сμ P + 2Сμ V )T1 =(3Сμ V + R)T1 = 19.5 кДж.
22. Газ находится в вертикальном цилиндре с площадью дна S = 10см2. Цилиндр закрыт перемещающимся без трения поршнем массой m = 9.8 кг. Начальный объем газа Vo = 5 л, температура to = 0оС. Давление наружного воздуха Ра = 100кПа. Какое количество теплоты Q необходимо затратить для нагревания газа при этих условиях на DТ = 10 K? Известно, что повышение температуры газа на ту же величину при закрепленном поршне потребовало бы количества теплоты Ответ: Q = 126Дж.
Решение. Очевидно, что при закрепленном поршне газ не совершает работы и потому Q1 = DU. В случае, когда поршень не закреплен, газ расширяется изобарно. При этом изменение DU его внутренней энергии такое же: ведь внутренняя энергия идеального газа зависит только от его температуры. Работа газа при расширении А = PDV, так что Q = DU + A = Q1 + PDV. Учтем также, что P = mg/S +Ра и DV/Vo = DТ/To (т.к. при изобарном процессе объем прямо пропорционален абсолютной температуре газа). Тогда Q = Q1 + [(mg + PaS)VoDТ]/STo = 126Дж.
23. Идеальный газ массы m = 80г и молярной массы μ = 40г/моль нагревают в цилиндре под поршнем так, что температура изменяется пропорционально квадрату давления ( Т ~ P2) от начального значения Т1 = 300К до конечного Т2 = 400К. Определить работу, совершаемую газом в этом процессе, и количество подведенного к нему тепла. Ответ: Q = 3.3кДж. Решение.
P V = (m/μ ) RT
и условия T = kP2, где k = const, получаем P = (μ V)/(mRk), т.е. уравнение прямой, проходящей через начало координат. Работа газа равна заштрихованной площади трапеции:
A = ½ (P1 + P2)(V2 – V1) = ½ (mRk/μ )(P22 – P12) = ½ (mR/μ )(T2 – T1) = 830Дж.
Количество тепла найдем из первого закона термодинамики:
Q = Δ U + A = (m / μ ) 3/2 R(T2 – T1) + ½ (m / μ ) R (T2 – T1) = 2 (m / μ ) R (T2 – T1) = 4A = 3.3кДж
24. Моль идеального газа совершает замкнутый цикл, состоящий из двух изобар и двух изохор. Отношение давлений на изобарах α = 1.25, а отношение объемов на изохорах β = 1.2. Найти работу, совершенную газом за цикл, если разность максимальной и минимальной температур газа в цикле составляет Δ Т = 100К. (МФТИ, до91г) Ответ: A = R Δ Т(α –1)( β –1)/(α β –1). Решение.
α = Р2/Р1, β = V2/V1; минимальная температура – T1, максимальная Т3, Т3 – Т1 =Δ Т. Работа за цикл равна площади цикла
A = (P2 – P1)(V2 – V1) = P1V1(α – 1)( β – 1) = RT1(α – 1)( β – 1).
P2/P1 = T2/T1 = α ;
V2/V1 = T3/T2 = β → T3/T1 = α β Откуда T1 = Δ Т/( α β - 1). Итак A = R Δ Т(α – 1)( β – 1)/( α β - 1) = 83Дж.
Ответ: Т3 =350К. Решение. Для тепла, сообщенного газу на изохоре можно записать Q = CV(T2 – T1), откуда T2 = T1 + Q/CV. Тепло сообщенное газу на изобаре выражается в виде Q = CP(T3 – T2), откуда T3 = T2 –Q/CP = T1 +Q(1/CV – 1/CP), И, поскольку для идеального газа справедливо соотношение СP = CV + R, то T3 = T1 + QR/[CV(CV + R)] = 350K. 26. В цилиндрическом сосуде под поршнем вначале находится ν = 1 моль водяного пара при температуре Т и давлении Р. Давление насыщенного пара воды при этой температуре равно 2Р. Поршень вдвигают ток, что первоначальный объем под поршнем уменьшается в четыре раза. Найти массу сконденсировавшейся воды, если температура остается неизменной. Молярная масса воды μ = 18 г/моль. (Меледин, 2.41) Ответ: m = 9г. Решение
При изменении объема от V до ½ V пар сжимается, но не конденсируется. Далее происходит конденсация. Причем давление насыщенного пара при дальнейшем уменьшении объема от ½ V до ¼ V остается постоянным и равным 2Р. Поэтому количество сконденсировавшегося пара будет равным Δ m = (2P)(¼ V)μ /(RT), но PV/(RT) = ν. Окончательно Δ m = ½ ν μ = 9 г.
27. В теплоизолированном сосуде к mв = 300 г воды при температуре tв = 10оС добавили mл = 400 г льда при температуре tл = -20оС. Определить установившуюся температуру смеси. Удельная теплоемкость воды Cв = 4.2 кДж/(кг.К), льда Cл = 2.1 кДж/(кг.К), удельная теплота плавления льда λ = 330 кДж/кг. Ответ: t = 0оС. Решение Подобные задачи затруднительно решать в общем виде: для составления уравнения теплового баланса необходимо знать заранее, какие процессы произойдут со льдом и водой, т.е. каким будет конечное состояние (только вода, вода и лед или только лед). А это определяется как раз численными значениями mв, mл, tв и tл. Однако эту задачу можно решить и без составления полного теплового баланса. Предположим вначале , что установившаяся температура оказалась положительной t > 0оС, т.е. лед растаял. Но вода, даже остыв до 0оС, отдаст количество теплоты равное mвCвtв = 12 кДж. Такого количества теплоты хватит на плавление (даже если не учитывать нагревание льда до 0оС) лишь m = 12 кДж/330 кДж/кг = 3.6 г льда, что значительно меньше начальной массы льда (400 г). Значит, весь лед растаять не может и t ≤ 0оС. Пусть установившаяся температура оказалась отрицательной t < 0оС. В этом случае вся вода превратится в лед и количество выделенного ею тепла (даже без учета ее охлаждения до 0оС) будет mвλ = 100 кДж. Однако лед, даже нагревшись до 0оС, может забрать только mлCлtл = 16 кДж. Значит, установившаяся температура t ≥ 0оС. Отсюда следует, что установившаяся температура t = 0оС.
Термодинамика - II. 1. В калориметр налили две жидкости с удельными теплоемкостями С1 и С2. После установления теплового равновесия оказалось, что разность между начальной и температурой первой жидкости t1 и установившейся температурой t смеси в k раз меньше разности начальных температур жидкостей. Пренебрегая теплоемкостью калориметра, определить отношение масс налитых жидкостей. (МГУ, 1998) Ответ: m1 / m2 = (C2 / C1) (k – 1). Решение. По условию задачи (t2 – t1)/ (t – t1) = k Запишем уравнение теплового баланса С1m1(t1 – t) = С2m2(t – t2). Отсюда С1m1/ С2m2 = (t – t2) / (t1 – t) = [(t – t1) – (t2 – t1)]/ (t1 – t) = = -1 + (t2 – t1)/ (t – t1) = k –1 Для отношения масс получаем m1/ m2 = С2/С1 (k – 1).
Ответ: V2/V1 = 1.5. Решение. Обозначим отношение V3/V2 = V2/V1 = a. На участке 1-2: Q12 = Du +PDV = 5/2 R (T2 - T1); V1/T1 = V2/T2, откуда T1 =T2/a. Таким образом Q12 = 5/2 RT2 (a - 1)/a. На участке 2-3: A23 = ½ (P2 + P3) (V3 - V2) = ½ (P2V3 - P3V2) = = ½ RT2 (a - 1/ a) = ½ RT2 (a2 - 1)/ a. По условию Q12 =2A23, т.е. 5/2 RT2 (a - 1)/ a = ½ RT2 (a2 - 1)/ a, отсюда a = V2/V1 = 1.5.
3. Равные массы гелия и водорода находятся в теплоизолированном цилиндре под поршнем. Начальный объем смеси Vo = 1л, давление Ро = 9атм. При адиабатическом расширении газ совершает работу А = 650Дж. Найти относительное изменение температуры смеси. Ответ: DT/To = - 6/13 A/ (PoVo) = -1/3.
Решение. Так как DQ =0, то A = - Du. Популярное:
|
Последнее изменение этой страницы: 2017-03-08; Просмотров: 1968; Нарушение авторского права страницы
( n2 - 1) = 6 R T 
11. Зависимость от температуры молярной теплоемкости Сμ идеального одноатомного газа в цикле тепловой машины, который состоит из трех последовательных процессов 1-2, 2-3, 3-1, изображена на рисунке. Здесь R –универсальная газовая постоянная. Найти отношение давлений газа при максимальной T2 и минимальной T1 абсолютных температурах, в этом цикле, если КПД машины равен 
14. Один моль идеального газа изменяет свое состояние по циклу, изображенному на рисунке: (4 → 1) и (2→ 3) – изохоры, (3→ 4) – изобара, (1→ 2) – процесс с линейной зависимостью давления от объема. Температуры в состояниях 1, 2, 3, 4 равны соответственно Т1, Т2, Т3, Т4. какую работу совершает газ за один цикл. 
15. На рисунке изображен замкнутый процесс, который совершает некоторая масса кислорода О2. Известно, что максимальный объем, который занимал газ в этом процессе Vmax = 16.4дм3. Определить массу газа и его объем в точке 1. 
16. Моль одноатомного идеального газа из начального состояния 1 с температурой Т1 = 100К, расширяясь через турбину в пустой сосуд, совершает некоторую работу и переходит в состояние 2 (см. рис.). Этот переход происходит адиабатически, без теплообмена. Затем газ квазистатически сжимают в процессе 2-3, в котором давление является линейной функцией объема и, наконец, в изохорическом процессе 3-1 газ возвращается в исходное состояние. Найти работу, совершенную газом при расширении через турбину в процессе 1-2, если в процессах 2-3-1 к газу в итоге подведено Q = 72Дж тепла. Известно, что Т2 = Т3, V2 = 3V1. 
18. В ведре находится смесь воды со льдом массой
Нарисуем график процесса в координатах Р, V. Из уравнения состояния идеального газа
Нарисуем цикл в координатах Р, V (см. рис.); 
25. Моль идеального газа переводят из состояния 1 в состояние 3 по изохоре 1-2, а затем по изобаре 2-3 (см. рис.). На изохоре газу сообщается такое же количество тепла Q = 3675Дж, какое выделяется на изобаре. Найти конечную температуру газа, если начальная температура t1 = 27оС. Молярная теплоемкость газа при постоянном объеме Сv = 1Дж/(мольК). 
2. Моль идеального одноатомного газа расширяется сначала изобарически (1-2), а затем в процессе с линейной зависимостью давления от объема (2-3) (см. рис.). При этом V3/V2 = V2/V1 и