Если водитель трамвая на полном ходу выключит напряжение на входных клеммах мотора и соединит их накоротко, то вагон быстро остановится. Чем это объясняется?

При выключении внешнего напряжения мотор с быстровращающимся якорем превращается в динамо-машину. Динамо-машина с короткозамкнутыми клеммами создает сильный ток, который по правилу Ленца направлен так, что, взаимодействуя с магнитным полем машины, он тормозит вращение якоря и останавливает вагон. Однако этот метод торможения трамвая или электропоезда применять при очень большой скорости нельзя, ток как ток короткого замыкания при быстром вращении якоря может оказаться настолько сильным, сто обмотки мотора сгорят. Поэтому практически клеммы мотора замыкают не накоротко, а через переменное сопротивление, которое подбирается ток, чтобы при этом не возникала опасность перегорания обмоток мотора.

 

ВОПРОС. Имеется две катушки, расположенные коаксиально. В одной из катушек сила тока, создаваемого внешним источником, изменяется во времени так, как показано на рисунке. Вторая катушка замкнута накоротко. Изобразить на графике зависимость силы тока J₂ во второй катушке от времени. Считать, что время установления тока J₂ t < < τ.

 

ОТВЕТ. Индукция В магнитного поля, создаваемого первой катушкой, согласно закону Био-Савара пропорциональна силе тока J₁ в ней, тогда как ЭДС индукции ε _инд во второй катушке пропорциональна скорости изменения магнитного потока Ф и, следовательно, скорости изменения силы тока J₁ в первой катушке, так как Ф ~ В ~ J₁:

ε _инд = - dФ/dt ~ dB/dt ~ dJ₁/dt.

По закону Ома сила J₂ индукционного тока во второй катушке:

J₂ = ε _инд /R ~ (1/R)dJ₁/dt,

где R – сопротивление обмотки второй катушки. Поэтому сила тока J₂ в течение первых τ секунд постоянна, в течение вторых τ секунд равна нулю и в течение остальных τ секунд постоянна, но ток течет в другом направлении (см. рис.).

 

 

1. По горизонтальным параллельным рельсам, расстояние между которыми равно L, может скользить без трения перемычка, масса которой m. Рельсы соединены резистором сопротивлением R и помещены в вертикальное магнитное поле, индукция которого В. Перемычке сообщают скорость v_o. Найти путь S, пройденный перемычкой до остановки.

Ответ: S = (mv_oR) / (B²d²).

Решение.

При движении перемычки в ней возникает ЭДС индукции и, поскольку контур замкнут, в нем потечет индукционный ток. В соответствии с правилом Ленца он направлен так, как показано на рисунке. На перемычку будет действовать сила Ампера F_A, и скорость перемычки будет уменьшаться. Пусть v(t) – мгновенная скорость перемычки, тогда ЭДС индукции и ток будут равны

ε = Δ Ф/Δ t = BLΔ x/Δ t = BLv(t);

I = ε /R = BLv(t)/R.

Сила Ампера также будет зависеть от времени

F_A = - BL I(t) = -B² L² v(t)/R = - (B² L² /R)dx/dt.

По второму закону Ньютона в любой момент времени

dр = mdv = Fdt.

Проинтегрируем это равенство

m∫ dv =- (B² L² /R) ∫ (dx/dt)dt = - (B² L² /R) ∫ dx = - (B² L² /R)(x_k – 0) = - (B² L² /R)S.

m∫ dv = m(0 – v_o).

Отсюда получаем

S = mv_oR/((B² L²)

 

2. Проволочное кольцо радиуса r находится в однородном магнитном поле, индукция которого перпендикулярна плоскости кольца и меняется с течением времени по закону В = kt. Определить напряженность электрического поля внутри кольца.

Ответ: E = ½ kr.

Решение.

Согласно закону Фарадея,

ε = Δ Ф/Δ t = kS.

ЭДС индукции численно равна работе, совершаемой электрическим полем при перемещении единичного положительного заряда вдоль кольца, т.е.

ε = 2π rE.

Отсюда

E = ε /(2π r) = kπ r²/(2π r) = ½ kr.

Надо отметить, что электрическое поле создается не электрическими зарядами, а меняющимся во времени магнитным полем. Работа при перемещении электрического заряда по замкнутому контуру в случае электростатического поля всегда равна нулю. Под электростатическим полем понимается поле, создаваемое электростатическими зарядами.

3.Груз массой m подвешен на нити, намотанной на ось якоря динамо-машины с постоянным магнитом. Нить сматывается с оси так, что груз опускается с постоянной скоростью v. Динамо-машина при этом замкнута на сопротивление R. С какой скоростью будет подниматься вверх тот же груз, если динамо-машину включить как электромотор в цепь постоянного тока с ЭДС, равной ε, и с тем же сопротивлением цепи R?

Ответ: v₁ = v [ε –(mgvR)^1/2]/(mgvR)^1/2.

Решение.

Груз, опускаясь со скоростью v, заставляет вращаться якорь динамо-машины. Витки обмотки якоря при своем вращении пересекают силовые линии магнитного поля, создаваемого статором, и в обмотке якоря возникает ЭДС индукции ε _инд. Цепь якоря замкнута на сопротивление R, следовательно, ток в цепи равен

I = ε _инд/R.

По закону сохранения энергии мощность, развиваемая динамо-машиной, равняется ежесекундной убыли энергии опускающегося груза:

ε _инд² /R = mgv,

откуда

ε _инд = (mgvR)^1/2.

Если динамо-машина будет работать как электромотор, то ЭДС индукции, возникающая в обмотке мотора, в том случае, когда груз поднимается со скорость v₁, будет равна

ε _инд^/ = ε _инд(v₁/v),

т.к. ЭДС индукции пропорциональна скорости вращения якоря. Для мотора имеем

ε - ε _инд^/ = I₁R

и

ε I₁ = I₁²R + mgv₁,

где ε – ЭДС внешнего источника, I₁ – ток в цепи якоря электромотора. Решая полученную систему уравнений, получим

v₁ = v [ε –(mgvR)^1/2]/(mgvR)^1/2.

4. В ускорителе по окружности радиуса r в магнитном поле, перпендикулярном плоскости траектории, движется тонкий пучок протонов. Найти силу тока пучка после того, как частицы сделали один оборот. Сила тока пучка в начальный момент времени равна I_o, полное число протонов в камере равно n. Поток индукции магнитного поля через орбиту протонного пучка изменяется с постоянной скоростью (Δ Ф/Δ t = ε ) так, что протоны ускоряются. Масса и заряд протонов равны m и e, их скорость остается далекой от скорости света. (Меледин, 3.112^*)

Ответ: I = [I_o² + n²e³ε /(2π ²mR²)]^1/2.

Решение.

Запишем работу вихревого электрического поля, вызвавшего изменение кинетической энергии протона:

eε _инд = e(Δ Ф/Δ t) = ½ mv² - ½ mv_o².

Ток в пучке протонов

I = nev/(2π R),

I_o = nev_o/(2π R).

Откуда I = [I_o² + n²e³ε /(2π ²mR²)]^1/2.

5. Непроводящее кольцо массы m и радиуса R, имеющее равномерно распределенный небольшой заряд q, может свободно вращаться вокруг своей оси. Кольцо помещено в перпендикулярное плоскости кольца магнитное поле, индукция которого в центральной области кольца радиуса r < R равна 2В, а в остальном пространстве внутри кольца равна В. Магнитное поле начинает равномерно уменьшаться до нуля. Какую скорость приобретет кольцо после исчезновения магнитного поля, если в начальный момент оно покоилось. (Меледин, 3.113)

Ответ: v = qB(r² + R²)/(2mR).

Решение.

При изменении магнитного поля возникает электрическое поле, раскручивающее кольцо. Магнитный поток

Ф = π В(r² + R²).

ЭДС индукции

ε _инд = Δ Ф/Δ t = π (r² + R²)Δ B/Δ t = E 2π R.

Сила, действующая на выделенный на кольце заряд Δ q,

Тангенциальное (направленное по касательной к траектории) ускорение

a_t = qE/m = const,

v = a_tΔ t,

Δ B = B,

так как магнитное поле уменьшается до нуля.

Окончательно

v = qB(r² + R²)/(2mR).

6. Проволочное кольцо радиуса R имеет проводящую перемычку, расположенную вдоль диаметра (см. рис.). В левую и правую полуокружности включены конденсаторы емкостями С₁ и С₂. Кольцо помещено в нарастающее линейно со временем магнитное поле с индукцией B(t) = B_ot/T, перпендикулярное его плоскости. В некоторый момент времени перемычку убирают и затем прекращают изменять магнитное поле. Найти установившиеся заряды на конденсаторах. (Меледин, 3.114)

Ответ: q₁^/ = ½ π R²B_oC₁(C₁ - C₂₎/[T(C₁ + C₂₎], q₂^/ = ½ π R²B_oC₂(C₁ - C₂₎/[T(C₁ + C₂₎].

Решение.

До удаления перемычки по закону Фарадея имеем

ε ₁ = q₁/C₁ = Δ Ф₁/Δ t = ½ π R²B_o/T,

ε ₂ = q₂/C₂ = Δ Ф₂/Δ t = - ½ π R²B_o/T.

Отсюда

q₁ = ½ π R²B_oC₁/T,

q₂ = - ½ π R²B_oC₂/T.

После удаления перемычки из закона сохранения заряда имеем

q₁^/ + q₂^/ = q₁ + q₂ = ½ π R²B_o (C₁ - C₂ )/T.

Из равенства потенциалов на обкладках конденсаторов

q₁^//C₁ = q₂^//C₂

получаем

q₁^/ = ½ π R²B_oC₁(C₁ - C₂ )/[T(C₁ + C₂ )],

q₂^/ = ½ π R²B_oC₂(C₁ - C₂ )/[T(C₁ + C₂ )].

 

Заряженный конденсатор емкости С замкнут на катушку индуктивности L. Найти такую зависимость от времени емкости конденсатора, при которой ток в цепи нарастает прямо пропорционально времени. (Меледин, 3.127)

Ответ: C(t) = C_o[1 – t²/(2LC_o)].

Решение.

По закону Фарадея напряжение на катушке

U_L = Δ Ф/Δ t = L Δ I/Δ t.

Так как ток в цепи растет пропорционально времени, U_L со временем не изменяется и в любой момент времени

U_L = LI/t.

Следовательно, и напряжение на конденсаторе, равное напряжению на катушке, тоже остается постоянным:

U_C = q_o/C_o = (q_o – q)/C,

где q_o – начальный заряд на конденсаторе, q – заряд ушедший с обкладок конденсатора за время t, С – емкость конденсатора в момент t. Из равенства

LI/t = q_o/C_o

находим ток:

I = q_ot/(LC_o).

Тогда ушедший с конденсатора заряд

q = I_срt = ½ It = q_ot²/(2LC_o).

Из условия постоянства напряжения на конденсаторе найдем емкость

C(t) = C_o(q_o – q)/q_o = C_o[1 – t²/(2LC_o)].

Ответ справедлив при условии, что q < q_o, т.е. при условии, что t²/(2LC_o) < 1.

 

8. Ток в короткозамкнутом сверхпроводящем соленоиде изменяется вследствие несовершенства контакта. Создаваемое этим током магнитное поле уменьшается на 2% в час. Определить сопротивление контакта R, если индуктивность соленоида L = 1 Гн. (Козел, 3.184)

Ответ: R = 5.6^.10^-6 Ом.

Решение.

Запишем закон Ома для цепи соленоида:

-LΔ I/Δ t = IR,

где I – ток в соленоиде. Так как индукция магнитного поля в соленоиде пропорциональна току, то и изменение этих величин за одно и то же время оказываются пропорциональными:

B = α I,

Δ B = α Δ I,

Δ B/B = Δ I/I.

Поэтому

R = - LΔ I/(IΔ t) = - LΔ B/(BΔ t) = 5.6^.10^-6 Ом.

При подстановке численных значений было принято во внимание, что относительное изменение магнитного поля за время Δ t = 3600 с Δ B/B = - 0.002. Знак минус указывает на уменьшение индукции поля.

9. Катушка сопротивлением R = 40 Ом и индуктивностью
L = 0.01Гн замкнута накоротко и находится во внешнем постоянном магнитном поле (см. рис.). Начиная с определенного момента внешнее поле, начинает меняться и за некоторое время магнитный поток внешнего поля через катушку возрос на 0.002Вб, а ток достиг значения 0.08А. Какой заряд прошел за это время по катушке?

Ответ: q = -3^.10^-5Кл.

 

Решение

 

Изменяющееся внешнее поле вызывает в катушке ЭДС индукции, в результате чего возникает меняющийся со временем ток, являющейся причиной появления ЭДС самоиндукции. Свяжем направление нормали к витку катушки и положительное направление обхода витка правилом буравчика. Этим будет задаваться связь знаками магнитного потока, тока и обеих ЭДС в контуре. Разобьем все время опыта на достаточно малые интервалы Δ t_i. Пусть за достаточно малое время Δ t_i магнитный поток от внешнего поля изменился на величину Δ Ф_i, а ток изменился на величину Δ J_i. Тогда по закону Ома для замкнутой цепи

-(Δ Ф_i /Δ t_i) – L(Δ J_i /Δ t_i) = J_iR. (1)

Здесь J_i- среднее значение тока в катушке в течение времени Δ t_i. Умножим обе части равенства (1) на Δ t_i, и, учтя, что (Δ J_iΔ t_i) есть протекший через катушку заряд Δ q_i за время Δ t_i, получим

-Δ Ф_i – LΔ J_i = Δ q_i R. (2)

Сложив равенства (2) для всех Δ t_i, получим

-∑ Δ Ф_i – L∑ Δ J_i = R∑ Δ q_i . (3)

 

поскольку ∑ Δ q_i = q – прошедший через катушку за время опыта заряд, ∑ Δ Ф_i = Δ Ф – полное изменение потока внешнего поля через катушку, а ∑ Δ J_i = Δ J - полное изменение тока в катушке за время опыта, то имеем:

-Δ Ф – LΔ J = Rq. (4)

Так как ток в момент начала изменения внешнего поля равен нулю, то Δ J = J_кон – 0 = J_кон. Здесь J_кон – значение тока в конце опыта. Итак,

q = - (Δ Ф – LJ_кон)/R. (5)

Если направление нормали к витку выбрать таким, чтобы было Δ Ф положительным, т.е. равным 0.002 Вб, то значение J_кон надо взять отрицательным, т.е. равным –0.08 А. Это следует из правила Ленца: знак индукционного тока должен быть противоположен знаку изменения магнитного потока, вызвавшего этот ток. Таким образом, Δ Ф = 0.002 Вб,
J_кон = – 0.08 А, а q = - 3^.10^-5 Кл. Знак минус у заряда означает, что он прошел в отрицательном направлении обхода витка катушки.

10. В однородном магнитном поле с индукцией В с постоянной скоростью v движется металлический шарик радиусом r. Укажите точки шарика, разность потенциалов между которыми максимальна и определите эту разность потенциалов. Направление скорости составляет с направлением магнитной индукции угол α.

Ответ: Δ φ = 2rvBsinα.

Решение.

На свободные электроны металлического шарика при его движении в магнитном поле действует сила Лоренца. В результате перераспределения электронов в шарике образуется электрополе. Перераспределение закончится, когда сила Лоренца и сила, действующая на электроны со стороны образованного электрического поля, уравновесятся

F_Л = F_Эл, или

Ee = eBvsinα.

Отсюда

E = Bvsinα.

⇐ Предыдущая13141516171819202122Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. A. Очень рыхлая порода — высокая скорость проходки и быстрое замывание ствола
2. B. это наиболее суровая мера юридической ответственности
3. D. межгрупповая дискриминация – возможно это неверный ответ
4. I. Если глагол в главном предложении имеет форму настоящего или будущего времени, то в придаточном предложении может употребляться любое время, которое требуется по смыслу.
5. I. ПОЧЕМУ СИСТЕМА МАКАРЕНКО НЕ РЕАЛИЗУЕТСЯ
6. II. Место и сроки проведения Чемпионата.
7. II. Сроки и место проведения Чемпионата и первенства АО
8. IV. Каков процент ваших друзей в соцсети - это люди, с которыми вы никогда не общались в реальности?
9. V ежегодный междунароный чемпионат ПАИВТ и EWD
10. VI. СЕКСУАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ. ЦЕНТРЫ НАСЫЩЕНИЯ. ЧТО ЖЕ ЭТО ТАКОЕ, «СЕКСУАЛЬНАЯ РЕВОЛЮЦИЯ»
11. VIII. Какую массу бихромата калия надо взять для приготовления 2 л 0,02 н. раствора, если он предназначен для изучения окислительных свойств этого вещества в кислой среде.
12. XIV. Общее собрание членов Товарищества (собрание уполномоченных).