|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
|
|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Гелий – одноатомный газ, и для него
Duг = nг3/2RDT, Водород – двухатомный газ, и для него Duв = nв5/2RDT. Из начальных условий имеем PoVo = (nг + nв) RTo. Но nг = m/mг = m/4, а nв = m/mв = m/2, т.е. nв =2nг, а nг + nв = PoVo/Rot, Откуда находим nг = 1/3 PoVo/RTo, nв = 2/3 PoVo/RTo. Таким образом A = - [(1/3)( 3/2) + (2/3)(5/2)](RDT)( PoVo/RTo), откуда DT/To = - 6/13 A/(PoVo) = -1/3.
Ответ: A =3/2ν RDТ/ (1- h). Решение. Так как газ получает тепло от нагревателя лишь на участке 1-2, h= (A12 +A31)/Q12. Но Q12=A12, а на адиабате A31 = -u31 =-nCvDТ. Подставляя эти выражения, получим A = А12=3/2 RDТ/(1-h).
5. К идеальному одноатомному газу, заключенному внутри масляного пузыря, подводится тепло. Найти молярную теплоемкость этого газа, если давлением снаружи можно пренебречь. ( МФТИ, до1992г) Ответ: С = 3R ~ 25Дж/(мольК). Решение. Воспользуемся 1-ым началом термодинамики: С DТ = СvDТ + PDV. Если радиус пузыря r, давление газа в пузыре по формуле Лапласа равно Р = 4s/r, объем газа V = 4/3pr3, так что DV = 4pr2Dr. Для одноатомного газа PV =RT т.е. (4s/r)(4/3pr3) = RT или 16/3psr2 = RT. Изменяя r на малую величину и пренебрегая членом с (Dr)2, получаем, что 32/3psrDr = RDT,
откуда DT = 32/3psrDr/R. Подставляя это соотношение в первое начало, получаем С = Сv + (4s/r) 4pr2 3R/(32psr) = Сv + 3/2R = 3R ~ 25Дж/(мольК).
6. Два сосуда заполнены одним и тем же идеальным газом и сообщаются при помощи узкой трубки. Отношение объемов сосудов V1/V2 = 2. Первоначально газ в первом сосуде имел температуру Т1 = 300К. В результате перемешивания происходит выравнивание температур. Найти первоначальную температуру газа во втором сосуде, если конечная температура Т = 350К. Теплообменом газов со стенками сосудов и трубки пренебречь. Ответ: Т2 = 525К. Решение. Система, состоящая из газов в обоих сосудах, работы над другими телами не производит и теплом с окружающими телами не обменивается. Следовательно, внутренняя энергия системы сохраняется: ν 1 СvT1 + ν 2 СvT2 = (ν 1 + ν 2)СvT. Числа молей ν 1 и ν 2 выразим из уравнений состояния, записанных для газов в обоих сосудах до опыта, с учетом того, что у них одинаковое давление Р: ν 1 = PV1/RT1; ν 2 = PV2/RT2 . Подставив эти выражения в первое уравнение, получим после упрощений Т2 = Т/ [1 – (V1/V2)(T – T1)/T1] = 525K.
7. Теплоизолированный сосуд разделен на две части перегородкой. В одной части находится ν 1 молей молекулярного кислорода (О2) при температуре Т1, а в другой – ν 2 молей азота (N2) при температуре Т2. Какая температура установится после того, как в перегородке появится отверстие? Ответ: Т = (ν 1 Т1 + ν 2 Т2)/ (ν 1 + ν 2). Решение. Рассмотрим систему из двух газов. Оба газа двухатомные. У них постоянная теплоемкость при постоянном объеме Сv. Система из двух газов тепла от других тел не получает и работы над телами, не входящими в систему, не совершает. Поэтому внутренняя энергия системы сохраняется: ν 1 Сv Т1 + ν 2 CvТ2 = ν 1 Сv Т + ν 2 CvТ. Отсюда температура смеси Т = (ν 1 Т1 + ν 2 Т2)/ (ν 1 + ν 2).
8. Идеальный газ массой m = 1кг находится под давлением Р = 1.5 105Па. Газ нагрели, давая ему расширяться. Какова удельная теплоемкость в этом процессе, если температура газа повысилась на Δ Т =2К, а объем увеличился на Δ V = 0.002м3? Удельная теплоемкость этого газа при постоянном объеме Сv = 700 Дж/кг. Предполагается, что изменение давления газа при проведении процесса мало. Ответ: С = Сv + PΔ V/mΔ Т = 850Дж/(кгК). Решение. Удельная теплоемкость в данном процессе С = Δ Q/mΔ Т. По первому закону термодинамики
Отсюда С = Сv + PΔ V/mΔ Т = 850Дж/(кгК). 9. В латунном калориметре массой m1 = 200г находится кусок льда массой m2 = 100г при температуре t1 = -10оС. Сколько пара, имеющего температуру t2 = 100оС, необходимо впустить в калориметр, чтобы образовавшаяся вода имела температуру t = 40оС? Удельные теплоемкости латуни, льда и воды равны соответственно: С1 = 0.4 103Дж/кгК, С2 = 2.1 103Дж/кгК, С3 = 4.19103Дж/кгК; удельная теплота плавления льда λ = 33.6 104Дж/кг, удельная теплота парообразования воды r = 22.6 105Дж/кг. Ответ: m = 22г. Решение. При конденсации пара массой m при 100оС выделяется количество теплоты Q1 = mr. При охлаждении получившейся воды до t = 40oC выделяется количество теплоты Q2 =mC3(t2 – t). При нагревании льда от t1 = -10oC до to = 0oC поглощается количество теплоты Q3 = C2m2(to – t1). При плавлении льда поглощается количество теплоты Q4 = λ m2. При нагревании получившейся воды от to до t поглощается количество теплоты Q5 =C3m2(t –to). Для нагревания калориметра от t1 до t требуется количество теплоты Q6 =C1m1(t – t1). По закону сохранения энергии Q1 + Q2 = Q3 + Q4 + Q5 + Q6, или m [r + C3(t2 – t)] = C2m2(to – t1) + λ m2 + C3m2(t – to) + C1m1(t – t1) откуда m = [C2m2(to – t1) + λ m2 + C3m2(t – to) + C1m1(t – t1)]/ [r + C3(t2 – t)] = 22г.
Ответ: η = 1 – 2А/ (3ν RΔ T). Решение. По определению КПД тепловой машины η = АП/QH, где АП – полная работа газа за цикл (площадь цикла в координатах P, V), а QH – тепло, получаемое рабочим газом извне (от нагревателя). Согласно первому началу термодинамики работа на адиабате 1-2 А12 = - Δ u12 = - ν Cv(T2 – T1) = ν Cv(T1 – T2). Работа на изотерме по условию А23 = -А, работа на изохоре А31 = 0. Таким образом, полная работа газа за цикл равна АП = А12 + А23 + А31 = ν Cv(T1 – T2) – А. На участке 1-2 Q12 = 0 (адиабата), на участке 2-3 Q23 = A23 (изотерма, т.е. Δ u =0), газ отдавал тепло, а не получал. Единственный участок цикла, где газ получал тепло – изохора. При этом Q31 = QП = ν Cv(T1 – T3) = ν Cv(T1 – T3) = ν CvΔ T, т.к. Т1 и Т2 и есть максимальная и минимальная температуры в цикле. Итак, η = ( ν CvΔ T – А)/ ν CvΔ T = 1 – 2А/ (3ν RΔ T), т.к. Сv = 3/2R (газ одноатомный).
Ответ: при Т4 > Т2.
Решение. Работа за цикл равна A = (P2 – P1) (V4 – V1). Из уравнения Клапейрона-Менделеева: V1 = V2 = ν RT2 / P2, V4 = ν RT4 / P1. Отсюда A = (P2 – P1) (T4 / P1 – T2 / P2) ν R = = (P2 – P1) (T2/P2) [(T4/T2) (P2/ P1) – 1) ν R = = (P2 – P1)V2[(T4/T2) (P2/ P1) – 1)] Следовательно, работа за цикл будет больше, если Т4 > T2.
12. Идеальный газ массы m = 80г и молярной массы μ = 40г/моль нагревают в цилиндре под поршнем так, что температура изменяется пропорционально квадрату давления (Т ~ P2) от начального значения Т1 = 300К до конечного Ответ: Q = 4(m/μ ) R (T2 – T1) = 4A = 3.3кДж. Решение.
P V = (m/μ ) RT и условия T = kP2, где k = const, получаем P = (μ V)/ (mRk), т.е. уравнение прямой, проходящей через начало координат. Работа газа равна заштрихованной площади трапеции:
A = ½ (P1 + P2) (V2 – V1) = ½ (mRk/μ ) (P22 – P12) = = ½ (mR/μ ) (T2 – T1) = 830Дж. Количество тепла найдем из первого закона термодинамики: Q = Δ U + A = (m / μ ) 3/2 R (T2 – T1) + ½ (m / μ ) R (T2 – T1) = = 2 (m / μ ) R (T2 – T1) = 4A = 3.3кДж
13. Моль идеального газа совершает замкнутый цикл, состоящий из двух изобар и двух изохор. Отношение давлений на изобарах α = 1.25, а отношение объемов на изохорах β = 1.2. Найти работу, совершенную газом за цикл, если разность максимальной и минимальной температур газа в цикле составляет Δ Т = 100К. (МФТИ, до91г) Ответ: A = R Δ Т (α –1) (β –1)/ (α β –1). Решение.
α = Р2/Р1, β = V2/V1; минимальная температура – T1, максимальная Т3, Т3 – Т1 =Δ Т. Работа за цикл равна площади цикла A = (P2 – P1) (V2 – V1) = P1V1 (α – 1) (β – 1) = = RT1(α – 1)( β – 1). P2/P1 = T2/T1 = α; V2/V1 = T3/T2 = β → T3/T1 = α β откуда T1 = Δ Т/ (α β - 1). Итак A = R Δ Т (α – 1) (β – 1)/ (α β - 1) = 83Дж.
Ответ: α = 3/2. Решение. Если температура газа увеличилась на Δ Т, то по первому началу термодинамики С Δ Т = CV Δ Т + PΔ V. Уравнение состояния газа запишется в виде PV = (k xα /S) xS = k xα +1 = RT. Отсюда k (α + 1) xα Δ x = R Δ Т, Δ V = SΔ x. Подставляя полученные соотношение в первое начало термодинамики, запишем С Δ Т = CV Δ Т + (k xα /S)S RΔ Т / [k(α + 1) xα ] или С = CV + R/(α + 1). Поскольку газ одноатомный, то CV = 3R/2 и для значения α получаем α = R/(C – CV) –1 = 3/2.
15. Моль идеального газа нагревается при постоянном давлении, а затем при постоянном объеме переводится в состояние с температурой, равной начальной То = 300К. Оказалось, что в итоге газу сообщено количество теплоты Q = 5кДж. Во сколько раз изменился объем, занимаемый газом? Ответ: n = Q/RTo + 1 ~ 3.
Решение.
P – V (см. рис.). Пусть конечный объем равен nVo. Тогда, т.к. 1 – 2 – изобара, температура в точке 2 равна nTo. Q12 = CP Δ Т; Q23 = - CV Δ Т; Q = Q12 + Q23 = (CP – CV) Δ Т = R (n –1) To. Итак, N = Q/RTo + 1 = 3. 16. В проточном калориметре исследуемый газ пропускают по трубопроводу с нагревателем. Газ поступает в калориметр при Т1 =293К. При мощности нагревателя N1 = 1кВт и расходе газа q1 = 540кг/ч температура Т2 газа за нагревателем оказалась такой же, как и при удвоенной мощности нагревателя и увеличении расхода газа до q2 = 720кг/ч. Найти температуру Т2 газа, если его молярная теплоемкость в этом процессе (Р = const) CР = 29.3Дж/(мольК), а молекулярная масса μ = 29 г/моль. Ответ: Т2 = 312.8К Решение.
N1 Δ t = Qпот + C (Δ М1/μ ) Δ T, N2 Δ t = Qпот + C (Δ М2/μ ) Δ T. Вычитая из второго уравнения первое, получим N2 - N1 = (C /μ ) (Δ М2/ Δ t - Δ М1/ Δ t) Δ T = (C /μ ) (q2 – q1) Δ T. Отсюда T2 = T1 + (μ /C) (N2 - N1)/ (q2 – q1) = 312.8 K 17. Паровая машина мощностью N = 14.7 кВт потребляет за t = 1ч работы m = 8.1 кг угля с удельной теплотой сгорания q = 3.3.107 Дж/кг. Температура котла to1 = 200oC, температура холодильника to2 = 58oC. Найти фактический КПД η ф этой машины. Определить, во сколько раз КПД η ид идеальной тепловой машины, работающей по циклу Карно при тех же температурах нагревателя и холодильника, превосходит КПД этой паровой машины. Ответ: η ф = 20%, η ид/η ф = 1.5. Решение. КПД реальной тепловой машины η ф определяется отношением работы, совершенной за время t, к количеству теплоты Q1, которое отдано нагревателем за это время:
η ф = А/ Q1. Работу, совершенную паровой машиной можно определить как A = Nt, где N – мощность машины. Паровая машина отдает количество теплоты Q1 = mq, где m – масса сгоревшего угля. Тогда η ф = Nt / mq. КПД идеальной тепловой машины, работающей по циклу Карно η ид = (Т1 – Т2)/Т1. Отсюда η ид/η ф = (Т1 – Т2)/(Т1 η ф). Подставляя численные значения, получим η ф = 20%, η ид/η ф = 1.5.
Ответ: η = 40%, η max = 75%. Решение. КПД реального теплового двигателя определяет формула η = (Q1 – Q2)/Q1, где Q1 – количество теплоты, переданной нагревателем рабочему веществу в процессе его изохорного нагревания, которому соответствует участок 1 – 2, Q2 – количество теплоты, переданной газом холодильнику в процессе его изохорного охлаждения, чему соответствует участок 3 – 4. При изохорных процессах работа А = 0, тогда согласно первому закону термодинамики Q1 = Δ U1 = (3/2) ν R Δ T1 и Q2 = Δ U2 = (3/2) ν R Δ T2, где в соответствии с уравнением Менделеева-Клайперона при изохорных процессах ν R Δ T1 = Δ Р1V1 и ν R Δ T2 = Δ Р2V2, поэтому Q1 = (3/2) Δ Р1V1 и Q2 = (3/2) Δ Р2V2. Здесь Δ U1 и Δ U2 – изменение внутренней энергии газа при изохорных процессах 1-2 и 3-4, R – молярная газовая постоянная, Δ Т1 и Δ Т2 – изменения температур газа в процессах изохорного нагревания и охлаждения, Δ Р1 и Δ Р2 – изменения давления газа в этих процессах, V1 - объем газа в процессе 1-2, V2 - объем газа в процессе 3-4. После этого для КПД реального теплового двигателя получим η = (Δ Р1V1 - Δ Р2V2)/ Δ Р1V1. Максимальный КПД идеального теплового двигателя определяется формулой η max = (Т1 – Т2)/Т1, где Т1 – абсолютная температура нагревателя, Т2 – абсолютная температура холодильника. Если в состоянии 2 газ находится в тепловом равновесии с нагревателем, то его температура в этом состоянии равна температуре нагревателя Т1. Аналогично, если в состоянии 4 газ оказался в тепловом равновесии с холодильником, то его температура в этом состоянии равна температуре холодильника Т2, т.е. в состоянии 4 температура газа стала равна Т2. Для нахождения температур Т1 и Т2 воспользуемся уравнением Менделеева-Клайперона, применив его к состояниям газа 2 и 4: P2V1 = ν RT1 и P4V2 = ν RT2. Отсюда Т1 = P2V1/(ν R) и Т2 = P4V2/(ν R). После этого для КПД идеального двигателя получим η max = (P2V1 - P4V2)/ (P2V1) = 0.75.
Ответ: T = Q/c + To при Q ≤ Qкр; T = Tкр + (Q - Qкр)/{c + ½ R [1 + (To/Tкр)]} Решение. Пока поршень покоится, вся теплота идет на нагрев газа: Δ U = c(T – To) = Q, → T = Q/c + To при T ≤ Tкр. Найдем, используя условие равновесия и закон Шарля, критическую температуру Ткр, при превышении которой поршень начнет двигаться: (Pкр – Ро)S = f, Pкр /Ткр = Po/To. Отсюда Ткр = [1 + f/(PoS)]То, Qкр = cTof/(PoS). Запишем первое начало термодинамики: Q - Qкр + ½ Aтр = с (T - Ткр) + Pкр(V – Vo), где ½ Aтр = ½ f (V – Vo) S = ½ (Pкр + Po) (V – Vo). Таким образом, Q - Qкр = с (T - Ткр) + ½ (Pкр + Po) (V – VO). Так как PкрV = RT, PoV = RTкр, то ½ (Pкр + Po) (V – Vo) = ½ R (1 + (To/Tкр)] (T - Ткр). Окончательно Q - Qкр = (T - Ткр) + {c + ½ R [1 + (To/Tкр)]} при T > Tкр. T = Tкр + (Q - Qкр)/{c + ½ R [1 + (To/Tкр)]}.
Ткр = [1 + f/(PoS)]То, Qкр = cTof/(PoS).
(МФТИ, 86-88) Ответ: А12 = 3/2R(T1 – T2) = 625Дж.
Решение. Согласно первому началу термодинамики для процесса 1→ 2 имеем А12 = - Δ u12 = сv(Т1 – Т2) – первое начало применимо всегда, и для неквазистационарных процессов, как здесь, процессов тоже. В процессе 2→ 3 Δ u23 = 0, т.е. Q23 = A23 = ½ (P2 + P3)(V3 – V2) = ½ P2V2(1 + P3/P2)(V3/V2 – 1). Поскольку Т2 = Т3, то P3/P2 = V2/V3 = V2/V1 = k. Тогда Q23 = ½ RT2(1 + k)(1/k – 1) = ½ RT2 (1 + k )(1 - k)/k. Q31 = (3/2 )R(T1 – T2). Q = Q12 + Q31 = ½ RT2 (1 + k )(1 - k)/k + (3/2 )R(T1 – T2). Отсюда Т2 = (9/17)T1 – (6/17) Q /R ≈ 50 K. Итак, А12 = (3/2)R(T1 – T2) = 625 Дж.
Ответ: А = 20кДж. Решение. Процессы (1→ 2) и (3 → 4) – изохоры, т.к. Р =const .T, что в соответствии с уравнением Клапейрона-Менделеева означает: (ν R/V) = const, и, следовательно, V = const. Таким образом, работа в процессах (1→ 2) и (3 → 4) равна нулю, а V1 = V2 и V3 = V4. Работа газа за цикл складывается из суммы работ на участках (2→ 3) и (4 → 1) А = А23 + А41 = Р2(V3 – V2) + P1(V1 – V4) = (P2 – P1)(V1 – V4). Принимая во внимание, что Р2/P1 = T2/T1 и V4/V1 = T4/T1, получим А = P1(Р2/P1 – 1)V1 (V4/V1 – 1) = P1 V1(T2/T1 – 1)(T4/T1 – 1) = = ν RT1(T2/T1 – 1)(T4/T1 – 1) = 20кДж.
Ответ: A = ½ R(T2 – T1)(1 – (T1/T2)1/2 ). Решение
Работа за цикл равна A = A12 + A31. A12 = ½ (P1 + P2)( V2– V1) = ½ R(T2 – T1). A31 = - ½ (P1 + P3)(V2 - V1) = ½ P1 V1(1 + P3/P1)( V2/V1 – 1). На прямой 1 → 2: V2/V1 = P2/P1 = (T2/T1)1/2. На прямой 3 → 1: P3/P1 = V1/V3 = V1/V2 = (T1/T2)1/2 . (V3 = V2) Отсюда A31 = - ½ RT1[1 + (T1/T2)1/2][(T2/T1)1/2 - 1] = - ½ R(T2 – T1)(T1/T2)1/2 . Окончательно получаем A = ½ R(T2 – T1)(1 – (T1/T2)1/2 ). 23. Найти изменение внутренней энергии моля идеального газа при расширении по закону Р = α V (α = const) от объема V1 = V до V2 = 2V. Начальная температура газа 0оС, Cμ v = 21Дж/(мольК). Ответ: Δ u = 3 Cμ vT1 = 17.2кДж. Решение. Так как внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры, необходимо определить закон изменения температуры газа от изменения его объема. Подставляя в уравнение состояния PV = RT (для одного моля) зависимость давления от объема Р = α V, получим T = α V2/R. Изменение внутренней энергии одного моля газа равно Δ U = Cμ V Δ T = (α /R)(V22 – V12) Cμ V = (α /R)3V2 Cμ V = 3Cμ VT1 = 17.2 кДж.
24. Определить, какая часть энергии, затраченной на образование водяного пара, идет на увеличение внутренней энергии вещества, если удельная теплота парообразования воды L = 2.3 МДж/кг. Ответ: α ≈ 0.9. Решение. Согласно первому закону термодинамики теплота, необходимая для испарения единичной массы воды равна L = Δ U + A, где L – удельная теплота парообразования воды, Δ U – изменение внутренней энергии, А – работа пара по расширению при постоянном давлении: A = Pнас(VП – VB), где VП – объем пара, VB – объем воды. Так как VП > > VB A ≈ PнасVП = mRT/μ ≈ 170 кДж Тогда α = (L – A)/L = 1 – A/L ≈ 0.9. Это означает, что при испарении воды около 90% подводимого тепла расходуется на преодоление молекулами пара сил межмолекулярного взаимодействия и около 10% на совершение паром работы по расширению.
25. Два одинаковых калориметра заполнены до высоты h = 25 см, первый – льдом, второй – водой при температуре t = 10oC. Воду выливают на лед. После установления теплового равновесия уровень повысился еще на Δ h = 0.5 см. Определить начальную температуру льда. Плотность льда ρ Л = 0.9ρ В = 9 г/см3, удельная теплота плавления льда λ = 340 Дж/г, теплоемкость льда CЛ = 0.5СВ = 2.1 Дж/(г.К). Ответ: tx = -54oC. Решение
Так как уровень повысился, значит, часть воды замерзла. Обозначим новый уровень льда h1, тогда, т.к. общая масса не изменилась hρ Л + hρ В = h1ρ Л + (2h + Δ h – h1)ρ В, откуда получаем h1 = h + Δ h ρ В/(ρ В - ρ Л). Масса льда увеличилась на величину Δ m = ρ ЛS(h1 – h) = SΔ h ρ Вρ Л/(ρ В - ρ Л). Из условия ясно, что вода замерзла не вся, иначе увеличение уровня было бы равно 0.1h = 2.5 см. Следовательно, образовалась двухфазная система вода-лед, а ее температура при нормальном давлении равна 0оС. Запишем уравнение теплового баланса: СВmВ(t1 – to) + Δ mλ = CЛmЛ(to – tx), откуда находим: tx = -[ρ Вρ Л/(ρ В - ρ Л)](Δ h/h)( λ /СЛ) - (ρ В/ρ Л)(CВ/СЛ)t1 = -54oC. 26. Закрытый с торцов теплоизолированный цилиндрический сосуд перегорожен подвижным поршнем массы М. С обеих сторон от поршня находится по одному молю идеального газа, внутренняя энергия которого U = cT. Масса сосуда с газом равна m. Коротким ударом сосуду сообщают скорость v, направленную вдоль его оси. На сколько изменится температура газа после затухания колебаний поршня? Трением между поршнем и стенками сосуда, а также теплоемкостью поршня пренебречь. (Меледин, 2.55) Ответ: Δ T = ½ mv2[M/(2c(M +m)].
Решение
По закону сохранения импульса mv = (M + m)u. разность кинетических энергий в начале движения поршня и в конце, когда колебания затухнут, равна энергии, перешедшей в теплоту: ½ mv2 – ½ (M + m)u2 = Δ Q = 2cΔ T; отсюда Δ T = ½ mv2[M/(2c(M +m)].
27. В двух одинаковых колбах, соединенных трубкой, перекрытой краном, находится воздух при одинаковой температуре Т и разных давлениях. После того как кран открыли. Часть воздуха перешла из одной колбы в другую. Через некоторое время давления в колбах сравнялись, движение газа прекратилось, и температура в одной из колб стала равной Т1/. Какой будет температура в другой колбе в этот момент? Внутренняя энергия одного моля воздуха U = cT. Объемом соединительной трубки пренебречь. Теплообмен со стенками не учитывать. (Меледин, 2.58) Ответ T2/ = T/[2 – (T/T1/)]. Решение
Обозначим через ν 1, 2 число молей в первой и второй колбах. Уравнения газового состояния для начального и конечного состояний в обеих колбах дает P1V = ν 1RT, P2V = ν 2RT, P1/V = ν 1/ RT1/, P2/V = ν 2/ RT2/. По закону сохранения энергии с(ν 1 +ν 2)T = c(ν 1/ T1/ + ν 2/ T2/); отсюда P1 + P2 = 2P, Так как количество газа не изменяется, то ν 1 +ν 2 = ν 1/ + ν 2/; тогда 2/T = 1/T1/ + 1/T2/. Окончательно T2/ = T/[2 – (T/T1/)]. 28. В вертикальном цилиндрическом сосуде, площадь сечения которого равна S, под поршнем массы m находится газ, разделенный перегородкой на два одинаковых объема. Давление газа в нижней части сосуда равно Р, внешнее давление равно Ро, температура газа в обеих частях сосуда равна Т. На сколько сместится поршень, если убрать перегородку? Внутренняя энергия одного моля газа U = cT. Высота каждой части сосуда равна h. Стенки сосуда и поршень не проводят тепла. Трением пренебречь. (Меледин, 2.59) Ответ: x = h[c/(c + R)][(P + Pо + mg/S)/(Pо + mg/S)]. Решение
Число молей газа в нижней и верхней частях сосуда ν 1 = PhS/(RT), ν 2 = (Pо + mg/S)hS/(RT). После того, как убрали перегородку, давление во всем сосуде стало равно P = Pо + mg/S. Тогда, используя уравнение газового состояния для конечного состояния, получаем (Pо + mg/S)(2h – x)S = (ν 1 + ν 2)RT2 = (P + Pо + mg/S)hS(T2/T). Поскольку газ в цилиндре теплоизолирован: Δ Q = Δ U + A = 0, или P Δ V = (Pо + mg/S)Sx = c((ν 1 + ν 2)R(T2 – T) = (c/R)hS(P + Pо + mg/S)[(T2/T) – 1]. Из этих уравнений получаем x = h[c/(c + R)][(P + Pо + mg/S)/(Pо + mg/S)]. 29. В чайник со свистком налили воду массой 1 кг с температурой 20оС и поставили на электроплитку мощностью 900 Вт. Через 7 минут раздался свисток. Сколько воды останется в чайнике после кипения в течение 2-х минут? Каков КПД электроплитки? Ответ: mв = 960 г, η = 0.89. Решение
По определению КПД равен η = QПОЛ/QЗАТР = Сm(Т100 - Т20)/Pτ 1 = 0.89, где Т100 = 373 К, Т20 = 293 К, Р = 900 Вт, τ 1 = 420 с, m1 = 1 кг, С = 4.2 кДж/(кг.К). Полученное значение КПД в интервале температур 20 – 100оС в большей степени характеризует КПД плитки в близи температуры кипения, т.к. потери тепла за счет рассеяния в окружающую среду максимальны при наибольшей разнице температур среды и нагревательного элемента. Поэтому полученное значение может быть использовано и для расчетов процесса кипения. Запишем уравнение теплового баланса для процесса кипения воды η Pτ 2 = λ m2, где τ 2 = 120 с, m2 – масса выкипевшей воды, λ = 2.3 МДж/кг. Отсюда m2 = η Pτ 2/λ ≈ 42 г, тогда масса оставшейся в чайнике воды равна mB ≈ 0.96 кг.
30. В калориметре находится 1 кг льда при температуре Т1 = -40оС. В калориметр пускают 1 кг пара при температуре Т2 = 120оС. Определить установившуюся температуру и агрегатное состояние системы. Нагреванием калориметра пренебречь. Ответ: пар и вода, mП = 0.65 кг, mВ = 1.35 кг. Решение
Прежде чем составлять уравнение теплового баланса, оценим, какое количество теплоты могут отдать одни элементы системы, а какое количество теплоты могут получить другие. Тепло отдают
Тепло получают:
Оценим количество теплоты, отданное паром в процессах 1 и 2: Qотд = CПmП(Т2 - 100о) + LmП = (2.2.103.1.20 + 2.26.106) = 2.3.106 Дж. Количество теплоты, полученное льдом в процессах 1, 2: Qпол = CЛmЛ(0о – Т1) + λ mЛ = (2.1.103.1.40 + 3.3.105) = 4.14.105 Дж. Из расчетов ясно, что Qотд > Qпол. Растаявший лед затем нагревается. Определим, какое количество теплоты нужно дополнительно, чтобы вода, образовавшаяся изо льда, нагрелась до 100оС: Qпол = CВmЛ(100о – 0о) = 4.2.105 Дж. Следовательно. Суммарное количество теплоты, которое может получить лед в результате процессов 1-3, нагреваясь до 100оС, есть Qпол, сум = 8.34.105 Дж → Qпол, сум < Qотд. Из последнего соотношения следует, что не весь пар будет конденсироваться. Часть оставшегося пара можно найти из соотношения mост = (Qотд - Qпол, сум)/L = 0.65 кг. Окончательно, в калориметре будут находиться пар и вода при температуре 100оС, при этом mП = 0.65 кг, mВ = 1.35 кг.
31. Электрическим кипятильником мощностью W = 500 Вт нагревают воду в кастрюле. За две минуты температура воды увеличилась от 85оС до 90оС. Затем кипятильник выключили, и за одну минуту температура воды упала на один градус. Сколько воды находится в кастрюле? Удельная теплоемкость воды равна СВ = 4.2 кДж/(кг.К). Ответ: m ≈ 1.8 кг. Решение
При нагревании воды Wτ 1 = CBm(T2 – T1) + Q1, где τ 1 = 120 с – время нагрева, T2 = 90оС, T1 = 85оС, Q1 – потери тепла в окружающую среду Q1 = Wп τ 1, где Wп – мощность потерь тепла, зависящая от разности температур воды и окружающей среды. При остывании воды CBmΔ T = Wп τ 2, где Δ T = 1 К, τ 2 = 60 с – время охлаждения воды, мощность потерь в процессах нагрева охлаж Популярное:
|
Последнее изменение этой страницы: 2017-03-08; Просмотров: 4363; Нарушение авторского права страницы
4. КПД тепловой машины, работающей по циклу (см. рис.), состоящему из изотермы 1-2, изохоры 2-3 и адиабатического процесса 3-1, равен h, а разность максимальной и минимальной температур газа в цикле равна Δ Т. Найти работу, совершенную n молями одноатомного идеального газа в изотермическом процессе. 
10. Найти КПД тепловой машины, работающей с ν молями одноатомного идеального газа по циклу, состоящему из адиабатического расширения 1-2, изотермического сжатия 2-3 и изохорического процесса 3-1 (см. рис.). Работа, совершенная над газом в изотермическом процессе, равна А. Разность максимальной и минимальной температур газа равна Δ Т. 
11. Над идеальным газом постоянной массы проводится циклический процесс, состоящий из двух изобар и двух изохор, как показано на рисунке. Заданы значения давлений Р1 и Р2 и температуры Т2. При каком соотношении температур Т2 и Т4 полная работа за цикл больше: в случае Т4 > Т2 или Т4 < Т2? (МГУ, 1999) 
Нарисуем график процесса в координатах Р, V. Из уравнения состояния идеального газа
Нарисуем цикл в координатах Р, V (см. рис.); 
14. Моль идеального газа находится в цилиндрическом сосуде под подвижным поршнем, прикрепленным с помощью пружины к сосуду (см. рис.). Сила упругости F, возникающая в пружине, зависит от удлинения ее х по закону F = kxα , где k и α - некоторые постоянные. Определить α, если известно, что молярная теплоемкость газа под поршнем с = 1.9R. Внешним давлением, длиной пружины в ненапряженном состоянии и трением поршня о стенки сосуда можно пренебречь. ( МФТИ, до91г) 
Нарисуем график процесса в координатах
За интервал времени Δ t нагреватель выделяет количество энергии N Δ t, которая частично отдается газу массой Δ М, походящему за это время через спираль нагревателя и, частично в количестве Qпот теряется вследствие теплопроводности и излучения стенок трубы и торцев устройства. Уравнение теплового баланса для двух условий опыта имеют вид (cчитая мощность потерь одинаковой)
18. С ν = 5 моль идеального одноатомного газа осуществляют круговой цикл, состоящий из двух изохор и двух адиабат (см. рис.). Определить КПД η теплового двигателя, работающего в соответствии с данным циклом. Определить максимальный КПД η max, соответствующий этому циклу. В состоянии 2 газ находится в тепловом равновесии с нагревателем, а в состоянии 4 - с холодильником. Известно, что Р1 = 200 кПа, Р2 = 1200 кПа, Р3 = 300 кПа, Р4 = 100 кПа, V1 = V2 = 2 м3, V3 = V4 = 6 м3. 
19. В горизонтальном неподвижном цилиндрическом сосуде, закрытом поршнем, площадь сечения которого равна S, находится один моль газа при температуре То и давлении Ро (см. рис.). Внешнее давление постоянно и равно Ро. Газ нагревают внешним источником теплоты. Поршень начинает двигаться, причем сила трения скольжения равна f. Найти зависимость температуры газа Т от получаемого им от внешнего источника количества теплоты, если в газ поступает еще и половина количества теплоты, выделяющегося при трении поршня о стенки сосуда. Построить график этой зависимости. Внутренняя энергия одного моля газа U = cT. Теплоемкостью сосуда и поршня пренебречь. (Меледин, 2.65) 
График зависимости T от Q оказался ломаной линией (см. рис.) состоящей из двух отрезков прямой. Точка излома
20. Моль одноатомного идеального газа из начального состояния 1 с температурой Т1 = 100К, расширяясь через турбину в пустой сосуд, совершает некоторую работу и переходит в состояние 2 (см. рис.). Этот переход происходит адиабатически, без теплообмена. Затем газ квазистатически сжимают в процессе 2-3, в котором давление является линейной функцией объема и, наконец, в изохорическом процессе 3-1 газ возвращается в исходное состояние. Найти работу, совершенную газом при расширении через турбину в процессе 1-2, если в процессах 2-3-1 к газу в итоге подведено Q = 72Дж тепла. Известно, что Т2 = Т3, V2 = 3V1. 
21. Параметры идеального одноатомного газа, взятого в количестве ν = 3моль, изменились по циклу, изображенному на рисунке. Температуры газа равны 
22. Найти работу, совершаемую молем идеального газа в цикле, состоящем из двух участков линейной зависимости давления от объема и изохоры (см. рис.). Точки 1 и 2 лежат на прямой, проходящей через начало координат. Температуры в точках 1 и 3 равны. Считать известными температуры Т1 и Т2 в точках 1 и 2. (МФТИ, до91г)