Тема 6. ВЫБОРОЧНОЕ НАБЛЮДЕНИЕ

Понятие о выборочном наблюдении. Ошибки выборки.

Как известно, выборочное наблюдение является одним из видов несплошного наблюдения. При выборочном методе обобщающие характеристики исследуемой совокупности устанавливаются после изучения части этой совокупности, которая получила название выборка.

Преимущества выборочного наблюдения:

✓ уменьшается количество обследуемых единиц;

✓ уменьшается время на проведение обследования;

✓ происходит минимизация появления ошибок, как за счет лучшей подготовки обследования, так и за счет уменьшения объема работ;

✓ появляется возможность расширить программу обследования.

В ряде случаев проведение сплошного обследования невозможно, так как, например, при изучении качества продукции достаточно часто образцы уничтожаются и не могут в дальнейшем использоваться. Например, мы не можем вскрыть все консервные банки из партии; проверить на разрыв, на истирание, на потерю окраски партию ткани и т.п.

Вся исследуемая совокупность называется генеральной совокупностью. Исследование выборочной совокупности позволяет охарактеризовать генеральную совокупность.

При использовании выборочного метода необходимо выполнять следующие два правила:

1) Единицы, попадающие в выборку, должны быть отобраны случайно.

2) В выборочной совокупности должно быть достаточное число единиц.

Только выполнив данное условие, можно получить выборку, которая по исследуемому признаку будет представлять всю совокупность, выборка в этом случае является репрезентативной (показательной).

Ошибки, которые связаны с выборочным наблюдением, называют ошибками репрезентативности. Они показывают величину разницы между данными выборочного наблюдения и генеральной совокупности.

По видам ошибки репрезентативности бывают:

● систематические (смещения);

● случайные (репрезентативности).

Систематические возникают в случае, когда нарушаются принципы случайности отбора. Они называются ошибками смещения, так как при отборе каждой следующей единицы допускается ошибка, всегда направленная в одну и ту же сторону (Например: отбор наиболее подготовленных студентов при контроле знаний).

Ошибки репрезентативности присущи любому выборочному наблюдению, причиной их появления является то, что выборочная совокупность не полностью воспроизводит генеральную.

В теории вероятности разработаны методы, позволяющие определить размер случайных ошибок.

Особенностью случайных ошибок является то, что с увеличением объема выборки величина этих ошибок снижается.

Различают среднюю (стандартную) ошибку выборки (μ ) и предельную ошибку выборки ().

Средняя стандартная ошибка определяется по формуле:

, (6.1)

где – выборочная средняя; – генеральная средняя.

Предельная ошибка показывает максимально допустимое расхождение, при заданной вероятности и рассчитывается по формуле:

(6.2)

Т.е. разница между средними значениями признака в генеральной и выборочной совокупности не больше предельной ошибки выборки.

При достаточно большом объеме выборки (n > 30) величину стандартной ошибки можно определить:

(6.3)

Соответственно при исследовании признака при использовании повторного отбора:

(6.4)

При исследовании доли:

(6.5)

При использовании бесповторного отбора объем генеральной совокупности при отборе каждой единицы в выборочную будет уменьшаться.

Стандартная ошибка при исследовании признака при использовании повторного отбора рассчитывается по формуле:

, (6.6)

где N – объем генеральной совокупности, n – объем выборки.

Стандартная ошибка при исследовании доли при бесповторном отборе:

(6.7)

Расчет стандартной (средней) ошибки необходим для установления возможных значений генеральной средней и генеральной доли:

(6.8)

Соответственно можем построить доверительные интервалы:

(6.9)

Таким образом, можно утверждать, что отклонение выборочной средней от генеральной средней в среднем равно ± µ_х. Ошибка конкретной выборки может принимать различные значения, но отношение ее к средней (стандартной) ошибке практически не превышает ±3, если величина п достаточно большая (n > 100). Отношение ошибки конкретной выборки к средней квадратической ошибке называется нормированным отклонением и обозначается:

(6.10)

Распределение нормированного отклонения выборочной средней от генеральной средней при численности выборки п —> ∞ определяется уравнением Лапласа-Гаусса: , где f(t) – плотность вероятности.

Рис. 6.1. Распределение ошибок выборочных средних.

В показанном примере определение генеральной средней и генеральной доли кратность учета стандартной ошибки равна 1 ( f(t) = 0, 317 ), эта кратность соответствует вероятности данного суждения, равной 0, 683. Данная вероятность обозначает, что в 683 случаях из 1000 генеральная средняя и генеральная доля будут входить в данные пределы, в 317 – могут выйти за эти пределы.

Вероятность результата можно повысить, если повысить стандартную ошибку выборки в t раз. Кратность ошибки t называют коэффициентом доверия.

Вероятность появления случайной ошибки выборки, при большом n, подчиняется закону нормального распределения, и при заданной вероятности суждения по таблице функции Лапласа, всегда можно найти кратность ошибки (табл. 6.1).

Таблица 6.1

Фрагмент таблицы функций Лапласа

Вероятность суждения, Р(t)	Коэффициент доверия, t
0, 683	1, 0
0, 866	1, 5
0, 954	2, 0
0, 988	2, 5
0, 997	3, 0

При приближении вероятности к 1, t увеличивается.

Статистическая ошибка используется для установления предела отклонений характеристик выборки от характеристик генеральной совокупности, при определенном уровне вероятностей:

(6.11)

Оптимальная численность выборки

При определении необходимой численности выборки надо задать уровень точности, величину предельной ошибки и величину дисперсии. Необходимая численность случайной повторной выборки находится по формуле:

, (6.12)

что вытекает из формулы предельной ошибки:. При этом t зависит от вероятности с которой гарантируется результат исследования, предельная ошибка устанавливается нормативами, а берется или из результатов предыдущих исследований, или по результатам малой выборки для которой установлено, что 5 ≤ n ≤ 30.

Если исследуется доля, то:

(6.13)

При неизвестном значении доли ее принимают w_в=0, 5, при этом.

В случае бесповторного отбора порядок определения величины n аналогичен и, соответственно, при исследовании признака:

(6.14)

При исследовании доли:

(6.15)

Особенности малой выборки

Малая выборка – выборка с объемом от 5 до 30 единиц. Используется, когда нельзя проводить сплошное наблюдение и когда нельзя делать большую выборку.

При появлении большого количества частных предприятий, возможность проведения наблюдений большого объема существенно снизилась и возникла необходимость характеристики генеральной совокупности по результатам малой выборки.

Ограничением в использовании малой выборки является изучение социальных явлений.

Как известно репрезентативность выборки зависит от ее объема. При большом объеме распределение случайных ошибок близко к нормальному распределению. Соответственно по таблице Лапласа можно определить вероятность того, что ошибка наблюдений не выйдет за установленные пределы. При этом сделано допущение, что выборочной совокупности приблизительно равна генеральной совокупности. При малом выборочном обследовании данное положение не работает. Случайные ошибки малой выборки не подчиняются закону нормального распределения.

Английский ученый Госсет, который печатал свои работы под именем Стьюдент в 1908 г. нашел закон распределения случайных ошибок малой выборки.

Кривая Стьюдента, по сравнению с нормальной кривой, более полога и ее ординаты медленнее приближаются к оси абсцисс. При оценке результатов малой выборки и оценке возможных пределов ее случайных ошибок, пользуются отношением Стьюдента:

, (6.16)

где - стандартная ошибка малой выборки:

(6.17)

- предельная ошибка:

, (6.18)

где t – отношение Стьюдента, подчиняющееся соответствующему закону.

Так же как для нормального распределения существуют специальные таблицы вероятностей Стьюдента p_k(t), где рассчитаны вероятности в малых выборках в зависимости от коэффициента доверия и числа степеней свободы k (k=n-1).

⇐ Предыдущая 4 5 6 7 8 9 101112 13 Следующая ⇒