Вероятностно-статистические методы исследования и метод системного анализа

3.5.1. Вероятностно-статистический метод исследования.

Во многих случаях необходимо исследовать не только детерминированные, но и случайные вероятностные (статистические) процессы. Эти процессы рассматриваются на базе теории вероятностей.

Совокупность случайной величины х составляет первичный математический материал. Под совокупностью понимают множество однородных событий. Совокупность, содержащую самые различные варианты массового явления, называют генеральной совокупностью, или большой выборкой N. Обычно изучают лишь часть генеральной совокупности, называемой выборной совокупностью или малой выборкой.

Вероятностью Р (х) события х называют отношение числа случаев N(x), которые приводят к наступлению события х, к общему числу возможных случаев N:

P(x)=N(x)/N.

Теория вероятностей рассматривает теоретические распределения случайных величин и их характеристики.

Математическая статистика занимается способами обработки и анализа эмпирических событий.

Эти две родственные науки составляют единую математическую теорию массовых случайных процессов, широко применяемую для анализа научных исследований.

Очень часто применяют методы вероятностей и математической статистики в теории надежности, живучести и безопасности, которая широко используется в различных отраслях науки и техники.

3.5.2. Метод статистического моделирования или статистических испытаний (метод Монте-Карло).

Этот метод представляет собой численный метод решения сложных задач и основан на использовании случайных чисел, моделирующих вероятностные процессы. Результаты решения этим методом позволяют установить эмпирически зависимости исследуемых процессов.

Решение задач методом Монте-Карло эффективно лишь с использованием быстродействующих ЭВМ. Для решения задач методом Монте-Карло необходимо иметь статистический ряд, знать закон его распределения, среднее значение математическое ожидание т(х), среднеквадратичное отклонение.

С помощью этого метода можно получить сколь угодно заданную точность решения, т.е.

—> т(х)

3.5.3. Метод системного анализа.

Под системным анализом понимают совокупность приемов и методов для изучения сложных систем, представляющих собой сложную совокупность взаимодействующих между собой элементов. Взаимодействие элементов системы характеризуется прямыми и обратными связями.

Сущность системного анализа состоит в том, чтобы выявить эти связи и установить их влияние на поведение всей системы в целом. Наиболее полно и глубоко можно выполнить системный анализ методами кибернетики, которая представляет собой науку о сложных динамичных системах, способных воспринимать, хранить и перерабатывать информацию для целей оптимизации и управления.

Системный анализ складывается из четырех этапов.

Первый этап заключается в постановке задачи: определяют объект, цели и задачи исследования, а также критерии для изучения объекта и управления им.

Во время второго этапа определяют границы изучаемой системы и определяют ее структуру. Все объекты и процессы, имеющие отношение к поставленной цели, разбивают на два класса ~ собственно изучаемую систему и внешнюю среду. Различают замкнутые и открытые системы. При исследовании замкнутых систем влиянием внешней среды на их поведение пренебрегают. Затем выделяют отдельные составные части системы - ее элементы, устанавливают взаимодействие между ними и внешней средой.

Третий этап системного анализа заключается в составлении математической модели исследуемой системы. Вначале производят параметризацию системы, описывают основные элементы системы и элементарные воздействия на нее с помощью тех или иных параметров. При этом различают параметры, характеризующие непрерывные и дискретные, детерминированные и вероятностные процессы. В зависимости от особенностей процессов используют тот или ной математический аппарат.

В результате третьего этапа системного анализа формируются законченные математические модели системы, описанные на формальном, например алгоритмическом, языке.

На четвертом этапе анализируют полученную математическую модель, находят ее экстремальные условия в целях оптимизации процессов и управления системами и формулируют выводы. Оценку оптимизации производят по критерию оптимизации, принимающему в этом случае экстремальные значения (минимум, максимум, минимакс).

Обычно выбирают какой-либо один критерий, а для других устанавливают пороговые предельно-допустимые значения. Иногда применяют смешанные критерии, представляющие собой функцию от первичных параметров.

На основании выбранного критерия оптимизации составляют зависимость критерия оптимизации от параметров модели исследуемого объекта (процесса).

Известны различные математические методы оптимизации исследуемых моделей: методы линейного, нелинейного или динамического программирования; методы вероятностно-статистические, основанные на теории массового обслуживания; теория игр, которая рассматривает развитие процессов как случайные ситуации.

Вопросы для самоконтроля знаний

- Методология теоретических исследований.

- Основные разделы этапа теоретических разработок научного исследования.

- Типы моделей и виды моделирования объекта исследования.

- Аналитические методы исследования.

- Аналитические методы исследования с использованием эксперимента.

- Вероятностно-аналитический метод исследования.

- Методы статического моделирования (метод Монте-Карло).

- Метод системного анализа.

⇐ Предыдущая 1 2 3 456 7 8 9 10 Следующая ⇒