IV.Механика жидкости и газа.

Вопросы:

Вопрос. В мире существует несколько каналов, пересекающих препятствие по мосту. Как увеличится нагрузка на мост, если по каналу будет проплывать судно массой 100т? Средняя плотность судна 0.8г/см³.

Ответ . Давление на мост не изменится. Гидростатическое давление равно ρ gh, где h – глубина канала, которая не изменится при прохождении судна по мосту.

Вопрос. К конической воронке приклеили дно (см. рис.). Прочность клея такая, что, если ставить на дно гирю, максимальная масса гири, при которой дно не отваливается, равна 1кг. Отвалится ли дно, если вместо гири налить в воронку 1кг воды?

Ответ . Когда на дно поставлена гиря, сила, действующая на дно, равна весу гири. Когда в воронку налита вода, сила, действующая на дно, равна произведению давления воды на площадь дна, т.е. равна весу вертикального цилиндра воды с площадью, равной площади дна и, следовательно, больше 1кг. Дно отвалится.

Вопрос . Изменится ли уровень океана, если растают все айсберги?

Ответ: Если бы айсберги имели такой же состав воды, как в океане, уровень не изменился бы - плавающее тело вытесняет столько воды, сколько оно само весит. Но, т.к. айсберги состоят из замерзшей пресной воды, а вода в океане – соленая, с несколько большей плотностью, уровень океана слегка повысится.

Вопрос . На весах уравновешен стакан, до краев полный воды. В воду осторожно погружают привязанный на нитке камень и держат его за нитку так, чтобы он не касался дна, ни стенок стакана. Вода, вытекшая из стакана, на весы не попадает. Нарушится ли равновесие весов?

Ответ . Равновесие не нарушится, т.к. камень действует на воду с той же силой, что

вода действует на камень; это Архимедова сила, и она равна весу вытекшей воды.

Можно рассуждать и по-другому: т.к. высота жидкости в стакане осталась прежней, давление на дно не изменилось, следовательно, равновесие не нарушится.

Вопрос. В стакане плавает кусок льда с вмерзшим в него камешком. Изменится ли уровень воды, когда лед растает?

Ответ. Лед вытесняет объем воды, вес которой равен весу льда и камешка. Т.к. плотность камешка больше плотности воды, он сам, упав на дно, будет вытеснять меньший объем воды, и уровень понизится.

Вопрос. В стакане с водой плавает в вертикальном положении брусок. Как изменится уровень воды в стакане, если брусок перейдет в горизонтальное положение?

ОТВЕТ. Уровень воды не изменится, так как количество вытесненной воды останется тем же.

ВОПРОС. Сосуд с водой установлен на ребре доски. Нарушится ли равновесие, если на поверхность воды положить дощечку и на нее поставить груз так, что дощечка с грузом будут плавать на поверхности воды?

ОТВЕТ. Равновесие не нарушится, так как, согласно закону Паскаля давление на дно сосуда будет всюду одинаковым.

ВОПРОС. Судно проходит шлюз, поднимаясь на более высокий уровень в камере шлюза, куда вода накачивается насосами со стороны нижнего уровня. В каком случае насосы совершат большую работу: когда в камере находится большой теплоход или маленькая лодка?

ОТВЕТ. В обоих случаях работа насосов одинакова, т.к. одно и то же количество перекачиваемой воды поднимается на одну и ту же высоту

ВОПРОС. Можно ли с помощью сифона перекачивать воду через стенку высоты h = 20м?

ОТВЕТ. Движение жидкости в сифоне обеспечивается силами сцепления между элементами жидкости. Жидкость в длинном колене перевешивает жидкость в коротком колене, что и приводит к ее перекачиванию. На основании этого можно было бы предположить, что с помощью сифона можно перекачивать воду через стенку любой высоты. Однако это не так. При высоте подъема в 10 м давление внутри жидкости становится равным нулю. При этом пузырьки воздуха, всегда имеющиеся в воде, начнут расширяться, и водяной столб окажется разорванным. Как только это произойдет, сифон перестанет работать. Следовательно, через стенку высоты 20 м с помощью сифона перекачивать воду нельзя.

ВОПРОС. Надувной матрац заполнен воздухом до некоторого давления, превышающего атмосферное. В каком случае давление в матраце будет больше: когда человек станет на него или ляжет?

ОТВЕТ. В случае, когда человек станет на матрац, его вес распределится на меньшую площадь (площадь ступней), чем в случае, когда он ляжет. Поэтому состояние равновесия наступит в первом случае при большем давлении воздуха в матраце, чем во втором случае.

ВОПРОС. В бассейне плавает лодка. Как изменится уровень воды в бассейне, если из лодки в бассейн бросить камень? Что произойдет с уровнем воды в бассейне, если в днище лодки проделать отверстие и лодка начнет погружаться? Если уровень воды изменится, то в какой момент начнется изменение?

ОТВЕТ. Если камень из лодки выбросить на берег бассейна, то уровень воды в бассейне понизится. Это происходит потому, что лодка становится легче, она всплывает, и объем вытесняемой ею воды уменьшается.

Уровень воды в бассейне понизится и в том случае, когда камень выбрасывают в бассейн, хотя понижение уровня теперь будет несколько меньше. В самом деле, когда камень лежит на дне, вытесняемый им объем воды равен объему камня. Пока же он находился в лодке, лодка вытесняла дополнительный объем воды, масса которого была равна массе камня. Так как плотность камня больше плотности воды, то этот объем больше объема самого камня.

А что если из лодки в бассейн выбросить деревянный предмет, например бревно? Если бревно выбрасывается на берег, то нет никакой принципиальной разницы со случаем, когда выбрасывается камень: уровень воды в бассейне понизится. Если бревно выбрасывается вводу, то уровень воды в бассейне останется прежним, хотя лодка, конечно, несколько всплывет. Ведь бревно плавает на поверхности и, значит, вытесняет такой же объем воды, какой раньше.

К этим же выводам можно прийти и проще, если представить себе, что весь бассейн стоит на весах. Что бы мы ни выбрасывали из лодки в воду, показания весов, конечно, не изменятся. Поэтому, если выброшенные из лодки предметы плавают на поверхности, то сила давления воды на дно бассейна не должна изменится. А это возможно только тогда, когда уровень воды останется прежним.

Если же выброшенный предмет опустился на дно бассейна, то действующая на дно бассейна сила определяется не только гидростатическим давлением воды, но и действием самого камня. Так как полная сила должна остаться прежней, то давление воды на дно должно уменьшиться. Поэтому уровень воды в бассейне понизится.

Если в днище лодки сделать отверстие, то лодка начнет погружаться в воду. Будем считать, что заполнение лодки происходит медленно, так что она в каждый момент находится в равновесии. Пока лодка находится на плаву, уровень воды в бассейне не изменится. Объем погруженной части лодки увеличивается ровно на столько, сколько воды (по объему ) вошло в лодку. В некоторый момент, набрав определенное количество воды, лодка уже не сможет оставаться в равновесии на плаву. С этого момента и произойдет понижение уровня воды в бассейне.

ВОПРОС. В озере на некоторой глубине плавает полый шар, полностью погруженный в воду. Можно ли считать, что шар находится в состоянии невесомости? Будет ли ощущать невесомость человек, находящийся внутри шара? Вернется ли шар на прежнюю глубину, если его погрузить ниже и отпустить?

ОТВЕТ. На примере этой задачи хорошо видно, что выражение “ тело, погруженное в воду, уменьшает свой вес “ неточно (скорее, просто неправильно): если тело покоится, его вес всегда равен силе тяжести. Напомним, что вес это сила, действующая на опору или подвес. Опорой для плавающего тела является вода – эта опора мягче перины, но все-таки самая настоящая опора. Это справедливо, конечно, и для тел, плавающих на поверхности (с чем сразу согласятся тот, кто умеет лежать на воде). Все, что находится внутри плавающего тела, никакой невесомости ощущать не будет: представим самих себя внутри батискафа (и даже на обычном корабле) – ведь для него вес тоже “ полностью исчезает “! Поэтому гидроневесомость (состояние подводного пловца) только отчасти моделирует настоящую невесомость: органы тела пловца по-прежнему давят друг на друга под действием силы тяжести. А вот органы тела космонавта в условиях настоящей невесомости также невесомы.

Если шар более сжимаем, чем вода, его плотность увеличивается при погружении быстрее, чем плотность самой воды. Поэтому тело станет тяжелее воды и пойдет на дно. Если же, наоборот, шар менее сжимаем, то при погружении в более плотные слои воды выталкивающая сила увеличится и шар вернется на прежнюю глубину. Таким образом, полностью погруженное в жидкость тело устойчиво плавает на определенной глубине только в том случае, если оно менее сжимаемо, чем жидкость. Аналогично объясняется устойчивое плавание дирижабля или шара-зонда на определенной высоте.

ВОПРОС. Стакан с опущенной в него серебряной ложкой плавает на поверхности воды, налитой в сосуд. Уровень воды при этом равен h. Увеличится или уменьшится уровень воды в сосуде, если ложку из стакана переложить на дно сосуда?

ОТВЕТ. Когда ложку вынут из стакана, объем вытесненной стаканом воды уменьшится на величину V₁ = m/ρ _B, где m – масса ложки, ρ _B – плотность воды. Когда ложку опустят в воду, объем вытесненной воды увеличится на величину объема ложки V₂ = m/ρ _C,ρ _C– плотность серебра. Т.к. ρ _C > ρ _B,то V₂ < V₁, а значит, уровень воды уменьшится.

Вопрос. Невесомая жидкость находится в покое между двумя невесомыми поршнями, связанными между собой тонким нерастяжимым стержнем. На верхний поршень действует сила F, площади поршней s и S. Чему равно давление в жидкости? Ответ: Р = F/ (S – s).

Поскольку поршни жестко связаны стержнем, то поршни и стержень можно рассматривать как одно твердое тело. На это тело действует сила F и сила давления жидкости, равная Ps (P – давление жидкости), направленная вниз, и сила давления жидкости, равная PS, направленная вверх. Т.к. жидкость и тело находятся в покое, то

F + Ps = PS.

Отсюда P = F/(S – s).

Ответ. В U-образной трубке постоянного сечения колеблется жидкость плотности ρ. Жидкость занимает участок трубки длины L. Найти давление на глубине Н в вертикальном участке правого колена в момент, когда уровень жидкости в правом колене выше, чем в левом, на величину h. (Меледин, 1.176)

Ответ: Р = ρ gH(1 – h/L).

Введем сечение трубки S. В заданный момент

(ρ LS)a = ρ ghS → a = gh/L.

Столб жидкости высоты Н приобретает ускорение а под действием силы тяжести и силы давления со стороны жидкости, подпирающей столб:

(ρ HS)a = ρ gHS - PS.

Отсюда Р = ρ gH(1 – h/L).

Вопрос. В лифте находится ведро с водой, в котором плавает тело. Изменится ли глубина погружения тела, если лифт будет двигаться с ускорением а, направленным вверх? Вниз?

Ответ. Не изменится. Второй закон Ньютона для тела:

m a = m g + F _A,

где F _A – выталкивающая сила. Если бы объем, вытесненный телом, занимала жидкость, то на нее со стороны остальной жидкости тоже действовала та же самая сила F _A:

m_ж a = m_ж g + F _A,

где m_ж = ρ _жV, V – объем погруженной части тела. Тогда

m( a – g) = ρ _жV(a – g),

отсюда следует, что V = m/ρ _ж не зависит от ускорения лифта, т.е. глубина погружения не изменится.

Вопрос. Вентилятор гонит струю воздуха через отверстие в стене. Во сколько раз надо увеличить мощность N вентилятора, чтобы перегоняемая в единицу времени масса воздуха m_t увеличилась в два раза? (Козел, 1.105)

Ответ: N₂/N = 8.

Ответ. Первоначальная мощность вентилятора

N = ½ m_tv²,

где m_t – масса воздуха, перегоняемая в единицу времени, а v – его скорость. Для того чтобы через то же отверстие перегонять в единицу времени массу воздуха в два раза большую, его скорость нужно увеличит в два раза. Поэтому мощность вентилятора

N₂ = ½ (2m_t) (2v)² = 8N.

Вопрос. Для измерения ускорения используется изогнутая по дуге окружности трубка, заполненная водой, в которой имеется пузырек воздуха. Как связано положение пузырька с ускорением трубки.

Ответ. Пузырек не будет перемещаться по трубке, если сила N, действующая на него со стороны жидкости, будет направлена по радиусу трубки, то есть перпендикулярно к касательной к трубке. Так как сила N – это архимедовавыталкивающая сила, то она перпендикулярна к линиям постоянного давления. Равнодействующая Q сил N и mg ( m – масса пузырька) направлена горизонтально и равна m a. Поэтому

tgα = ma / mg = a /g.

Вопрос. В трубе с сужением течет вода. В трубу пущен эластичный резиновый шарик. Как изменится его диаметр при прохождении узкой части трубы?

Ответ. Увеличится, т.к. скорость воды в узкой части трубы больше, а давление соответственно меньше, чем в широкой части трубы.

Вопрос. Из брандспойта бьет струя воды. Расход воды Q = 60 л/мин. Какова площадь поперечного сечения струи S₁ на высоте h = 2 м над концом брандспойта, если вблизи него сечение равно S_о = 1.5 см²?

Ответ. Скорость у конца брандспойта

v_o = Q/S_o.

Вылетая из брандспойта, вода движется равнозамедленно с ускорением g, поэтому на высоте h скорость воды будет

v_h = (v_o² -2gh)^1/2.

Из уравнения непрерывности струи

v_oS_o = v_hS_h,

выражающего собой тот факт, что масса жидкости, протекающей через любое поперечное сечение струи в единицу времени, одна и то же, получим

S_h = (v_o/v_h)S_o = Q/[(Q/S_o)² – 2gh]^1/2.

Гидростатика.

Резиновый детский мячик плавает на поверхности воды, когда погружена 1/8 часть его объема. Другой мяч, вдвое большего радиуса, погружается на 1/10 своего объема. Во сколько раз толщина стенки второго мяча больше, чем первого?

Ответ: h₂/h₁ = 4/5(R₂/R₁) = 1.6.

Решение.

Масса мяча практически равна массе стенки (массой воздуха внутри мяча можно пренебречь). Толщина стенки много меньше радиуса мяча, поэтому приближенно можно считать, что объем стенки равен 4π R²h. Тогда масса мяча равна М = ρ 4π R²h, а условия плавания запишутся для мячей в виде:

1/8 4/3 π R₁³ ρ _вg = ρ 4π R₁² h₁ g,

1/10 4/3 π R₂³ ρ _вg = ρ 4π R₂²h₂ g.

Деля эти уравнения друг на друга, находим h₂/h₁ = 4/5(R₂/R₁) = 1.6

2. Тонкостенный стакан массы М = 50 г ставят вверх дном и медленно опускают его вглубь так, что он все время остается вертикальным. На какую минимальную глубину надо опустить стакан, чтобы он утонул? Высота стакана Н = 10 см, площадь дна S = 20 см². давление водяного пара в стакане не учитывать. Атмосферное давление равно Р_о = 100 кПа. (Козел, 2.121)

Ответ: h = P_o[(ρ V_o/M) –1]/(ρ g).

Решение.

Стакан утонет, если масса воды в объеме, занимаемом воздухом на глубине h, будет равна массе стакана или меньше нее. Объем воздуха на глубине h определяется законом Бойля-Мариотта:

V = V_oP_o/ (P_o + ρ gh),

где V_o = SH.На критической глубине

ρ V_oP_o/ (P_o + ρ gh) = M,

откуда

h = P_o[(ρ V_o/M) –1]/ (ρ g).

3. На рисунке изображена конструкция максимального термометра (т.е. термометра, ‘запоминающего’ температуру, до которой он нагревался в процессе опыта). Длинная U- образная трубка, запаянная с одного конца, заполнена при температуре Т_о = 273 К ртутью. В правом колене над ртутью находится воздух, высота столба которого h = 24 см. при нагревании прибора воздух, расширяясь, вытесняет часть ртути. После охлаждения до первоначальной температуры Т_о уровень ртути в левом открытом колене понизился на величину Н = 6 см. Определить температуру, до которой нагревался прибор. Атмосферное давление Р_о = 100 кПа. (Козел, 2.117)

Ответ: T = ≈ 378 К.

Решение.

Рассмотрим три состояния воздуха в трубке.

1) Начальное состояние

P₁ = P_o + ρ gh; V₁ =; T₁ = T_o,

где S – сечение трубки.

2) Воздух нагрет до некоторой температуры Т:

P₂ = P_o + ρ gh₁; V₁ = h₁S; T₂ = T,

где h₁ – высота воздушного столба при температуре Т, часть ртути вылилась из левого открытого колена.

3) Воздух снова охлажден до первоначальной температуры Т_о:

P₃= P_o + ρ g(h₂– Н); V₃ = h₂S; T₃ = T_o.

Высота воздушного столба h₂ = h₁ – H, так как ртуть из трубки при переходе из второго состояния в третье больше не выливалась.

В первом и третьем случаях температура воздуха одинакова. Поэтому можно воспользоваться законом Бойля-Мариотта

(P_o + ρ gh) hS = [P_o + ρ g(h₂– Н)] h₂S.

Величина Р_о/ρ g имеет смысл высоты ртутного столба, соответствующей атмосферному давлению, мы будем обозначать ее через Н_о (Н_о = 76 см). Имеем h₂² + (H_o – H)h₂ - (H_o + h)h = 0.

Подставляя численные значения, найдем

h₂² + 70h₂ - 2400 = 0, h₂ ≈ -35 ± 60 см.

Физический смысл имеет лишь положительное значение h₂. Таким образом, h₂ ≈ 25 см и, следовательно, h₁ = h₂ + H = 31 см. Применяя теперь объединенный газовый закон к первому и второму состояниям, получим

h₁(H_o + h₁)/T = h (H_o + h)/T_o,

откуда

T = T_o h₁(H_o + h₁)/ [ h(H_o + h)] ≈ 1.38 T_o ≈ 378 К.

4. Пробирку длины L заполнили водородом при давлении Р^/, и закрыли легким подвижным поршнем и погрузили в сосуд с ртутью на глубину Н (см. рис.). Какая часть длины пробирки будет при этом заполнена водородом? При каких значениях Н задача имеет решение? Плотность ртути равна ρ, атмосферное давление равно Р_о. Температура водорода поддерживается неизменной. (Козел, 2.111)

Ответ: T ≈ 378 К.

Решение.

Поршень будет находится в равновесии, если давление в пробирке равно

P_o + ρ g(H – x).

Тогда по закону Бойля-Мариотта получаем

[P_o + ρ g(H – x)]xS = P^/LS,

x² – [H + (P_o/ρ g)]x + P^/L/(ρ g) = 0.

Откуда x_{1, 2} = ½ [H + (P_o/ρ g)] ± {¼ [H + (P_o/ρ g)]² - P^/L/(ρ g)}^1/2.

Определим какое из решений квадратного уравнения справедливо в условиях задачи. Для этого изобразим на графике закон Бойля-Мариотта для газа внутри пробирки:
Рх = const (кривая 1 на рисунке). На том же графике построим зависимость

P = P_o + ρ g(H – x) (прямая 2).

Условию равновесия поршня соответствуют точки пересечения кривой 1 и прямой 2 - точки a и b. Нетрудно видеть, что положение поршня в точке b является положением неустойчивого равновесия. Действительно, если объем газа случайно немного увеличится, гидростатическое давление уменьшится сильнее, чем давление газа в сосуде, и газ вытолкнет поршень. Если же объем немного уменьшится, то гидростатическое давление возрастет сильнее, чем давление газа, а поршень будет проваливаться внутрь пробирки до положения х_а. Из тех же соображений видно, что х_а – положение устойчивого равновесия. Итак

x = ½ [H + P_o/(ρ g)] - { ¼ [H + (P_o/ρ g)]² - P^/L/(ρ g)}^1/2.

Задача имеет решение, если подкоренное значение больше нуля, т.е.

¼ [H + (P_o/ρ g)]² - P^/L/(ρ g) > 0,

откуда

H > 2 [P^/L/(ρ g)]^1/2 - P_o/(ρ g).

На рисунке это соответствует условию, что прямая 2 проходит правее прямой 3.

5. Трубка радиуса r, закрытая снизу алюминиевой клиновидной пластинкой, в сечении образующей прямоугольный треугольник с катетами а и b, погружена в воду на глубину Н (см. рис.). Верхняя грань клина представляет собой квадрат со стороной а, причем ось трубки проходит через середину квадрата. Давление воды прижимает клин к трубке. До какой высоты следует налить воду в трубку, чтобы клин отделился от нее? Плотность воды равна ρ _о, плотность алюминия ρ _.Рассмотреть случай, когда алюминиевый клин заменен деревянным. До какой высоты следует налить воду в трубку, чтобы клин всплыл? (Меледин, 1.156)

Ответ: 1) x ≥ H + a² b[1 – (ρ /ρ _о)]/(2π r²) 2) x ≥ H - a² b[а/(6r) - 1)][1 – (ρ /ρ _о)]/(2π r²).

Решение.

Из геометрических соображений и из определения центра тяжести следует, что плечо выталкивающей силы относительно правого края трубки равно а/6 + r. Клин упадет на дно, повернувшись, если

(ρ - ρ _о)g a²(½ b)(а/6 + r) ≥ ρ _оgπ r³(H – x),

x ≥ H + a² b[а/(6r) + 1)[1 – (ρ /ρ _о)]/(2π r²)

Чтобы клин не упал без вращения, необходимо выполнение условия для силы

ρ _оg[π r²(H – x) + ½ a²b] ≤ ρ _оg(½ a²b),

x ≥ H + a² b[1 – (ρ /ρ _о)]/(2π r²).

Сравнение двух ограничений, накладываемых на х, приводит к следующему результату:

x ≥ H + a² b[1 – (ρ /ρ _о)]/(2π r²).

2) Плечо выталкивающей силы относительно правого края трубки равно а/6 – r. Клин перевернется и всплывет, если

(ρ - ρ _о)g a²( ½ b)(а/6 - r) ≥ ρ _оgπ r³(H – x),

x ≥ H - a² b[а/(6r) - 1)[1 – (ρ /ρ _о)]/(2π r²).

6. На дне сосуда, наполненного жидкостью, плотность которой равна ρ, стоит Г-образное тело (см. рис). Жидкость под нижнюю грань тела не подтекает. Плотность тела равна 2ρ. При какой высоте уровня жидкости в сосуде равновесие тела нарушится? (Меледин, 1.148)

Ответ: h = 5L.

Решение.

Запишем условие равенства моментов силы давления воды и силы тяжести, действующих на тело, с учетом отсутствия подтекания. В качестве оси вращения выбираем правое ребро нижней грани:

½ ρ gL[2^.4L³ + (h – 4L)L²] = 3L³(2ρ – ρ )g(3L/2).

Отсюда h = 5L.

7. Кусок медного купороса весит в воздухе Р₁ = 100мН, а в керосине Р₂ = 70мН. Определить плотность медного купороса. Медный купорос в керосине не растворяется. Каким станет его вес в керосине, если взвешивание производить в лифте, поднимающемся с ускорением а = 4м/с².

Ответ: ρ = 2.7г/см³, Р₃ = 110мН.

Вес куска медного купороса в керосине уменьшается на величину выталкивающей силы F_выт = ρ _кVg, где ρ _к- плотность керосина, V – объем куска. Пренебрегая выталкивающей силой воздуха, можно записать

P₁ = ρ Vg,

P₂ = ρ Vg - ρ _кVg = (ρ - ρ _к)Vg,

где ρ - плотность медного купороса.

Подставляя, выраженный из первого уравнения объем V во второе уравнение, получим

P₂ = (ρ - ρ _к) P₁/ρ,

отсюда

ρ = ρ _к P₁/( P₁ - P₂).

Принимая ρ _к = 0.8 г/см³, получим ρ = 2.7 г/см³.

Для определения веса медного купороса в лифте, рассмотрим силы, действующие на него: сила тяжести mg = ρ Vg = P₁, выталкивающая сила F_выт, и сила реакции со стороны весов, численно равная весу купороса. Равнодействующая этих сил сообщает ускорение а куску купороса:

N + F_выт - mg = ma,

отсюда

N = mg(1 + a/g),

Но

mg = P₁, F_выт = P₁ - P₂.

Окончательно получим

N = a/g P₁ + P₂ = 110 мН.

8. В дне цилиндрической кастрюли площади S просверлили отверстие площади s и вставили в него пластмассовую трубку. Масса кастрюли с трубкой равна М. Кастрюля стоит на ровном листе резины дном вверх (см. рис.). Сверху в трубку осторожно наливают воду. До какого уровня можно налить воду, чтобы она не вытекала снизу? (XII Всесоюзная олимпиада, 1978 г.)

Ответ: H = h + m/[ρ (S – s)].

Решение

Вода начинает вытекать, когда ее сила давления на дно кастрюли уравновешивает силу тяжести

Mg + (P – P_атм) (S – s),

т.к.

P = P_атм + ρ g(Н – h),

то

H – h = m/[ρ (S – s)].

Отсюда

H = h + m/[ρ (S – s)].

9. В бак с водой опущена длинная стеклянная трубка с площадью поперечного сечения s. Верхний конец трубки открыт и находится выше уровня воды в баке, а снизу трубка закрыта пластинкой с площадью сечения S и толщиной l (см. рис.). Плотность материала пластинки ρ _ПЛ больше, чем плотность воды ρ _В. Трубку медленно поднимают вверх. Определить на какой глубине h пластинка оторвется от трубки. Ответ: h = (S/s)(ρ _ПЛ /ρ _В- 1) l .

Решение

Моменту отрыва пластинки соответствует равновесие сил, действующих на нее:

силы давления F₁, действующей сверху

F₁ = ρ _Bg(S – s)h+ P_oS;

силы давления воды F₂, действующей снизу

F₂ = ρ _BgS(h + l) + P_oS

и силы тяжести, действующей на пластинку

F_T = ρ _плglS.

Сила реакции со стороны трубки в момент отрыва равна нулю. Из условия равновесия сил

ρ _Bg(S – s)h+ P_oS + ρ _плglS = ρ _BgS(h + l) + P_oS,

получим

h = (S/s)( ρ _пл /ρ _B- 1)l.

Гидродинамика.

Насос подает объем воды V в час на высоту Н по трубе диаметром d. Какой должна быть мощность насоса? Можно ли с помощью насоса меньшей мощности подавать объем воды V в час на ту же высоту? (Слободецкий, №37)

Ответ: N = 32ρ V³/ (π ²d⁴) + ρ VgH.

Решение.

За время Δ t насос подает на высоту Н массу воды ρ VΔ t, совершая работу А, равную изменению механической энергии воды. Так как насос “гонит” воду с некоторой скоростью v, то

A = ½ (ρ VΔ t)v² + (ρ VΔ t)gH.

Следовательно, мощность насоса

N = ½ ρ Vv² + ρ VgH.

Найдем скорость v. За время Δ t через поперечное сечение трубы площадью S = ¼ π d² проходит объем воды VΔ t = vΔ t(¼ π d²). Отсюда

v = 4V/ (π d²).

Таким образом, мощность насоса

N = 32ρ V³/ (π ²d⁴) + ρ VgH.

Из последнего выражения видно, что чем больше диаметр d трубы, тем меньше необходимая мощность насоса. Но можно уменьшить величину N, не меняя диаметра трубы. Если обрезать на высоте h < < H, то вода будет вылетать из трубы с некоторой скоростью u. Для этого необходима мощность насоса

N^/ = ½ ρ Vu²

(т.к. h < < H, то потенциальной энергией на высоте h для простоты пренебрегаем). Для того чтобы вода поднялась на высоту Н, необходимо, чтобы ее скорость была не меньше, чем

u_min = [2g(H – h)]^1/2 ≈ [2gH]^1/2.

Таким образом, можно использовать насос мощностью

N^/ = ρ VgH.

2. Водометный катер забирает забортную воду и выбрасывает ее назад со скоростью u = 20 м/с относительно катера. Площадь поперечного сечения струи S = 0.01 м². Найти скорость катера, если действующая на него сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости: F = kv², причем k = 7.5 Н^.с²/м². (Козел, 1.68)

Ответ: v = 13.4 м/с.

Решение.

Масса воды, которую в единицу времени забирает и выбрасывает катер m_t = ρ Su. Когда вода забирается в катер, она приобретает скорость катера v, и на катер (по третьему закону Ньютона) действует сила

F₁ = - ρ Suv.

Когда вода выбрасывается из катера назад со скоростью u, на катер действует сила

F₂ = ρ Su².

Результирующая сила, действующая на катер со стороны воды,

F = F₁ + F₂ = ρ Su(u – v).

Она равна силе сопротивления, так как катер по условию движется с постоянной скоростью:

ρ Su(u – v) = kv².

Решая квадратное уравнение, находим v = 13.4 м/с.

3. На высоте h = 2 м над широким сосудом открывают на время t_o = 2 с кран, из которого вниз выливается в единицу времени масса воды m_t = 0.2 кг/с. Площадь отверстия крана S = 1см². Найти изменение силы давления на подставку и изобразить графически эту силу как функцию времени. (Козел, 1.72)

Решение.

Скорость, с которой вода вытекает из крана,

v_o = m_t /ρ S = 2 м/с.

Скорость v, которую имеет вода, попадая в сосуд, можно найти с помощью закона сохранения энергии:

v = (v_o + 2gh)^1/2 = 6.6 м/с.

При попадании в сосуд вода тормозится, происходит абсолютно неупругий удар, вследствие чего на сосуд действует сила, равная изменению импульса в единицу времени:

F₁ = m_t v = 1.3 Н.

Кроме того, по мере заполнения сосуда водой на дно действует сила тяжести этой воды, линейно нарастающая со временем:

F₂ = m_t gt.

Общая сила давления на дно

F = F₁ + F₂.

Ее график приведен на рисунке. Время, за которое вода долетает от крана до сосуда,

t₁ = 2h/ (v + v_o) = 0.45 с.

Начальную силу давления на дно полагаем равной нулю. Максимальная сила давления на дно

F_max = F₁ + m_t gt_o = 5.2 H.

Сила давления на дно сосуда после того, как струя перестанет попадать в сосуд

F_к = m_t gt_o.

4. Цилиндр диаметра D заполнен водой и расположен горизонтально (см. рис.). С какой скоростью перемещается поршень, если на него действует сила F, а из отверстия в задней стенке цилиндра вытекает струя диаметра d? Трением пренебречь силу тяжести не учитывать. (Козел, 1.74)

Ответ: v = (2d²/D){2F/[π ρ (D⁴ – d⁴)]}^1/2.

Решение.

Если поршень перемещается со скоростью v, скорость струи (из-за несжимаемости воды) u = v(D/d)².

Так как трением можно пренебречь, для воды в цилиндре справедливо уравнение Бернулли:

P_o + F/S + ½ ρ v² = P_o + ½ ρ u²,

где Р_о – атмосферное давление, ρ – плотность воды, а S = ¼ π d². Из этих соотношений находим

v = (2d²/D) {2F/ [π ρ (D⁴ – d⁴)]}^1/2.

5. На тележке стоит сосуд с высокими стенками и квадратным дном, имеющим сторону L. Нижнее ребро O сосуда шарнирно закреплено. В сосуд налита жидкость до уровня h > ½ L. Тележку тянут с ускорением а, придерживая сосуд. Когда поверхность жидкости успокаивается, сосуд отпускают. При какой минимальной высоте h уровня жидкости сосуд опрокинется? Массой сосуда пренебречь. (Меледин, 1.143)

Ответ: h = ½ L{(a/g) + (g/a) + [(a²/g²) + (4/3)(1 - (a²/g²))]^1/2} ≈ La/g при a < < g.

Решение.

Пусть точка С – центр масс ускоренной жидкости. Поверхность жидкости уже не горизонтальна, перпендикуляр к этой поверхности направлен вдоль вектора - а + g, направление которого совпадает с направлением результирующей силы, приложенной к центру масс. Если линия действия этой силы пройдет мимо площади опоры, то система перевернется. Критическим условием является прохождение линии действия результирующей силы чрез шарнир, т.е. точку О (см. рис.). Обозначив через х_Сгоризонтальную координату центра масс, а через y_C – вертикальную, получаем условие

a/g = x_C/y_C.

Центр масс трапеции можно найти, например, через центр масс треугольника и прямоугольника:

x_C = {(L/3)(L/2)(a/g)L + (L/2)[h – La/(2g)]}/(hL) = L/2 – L²a/(12hg),

y_C = {(L/3) (a/g) (L/2L)(a/g) + ½ [h – La/(2g)] [h – La/(2g)]L}/(hL) =

h/2 – La/(2g) + 7L²a²/(24hg²).

Подставляя в вышеприведенное условие найденные значения x_Cи y_C, имеем

h² – L[(a/g) + (g/a)]h + (L²/6)[1 + (7/2)(a²/g²)] = 0;

Отсюда, с учетом условий, а < g и h > ½ L, однозначно получаем

h = ½ L {(a/g) + (g/a) + [(a²/g²) + (4/3) (1 - (a²/g²)]^1/2} ≈ La/g при a < < g.

6. Поршень вытесняет воду из вертикального цилиндрического сосуда через малое отверстие, находящееся у дна сосуда и имеющее площадь S_o. Высота сосуда равна h, площадь основания - S. Какую работу совершает поршень, если он движется с постоянной скоростью v? Учесть действие силы тяжести. (Меледин, 1.145)

Ответ: A = ρ S(h/2)[(vS/S_o)² – gh]

Решение.

Используя закон сохранения энергии и условие несжимаемости жидкости, получаем

W_П = ρ gSh (h/2) = ½ ρ gSh²,

u = vS/S_o,

W_K = ½ mv² = ρ S (h/2) (vS/S_o)²,

где ρ – плотность воды, u – скорость истечения воды. Тогда

A = W_K - W_П = ρ S (h/2) [(vS/S_o)² – gh]

для v > (S_o/S)(2gh)^1/2,

при v < (S_o/S)(2gh)^1/2 происходит отрыв воды от поршня.

7. Идеальная жидкость, налитая в вертикальное колено узкой изогнутой под прямым углом трубки, удерживается легким поршнем П, находящимся в самом начале горизонтального участка трубки (см. рис.). После освобождения поршня через некоторый промежуток времени вся жидкость оказалась в горизонтальном колене. Пренебрегая трением, найти этот промежуток времени, если первоначальная высота столба жидкости была равна L. (МГУ, физ. фак., 2001)

Ответ: τ = ¼ T = ½ π (L/g)^1/2.

Решение.

В тот момент, когда высота столба жидкости в вертикальном колене трубки станет равной х, масса жидкости в этом колене будет равна ρ sx, где s – сечение трубки, ρ – плотность жидкости. Пусть в этот момент времени давление в изгибе трубки станет равным Р. Тогда второй закон Ньютона для этой массы жидкости запишется в виде

(ρ sx)x^// = - (ρ sx)g – (P_a – P)s

(ось х направлена вверх), где P_a – атмосферное давление. Уравнение же движения жидкости в горизонтальном участке трубки с учетом того, что трубка тонкая и того же сечения, а массой поршня можно пренебречь, можно представить в виде

[Ρ s (L - x)]x^// = – ( P - P_a)s.

из приведенных уравнений следует, что при 0 < x ≤ L ускорение, с которым движутся поршень и жидкость в трубке, должно быть равно

x^// = - (g/L) x.

Таким образом, начиная с того момента, когда поршень был отпущен, вплоть до того момента, когда вся жидкость перетекла в горизонтальную часть трубки, ее движение описывается уравнением гармонических колебаний. Этот процесс длился четверть периода колебаний

τ = ¼ T = ½ π (L/g)^1/2.

8. В водоеме укреплена вертикальная тр

⇐ Предыдущая 3 4 5 6 789 10 11 12 Следующая ⇒