Задачу можно решить и, не используя понятие о производной.

По прошествии небольшого промежутка времени Δ t ось цилиндра переместится на расстояние Δ х = rω Δ t, а доска повернется на некоторый угол Δ α. Учитывая, что выбранный промежуток времени достаточно мал, можно считать, что угол Δ α много меньше одного радиана и вращение доски в течение этого промежутка времени неотличимо от равномерного. Поэтому угловая скорость доски будет равна Ω = Δ α /Δ t. Уравнение (1) для момента времени t + Δ t запишется в виде

[x(t) + Δ х]/ r =ctg[(α (t) + Δ α )/2]. (2)

Вычитая из уравнения (2) уравнение (1), приведенное к виду (2), получим

Ω rΔ t = r{ctg[(α (t) + Δ α )/2] - ctg[(α (t)/2}.

Поскольку ctgα – ctgβ = sin(α – β )/(sinα sinβ ), а синус малого угла равен самому углу, выраженному в радианах, искомая угловая скорость равна

Ω = -2 ω sin² α /2.

 

7. Рельсы игрушечной железной дороги образуют кольцо радиуса R (см. рис.). Вагончик перемещается по ним, подталкиваемый стержнем О₁А, который поворачивается с постоянной угловой скоростью ω ₁ вокруг точки О₁, лежащей внутри кольца почти у самых рельсов. Как изменяется скорость вагончика при его движении?

Ответ: v = 2Rω ₁.

Решение.

Угол φ ₁, образуемый стержнем О₁А с некоторым направлением, изменяется со временем по закону:

φ ₁ = ω ₁t.

В качестве направления, от которого отсчитывается угол φ ₁, удобно взять диаметр окружности, проходящей через точку О₁. Точка О – центр окружности. Очевидно, что центральный угол φ, определяющий положение вагончика на окружности, в два раза больше вписанного угла φ ₁, опирающегося на ту же дугу:

φ = 2 φ ₁.

Поэтому угловая скорость вагончика ω при движении по рельсам вдвое больше угловой скорости ω ₁, с которой поворачивается стержень:

ω = 2 ω ₁.

Таким образом, угловая скорость ω вагончика оказалась постоянной. Значит, вагончик движется по рельсам равномерно. Его линейная скорость неизменна и равна

v = 2Rω ₁.

Ускорение вагончика при таком движении всегда направлено к центру О, а его модуль равен

a = ω ²R = 4 ω ₁² R.

 

8. Муфта А движется с постоянной скоростью v_o по кольцу радиуса R, а муфта В может двигаться только по прямой, проходящей через центр кольца (см. рис.). Муфты шарнирно соединены жестким стержнем длины L. Найти ускорение муфты В в тот момент, когда муфта A находится в верхней точке траектории.

Ответ: а = v_o²/(L² – R²)^1/2.

 

Решение.

В указанный момент скорости муфт равны, а угловая скорость стержня L равна нулю.

Следовательно, проекции ускорений муфт на стержень равны между собой:

acosα = v_o²sinα /R,

где а – ускорение муфты В, α – угол между стержнем и прямой ОВ. Отсюда

а = v_o²tgα /R = v_o²/(L² – R²)^1/2.

 

 

II. Законы Ньютона.

ВОПРОСЫ:

Горизонтальная прямая штанга ОА вращается с постоянной угловой скоростью ω вокруг вертикальной оси. По штанге может без трения скользить тело массы m. Первоначально тело удерживается в состоянии равновесия пружиной (см. рис.). Что произойдет с телом, если сообщить ему толчком начальную скорость вдоль штанги? Длиной пружины в нерастянутом состоянии пренебречь.

 

В состоянии равновесия тела

mω ²x = kx,

где х – расстояние от тела до оси. Отсюда ясно, что при любом х пружина сообщает необходимое для вращения центростремительное ускорение. Поэтому после толчка тело будет двигаться с постоянной скоростью до упора А или до тех пока для пружины выполняется закон прямой пропорциональности между силой и деформацией.

Железная дорога идет так, как показано на рисунке. Какой участок пути подвергается наибольшему разрушению при движении поездов?

Наибольшему разрушению подвергается сопряжение дуг, образуемых дорогой. В этом месте центростремительное ускорение, сообщаемое вагону равнодействующей приложенных к нему сил, испытывает скачок равный v² (1/R₁ +1/R₂). Из-за зазора между щеками колес и рельсами происходит удар. Несколько менее сильный удар происходит и в местах сопряжения прямых участков дороги с дугами.

Сопряжение различных участков, а также повороты дороги из-за этого никогда не делают с помощью дуг окружностей. Они устраиваются так, чтобы радиус кривизны менялся плавно.

На очень тонкой нити подвешен шарик. Нить приводят в горизонтальное положение и отпускают. В каких точках траектории ускорение шарика направлено вертикально вниз, в каких вертикально вверх, и в каких горизонтально? В начальный момент нить не растянута.

Направление ускорения совпадает с направлением результирующей силы. Вниз ускорение направлено при крайних верхних положениях шарика. Вверх ускорение направлено при крайнем нижнем положении и горизонтально – при положениях определяемых углом α. Найдем α.

Mv² /L= T – mgcosα ,

c другой стороны

T = mg/cosα.

На основании закона сохранения энергии имеем

½ mv² = mgLcosα.

Из этих уравнений находим, что cosα = 1/√ 3 и, следовательно, α ~ 54^o45^/.

В центре платформы, свободно вращающейся вокруг вертикальной оси, стоит пушка. Ось вращения походит через ее казенную часть. В горизонтальном направлении вдоль радиуса платформы сделан выстрел. Изменится ли при этом скорость вращения платформы?

Скорость вращения замедлится. Платформа сообщает дополнительный импульс в направлении по касательной к траектории конца ствола пушки. По третьему закону Ньютона вылетающий из ствола снаряд будет оказывать давление на внутреннюю часть ствола, направленное против вращения.

 

Вопрос. Чем отличаются вес тела и сила тяжести?

Ответ. Сила, с которой тела, вследствие его притяжения к Земле, действует на опору или подвес, называется весом тела. Силой тяжести называют силу притяжения тела к Земле. Вес тела приложен к опоре или подвесу. Сила тяжести приложена к телу.

Вопрос. По второму закону Ньютона ускорение тела обратно пропорционально его массе. Почему же при свободном падении ускорение всех тел одинаково?

Ответ. Ускорение свободного падения всех тел одинаково, поскольку сила тяжести прямо пропорциональна массе тела.

 

Вопрос. Ускорение ракеты возрастает даже в том случае, когда равнодействующая приложенных к ней сил остается неизменной. Почему?

Ответ. Ускорение растет из-за уменьшения массы ракеты.

Вопрос. Автомобиль движется прямолинейно по горизонтальному участку шоссе с ускорением а = 1 м/с². С какой силой F человек массы m = 70 кг давит на вертикальную спинку сидения?

Ответ. F = ma = 70 H.

Вопрос. Почему нагруженный автомобиль на булыжной мостовой движется более плавно, чем такой же автомобиль без груза?

Ответ. Нагруженный автомобиль имеет значительно большую массу, чем пустой. Увеличение массы автомобиля уменьшает ускорения, сообщаемые ему толчками камней булыжной мостовой.

Вопрос. Открытый сосуд частично заполнен водой, не смачивающей его стенки. Можно ли в условиях невесомости перелить воду из этого сосуда в другой такой же сосуд?

Ответ. Можно, соединив сосуды отверстиями и сместив их в сторону заполненного сосуда.

Вопрос. Как сравнить массы двух тел в условиях невесомости.

Ответ. По периодам свободных колебаний тел на пружине.

 

Вопрос. Два шара, соединенные невесомой нерастяжимой нитью, лежат на гладкой горизонтальной плоскости. У правого шара масса больше. С одной и той же силой тянут сначала правый шар вправо, затем левый шар – влево. Одинаково ли натяжение нити в двух случаях?

Ответ. В обоих случаях система (два шара и нить) движется с одним и тем же ускорением, но в первом случае нить сообщает его телу меньшей массы. Поэтому и натяжение нити в первом случае меньше.

К концам нити, переброшенной через два гвоздя, прикреплены движущиеся по окружности грузы (см. рис.). Слева висят два груза массы m каждый, справа – один груз массы 2m. Будет ли система находиться в равновесии?

Рассмотрим силы, действующие на нить, перекинутую через левый гвоздь. Вертикальные составляющие сил натяжения Т, действующих на тела, равны mg, если нить закреплена на гвозде. На узел, по третьему закону Ньютона, действуют те же силы Т. Их сумма направлена вертикально вниз и равна 2mg. В случае одного вращающегося тела вертикальная составляющая силы натяжения нити Т₁ равна 2mg (если тело не опускается вниз). Но сама сила натяжения нити T₁ > 2mg. Следовательно, система не будет находиться в равновесии. Правый груз перетянет.

Материальная точка движется прямолинейно вдоль оси Ох. Ее координата изменяется со временем по закону x = 2 + 5t + 4t²
(величины измерены в СИ) Модуль равнодействующей силы, действующей на материальную точку вдоль оси Ох, равен
F = 40 Н. Чему равна масса материальной точки?

Ответ. Ускорение материальной точки а = 8 м/с². Масса материальной точки m = F/a = 5 кг.

Небольшое тело массой m = 1 кг, брошенное под углом к горизонту, имеет в верхней точке траектории полное ускорение
а = 12 м/с². Чему равна сила сопротивления воздуха, действующая на тело в этой точке?

Ответ. Равнодействующая сила F, действующая на тело, является векторной суммой силы сопротивления воздуха F _c и силы тяжести m g:

F = F _c + m g.

В верхней точке траектории сила сопротивления воздуха направлена горизонтально, т.к. ее направление противоположно направлению скорости и лежит на той же прямой, а сила тяжести всегда направлена вертикально. Поэтому

F = ma = [(mg)² + (F_c)²]^1/2.

Отсюда

F_c = m(a² – g²)^1/2 = 6.9 H.

Вопрос. Два тела, массы которых М и m (M > m), подняты на одинаковую высоту над землей и одновременно отпущены. Одновременно ли они приземлятся, если средняя сила сопротивления воздуха для обоих тел одинакова?

Ответ. Ускорение тела, например, массой, М равно а = g – F/M, где F – сила сопротивления. Следовательно, скорее упадет тело с большей массой.

Вопрос. На доске стоит человек. Внезапно он приседает. Что произойдет в первый момент: увеличится или уменьшится прогиб доски? Что произойдет, если человек сидел на корточках и внезапно выпрямился?

При приседании уменьшится, при выпрямлении - увеличится. При приседании ускорение центра масс человека направлено вниз, а при выпрямлении вверх.

Вопрос. Определить ускорение грузов в системе блоков с грузами, изображенной на рисунке. Массой блоков и нитей пренебречь. Нити считать нерастяжимыми. В какую сторону будут вращаться блоки при движении грузов?

Так как массой блоков и нитей можно пренебречь, силу натяжения можно считать постоянной по всей длине нити. Поэтому

m₁g – T = m₁a₁;

m₂g – 2T = m₂a₂;

2T – T = 0 (т. К масса блока А равна нулю).

Отсюда T = 0

и a₁= a₂ = g.

Оба груза свободно падают с ускорением g. Блоки В и С вращаются против часовой стрелки, блок А – по часовой стрелке.

Поступательное движение.

1. Шайба, скользившая по гладкому горизонтальному льду, попадает на участок, неравномерно посыпанный мелким песком. Коэффициент шайбы по мере ее удаления x от границы участка возрастает по закону μ = kx. Через какое время шайба остановится после ее попадания на указанный участок? Размеры шайбы значительно меньше пройденного ею пути. ( МГУ, физ. фак., 2000)

Ответ: τ =π /2 .

Решение.

Для нахождения времени движения шайбы до остановки воспользуемся вторым законом Ньютона

m a ( t ) = F( t ),

где F(t) - сила трения скольжения, тормозящая движение шайбы, a (t) – ускорение шайбы в момент времени t. Для силы трения, согласно условию задачи, можно записать

F( t ) = - m g k x( t ).

Здесь знак минус отражает тот факт, что направления силы и перемещения противоположны. Ускорение шайбы запишем как вторую производную от смещения по времени a = x" ( t ). Тогда второй закон Ньютона запишется в виде

x" (t) = - m g k x (t),

или

x" ( t ) + m g k x( t ) = 0.

Полученное уравнение представляет собой уравнение гармонических колебаний с частотой ω = и периодом Т = 2π /ω = 2π /(gk)^1/2.

Время движения шайбы до остановки равно четверти периода колебаний, то есть

τ =π /2(gk)^1/2.

 

2. Определить ускорения грузов массы m₁, m₂, m₃, а также силу натяжения нитей в системе блоков с грузами, изображенной на рисунке, если m₁ = m₂ + m₃. Массой нитей и блоков пренебречь.

Ответ: a₁ = (m₂ – m₃)²g/(m₂² + m₃² + 6m₂m₃),

a₂ = (m₁² – 4m₂²)²g/ (m₁² + 4m₂m₃),

a₃ = (m₁² – 4m₃²)²g/ (m₁² + 4m₂m₃),

T =8 m₁m₂m₃g/ (m₁² + 4m₂m₃).

Решение.

Уравнения движения грузов имеют вид

m₁a₁ = m₁g – T₁,

m₂a₂ = m₂g – T₂,

m₃a₃ = m₃g – T₃,

где a₁, a₂, a₃ – относительно неподвижного верхнего блока А. Будем считать ускорение положительным, если оно направлено вниз. Так как массы нитей ничтожно малы по сравнению массами m₁, m₂ и m₃, то силы натяжения нитей одинаковы по всей их длине. Отсюда следует, что

Т₂ = Т₃,

и сила, с которой нить, перекинутая через верхний блок, действует на нижний блок В, равна Т₁. Поскольку массы блоков ничтожно малы, то

Т₁ = Т₂ + Т₃.

По прошествии некоторого времени (весьма малого) после начала движения грузов растяжение нитей прекращается, и их длина после этого с течением времени не изменяется. Это означает, что ускорение блока В будет равно - а₁, а ускорения грузов массы m₂ и m₃ относительно блока В равны по модулю и противоположны по направлению. Обозначив а_В ускорение груза массы m₂ относительно блока В, получим a₂= - a₁+ a_В,

a₃= - a₁- a_В,

откуда

a₂+ a₃ = - 2a₁.

Таким образом, окончательно имеем следующую систему уравнений:

m₁a₁ = m₁g – T,

m₂a₂ = m₂g – T/2,

m₃a₃ = m₃g – T/2,

a₂+ a₃ = - 2a₁.

Решая эту систему уравнений, получим (при условии m₁ = m₂ + m₃)

 

a₁ = (m₂ – m₃)²g/ (m₂² + m₃² + 6m₂m₃),

a₂ = (m₁² – 4m₂²)²g/ (m₁² + 4m₂m₃),

a₃ = (m₁² – 4m₃²)²g/ (m₁² + 4m₂m₃),

T = 8 m₁m₂m₃g/ (m₁² + 4m₂m₃).

В общем случае

T = 8 m₁m₂m₃g/ [m₁(m₁ + m₂) + 4m₂m₃].

 

3. На бруске массы М, движущемся поступательно по горизонтальной плоскости, находится кубик массы m_k, скрепленный легкой нитью, перекинутой через невесомый блок, с грузом массы m_г. На брусок действует направленная горизонтально сила, параллельная одному из линейных отрезков нити, как показано на рисунке. Другой прямолинейный отрезок нити вертикален, причем груз касается вертикальной грани бруска. Пренебрегая сопротивлением движению тел, найти величину ускорения кубика.

Ответ: а_кх = [F + (M + m_г)g]m_г / [(M + m_г)m_г +(M + 2m_г)m_k], F ≥ m_гm_kg/(m_г + m_к).

 

 

Решение.

Поскольку сопротивлением движению тел можно пренебречь, то реакции опор имеют только нормальные к границам соприкосновения тел составляющие. С учетом этого на рисунке показаны силы, действующие на кубик (сила тяжести m_кg, сила давления бруска N₂ и сила со стороны нити Т), груз (сила тяжести m_гg, сила давления бруска N₁ и сила со стороны нити Т₃) и брусок (сила тяжести Мg, силы давления кубика N_к и груза N_г, сила реакции плоскости N, внешняя сила F и силы со стороны нити Т₁ и Т₂). Пренебрегая массой нити, можно утверждать, что Т = - Т₁ и
Т₂ = - Т₃, причем |Т₁| = |T₂|. Последнее вытекает из условия невесомости блока и отсутствия трения в его оси. Таким образом, Т = Т₁ = Т₂ =Т₃.

Учитывая, что кубик и брусок могут двигаться только параллельно силе F, а груз еще и по вертикали, уравнения движения этих тел в проекциях на оси показанной на рисунке неподвижной относительно плоскости инерциальной системе X0Y можно представить в виде:

m_ка_кх = Т,

Ма_бх = F – T₁ – N_г,

m_га_бх = N₁,

m_га_гy = T₃ – m_гg,

где а_кх и а_бх – проекции ускорений кубика и бруска на ось 0Х, а_гy – проекция ускорения груза на ось 0Y, причем в силу третьего закона Ньютона N_г = N₁ ≥ 0, т.к. груз и брусок должны по условию соприкасаться.

Однако приведенная система уравнений не является полной. Условие нерастяжимости нити дает уравнение кинематической связи а_бх = а_кх + а_гy.

Решения полной системы уравнений можно записать в виде

а_кх = [F + (M + m_г)g]m_г / [(M + m_г)m_г +(M + 2m_г)m_k],

N₁ = [F(m_г + m_к ) - m_г m_kg]m_г / [(M + m_г)m_г +(M + 2m_г)m_k ].

Из последнего выражения следует, что задача имеет решение, если

F ≥ m_гm_kg/(m_г + m_к ),

т.к. в противном случае брусок будет иметь ускорение, направленное против силы F, груз не будет касаться бруска, а нижний отрезок нити не может быть расположен вертикально, что противоречит условию задачи.

 

4. В механической системе, изображенной на рисунке, брусок массой М может скользить без трения. В начальный момент, подвешенный на нити, груз отводят на угол α от вертикали и отпускают. Какова масса m этого груза, если угол, образуемый нитью с вертикалью, не меняется при движении системы? ( I Всес. Олимп., 1967г.)

Ответ: m = Msin2α /(2cosα - sin2α ).

 

Решение.

 

Обозначим через Т модуль силы натяжения нити и через а модуль ускорения бруска. Т.к. угол α при движении системы не меняется, то горизонтальная проекция ускорения тоже равна а. Очевидно, что и проекция ускорения груза на направление нити также равна а ( изменение длины отрезка нити, находящегося за блоком, всегда равна модулю перемещения бруска). Поэтому

mgcosα – T = mа

и

Tsinα = mа,

где m – масса груза. На брусок с блоком в точке А действуют две силы натяжения нити. Поэтому для бруска можно записать следующее уравнение (в проекциях на горизонтальное направление):

T - Tsinα = Mа.

Решая систему полученных уравнений, получаем:

m = Msin2α / (2cosα - sin2α ).

 

5. По плоскости с углом наклона к горизонту α (sinα = 1/7) соскальзывает брусок. Коэффициент трения скольжения μ между бруском и плоскостью меняется вдоль плоскости. График зависимости скорости бруска от времени представлен на рисунке. Найти максимальное значение μ. Ответ: μ ~ 0.3.

Решение.

Запишем второй закон Ньютона для движения бруска вдоль наклонной плоскости:

m a = mgsinα – μ mgcosα ;

где μ – коэффициент трения. Отсюда:

μ =(gsinα – a)/gcosα.

Максимальное значение коэффициент трения будет иметь на участке 2-3, где ускорение отрицательно:
а = -2. μ _max = (10/7 + 2) / [10(48)^1/2 / 7] ~ 0.3.

 

6. Шайба, брошенная вдоль наклонной плоскости, скользит по ней, двигаясь вверх, а затем возвращается к месту броска. График зависимости модуля скорости шайбы от времени дан на рисунке. Найти угол наклона плоскости к горизонту.

Ответ: sinα ~ 0.147. ( МФТИ, 1992)

Решение.

Запишем второй закон Ньютона для движения шайбы вдоль наклонной плоскости вверх и вниз:

m a_U = mgsinα – kmgcosα ;

m a_D = mgsinα + kmgcosα ,

где k – коэффициент трения. Отсюда:

sinα = ½ (a_U + a_D) / g.

Определяя по графику a_U и a_D, получим sinα ~ 0.147, α ~ 9^o.

 

7. К неподвижному бруску, расположенному на гладкой горизонтальной поверхности, прикреплены две невесомые пружины с жесткостями k₁ и k₂ (см. рис.). Второй конец пружины с жесткостью k₁ прикреплен к вертикальной стенке. Свободный конец пружины с жесткостью k₂ начинают горизонтально перемещать с постоянной скоростью v_o. Через некоторое время t = τ ускорение бруска оказалось равным нулю. Чему равны удлинения пружин в этот момент?

Ответ: Δ x₁ = k₂ v_oτ /(k₁ + k₂), Δ x₂ = k₁ v_oτ /(k₁ + k₂).

Решение.

Поскольку ускорение бруска в момент времени t = τ равно нулю, то результирующая сила, действующая на брусок должна быть равна нулю, т. е

k₁ Δ x₁ = k₂ Δ x₂.

Обозначим удлинения пружин в момент t = τ через Δ x₁ и Δ x₂. очевидно, что суммарное удлинение равно перемещению свободного конца второй пружины:

Δ x₁ + Δ x₂ = v_o τ.

Из совместного решения двух уравнений получим

Δ x₁ = k₂ v_oτ /(k₁ + k₂), Δ x₂ = k₁ v_oτ /(k₁ + k₂).

8. На наклонной плоскости с углом наклона α неподвижно лежит тело. Коэффициент трения между телом и плоскостью равен k. Наклонная плоскость начинает двигаться по столу с ускорением а_о в направлении, указанном стрелкой. При каком значении этого ускорения тело начнет проскальзывать?

Ответ: а_о > g(k – tgα )/(k tgα + 1).

Решение

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси X и Y:

F_тр – mgsinα = ma_ocosα,

N – mgcosα = - ma_osinα.

 

Отсюда

F_тр = mgsinα + ma_ocosα,

N = mgcosα - ma_osinα.

Для того чтобы проскальзывание отсутствовало, необходимо

F_тр ≤ kN,

или

gsinα + a_ocosα ≤ k(gcosα - a_osinα ).

Отсюда:

а_о ≤ g(k – tgα )/(k tgα + 1).

Таким образом, проскальзывание начнется при

а_о > g(k – tgα )/(k tgα + 1).

9. Брусок массы M находится на гладком горизонтальном столе, по которому он может двигаться без трения. На бруске стоит куб массой m, упирающийся в небольшой выступ. При каком максимальном значении модуля силы F, приложенной к бруску, не произойдет опрокидывания куба?

Ответ: F = ( M+m)g.

Решение.

При максимально возможном ускорении а бруска кубик опирается на него в точке О. В этой точке на кубик действует сила реакции N бруска и горизонтальная сила F₁, сообщающая бруску ускорение а. Очевидно, что

F₁ = ma; N + mg = 0.

Для того чтобы кубик не вращался равнодействующая всех сил, действующих на него, должна проходить через центр масс кубика. Это означает, что α = ¼ π, т.е. F₁ = N, или

ma = mg.

Отсюда, а = g. Для того чтобы брусок и кубик двигались с таким ускорением, на брусок должна действовать сила

F = (M + m)a = (M + m)g.

10. Определить ускорения каждого из тел в системе, изображенной на рисунке. Нити нерастяжимы. Массой блоков и нитей пренебречь. Трения нет. Массы грузов m₁ = 0.1кг, m₂ = 0.6кг. Угол α =30^о.

Ответ: а₁ = 9.8м/с², а₂ = 4.9м/с².

Решение.

 

В ведем оси координат х₁ и х₂. Второй закон Ньютона в проекциях на эти оси запишется в виде

Т₁ – m₁gsinα = m₁a₁,

m₂g – T₂ = m₂a₂.

Из условия невесомости блока следует

Т₂ = 2Т₁.

Далее, запишем уравнение кинематической связи – за равные промежутки времени модуль перемещения тела m₂ вдвое меньше модуля перемещения тела m₁.

а₁ = 2а₂.

С учетом этого, для ускорений тел получим

a₂ = g(m₂ – 2m₁sinα )/(4m₁ + m₂) = 0.5 g.

a₂ = 2a₁ = g.

11. Ледяная горка составляет с горизонтом угол α = 30^о, по ней пускают снизу вверх камень, который в течение времени t₁ = 2c проходит расстояние S = 16м, после чего соскальзывает вниз. Какой промежуток времени t₂ длится проскальзывание камня вниз? Каков коэффициент трения между горой и камнем?

Ответ: t₂ = 4.2c, k = 0.37.

Решение

Направим оси координат, как показано на рисунке (такой выбор удобен, как правило, всегда, когда речь идет о наклонной плоскости). Второй закон Ньютона в проекциях на оси координат запишется в виде:

 

 

X: - F_тр – mgsinα = ma_x^u - при движении вверх,

F_тр – mgsinα = ma_x^d - при движении вниз,

Y: N - mgcosα = 0.

F_тр = kN = kmgcosα.

С другой стороны, кинематические уравнения кинематические движения камня можно записать в виде

S = ½ a_x^u t₁²,

- S = ½ a_x^d t₂².

Решая эти уравнения, получим

t₂ = t₁[S/(gt₁²sinα – S)] = 4.2 c.

k = {[2S/ t₁² – gsinα ]/gcosα } = 0.37.

 

Вращательное движение.

1. На горизонтальном диске, на расстоянии R от оси лежит маленькая шайба. Диск медленно раскручивают так, что его угловая скорость равномерно возрастает со временем. Через время τ после начала раскручивания шайба начала скользить по диску. Найти коэффициент трения шайбы о диск, если за время τ диск сделал n оборотов. (МГУ, физ. фак., 2000)

Ответ: /

Решение.

При раскручивании диска сила трения сообщает шайбе ускорение. По второму закону Ньютона

,

где - полное ускорение шайбы;

нормальное (центростремительное) ускорение, связанное с изменением направления вектора скорости;

тангенциальное ускорение, связанное с изменением модуля скорости. Поскольку , то .

В момент, когда шайба начала скользить по диску . Следовательно .

Из кинематических соотношений

; ; ,

где путь, пройденный шайбой по окружности,

модуль скорости шайбы по истечению времени . Получим

 

, .

Отсюда искомый коэффициент трения будет равен

/ .

2. Спутник вращается по круговой орбите вокруг Земли на высоте h = 3200 км. В какой пропорции сообщенная ему при запуске энергия поделилась между потенциальной и кинетической энергиями?

Ответ: W_П/W_K = 1.

Решение.

Кинетическую энергию спутника W_K = ½ mv² несложно найти, используя второй закон Ньютона и закон всемирного тяготения

 

mv²/(R + h) = GmM/(R + h)² → v² = (GM/R²)R² /(R + h) → v² = gR² /(R + h).

 

W_K = ½ mv² = ½ mgR² /(R + h).

 

Здесь m, M – массы спутника и Земли, R – радиус Земли, G – гравитационная постоянная, g = GM/R² – ускорение свободного падения.

Находясь на поверхности Земли, спутник уже обладает потенциальной энергией. Если, как обычно, выбрать начало отсчета потенциальной энергии на бесконечности, то для потенциальной энергии тела, находящегося на расстоянии r от Земли, можно записать

 

W = - GMm/r = - mgR²/r.

 

Потенциальная энергия на поверхности Земли будет

W_П⁽¹⁾ = - mgR,

а потенциальная энергия на орбите

W_П⁽²⁾ = - mgR²/(R + h).

Следовательно, при выводе спутника на орбиту ему была сообщена потенциальная энергия

W_П = W_П⁽²⁾ - W_П⁽¹⁾ = mghR/(R + h).

Тогда

W_П/W_K = 2h/R = 1.

 

 

3. На бруске, находящемся на горизонтальной плоскости, вертикально установлен легкий стержень, к которому привязана нить с грузом массы m = 100 г на конце (см. рис.). Нить с грузом отклоняют до горизонтального положения и отпускают. Определить массу бруска, если он сдвинулся, когда угол между нитью и стержнем был равен α = 45^о. Коэффициент трения бруска о плоскость k = 0.8. (МАИ, 1999)

Ответ: M = 37.5 г.

Решение.

При движении груза нить будет натянутой и на стержень будет действовать сила натяжения нити Т, которая способна сдвинуть брусок. Для того чтобы брусок сдвинулся с места сила трения покоя F_тр.пок, действующая между бруском и плоскостью, должна стать максимальной:

F_тр.пок = kN.

Запишем второй закон Ньютона для груза в момент времени, когда нить составила угол α с вертикалью, в проекции на нормаль к траектории (на касательную к окружности):

mv²/L = T – mgcosα,

где v – скорость груза в этот момент, которую найдем из закона сохранения энергии

mgLcosα = ½ mv².

Тогда

Т = 3mgcosα.

Из уравнений движения бруска

0 = Tsinα - F_тр.пок,

0 = N – Tcosα – Mg

находим

M = 3m cosα (sinα - kcosα )/k = 37.5 г.

4. Спутник движется по круговой орбите на высоте h₁ = 3R_З от поверхности Земли (R_З - радиус Земли). Как перевести его на круговую орбиту на высоту h₂ = R_З при минимальном времени работы двигателя? Изобразить траекторию спуска. (МАИ, 1996)

Решение.

Рассчитаем скорость спутника при движении по круговой орбите радиусом r. Из уравнения движения получим

mv²_o = GMm/r².

Отсюда

v_o²r =GM.

 

Здесь G – гравитационная постоянная, М – масса Земли. При уменьшении радиуса круговой орбиты скорость должна возрасти нашем случае в (4R_З/2R_З)^1/2 = √ 2 раза. Однако если попытаться увеличить скорость спутника, то он с круговой орбиты на эллиптическую орбиту, причем с большим средним расстоянием до Земли (т.е. точка, в которой произойдет увеличение скорости, будет перигеем). Для эллиптической орбиты скорости в апогее и перигее можно найти, используя тот факт, что радиус кривизны эллипса R в этих точках одинаков. Поэтому

mv_п²/R = GMm/r_п², mv_а²/R = GMm/r_а².

Отсюда

v_а r_а = v_п r_п.

Кроме того, должен выполняться закон сохранения энергии

½ mv_п² - GMm/r_п = ½ mv_a² - GMm/r_a.

Отсюда

v_a = [2GM(r_п/r_a)/ (r_п + r_a)]^1/2.

Нам известно расстояние до центра Земли в апогее и перигее: r_п = 2R_З и r_а = 4R_З. Если на исходной орбите уменьшить скорость до v = v_o(2/3)^1/2, то спутник будет иметь в перигее нужное расстояние до Земли (h = R_З). В этой точке орбиты следует увеличить скорость до величины v_k = v_o√ 2. После этого орбита станет круговой с нужным радиусом.

5. По гладкому столу движутся два тела массы m₁ и m₂, соединенные невесомой нерастяжимой нитью длины L. В некоторый момент времени скорость тела массы m₁ оказалась равной нулю, а скорость тела массы m₂ – равной v и направленной перпендикулярно нити. Найти силу натяжения нити. (НГУ, до 1999г)

Ответ: T = v²m₁m₂/[(m₁ + m₂)L].

Решение.

Можно считать, что тела участвуют в двух движениях: во вращении вокруг центра масс системы и в поступательном движении вместе с центром масс. Положение центра масс относительно тела массы m₁ находим из уравнения

x₁(m₁ + m₂) = Lm₂;

отсюда

x₁ = Lm₂/ (m₁ + m₂).

Второе тело находится на расстоянии

x₂ = L – x₁

от центра масс. Т.к. суммарная скорость тела массы m₁ равна нулю, а скорость тела массы m₂ – равной v, то имеем систему уравнений

v_ц.м + ω x₁ = 0,

v_ц.м + ω x₂ = v,

x₂m₂ = x₁m₁,

где ω – угловая скорость вращения, а v_ц.м – скорость центра масс, отсюда

v_ц.м = vm₂/ (m₁ + m₂), ω = - v_ц.м /x₁.

Тогда для силы натяжения имеем

T = m₁ (ω x₁)²/x₁ = v²m₁m₂/ [(m₁ + m₂) L].

 

6. Известно, что спутник, находящийся на орбите, высота которой над поверхностью Земли h = 3.6^.10⁴ км, совершает оборот вокруг Земли за сутки и может “висеть” над одной и той же точкой экватора. Допустим, что спутник запустили на такую же высоту и он “завис” над Москвой. Какую силу тяги должен развивать двигатель спутника, чтобы удерживать его на

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. D. межгрупповая дискриминация – возможно это неверный ответ
2. I. Понятие как форма мышления
3. II. Решить следующие ниже финансовые задачи на листе “Задачи”.
4. IV. Решить следующую задачу.
5. Административно-правовые нормы: понятие, структура, виды. Дискуссионность по понятию структуры правовой нормы.
6. АДМИНИСТРАТИВНО-ЮРИСДИКЦИОННОЕ ПРОИЗВОДСТВО: ПОНЯТИЕ, ЧЕРТЫ, ВИДЫ.
7. Административные запреты и ограничения в структуре правового статуса государственных гражданских служащих в Российской Федерации: понятие и содержательная характеристика.
8. АДМИНИСТРАТИВНЫЙ НАДЗОР: ПОНЯТИЕ, ОСОБЕННОСТИ, МЕТОДЫ, СУБЪЕКТЫ, ПОЛНОМОЧИЯ.
9. АДМИРАЛ РЕШАЕТ ТРУДНУЮ ЗАДАЧУ
10. Акты применения права:понятие,признаки,виды.Н,П,А.и акты примен.права:сходство,различия.
11. Альтернативные затраты называют также: затратами упущенных возможностей; вмененными издержками производства, альтернативной стоимостью производства.
12. Аминоспирты 2-аминоэтанол(коламин), холин, ацетилхолин. Аминофенолы: дофамин, норадреналин,адренлин.Аминотиолы ( 2 аминоэтантиол). Понятие о биологич-ой роли