Изучение формы распределения

⇐ ПредыдущаяСтр 10 из 13Следующая ⇒

При исследовании вариационных рядов распределения необходимо обратить внимание на определенную связь между изменением варьирующего признака и изменением частоты.

Если с увеличением величины варьирующего признака частота его появления сначала увеличивается, а затем уменьшается, мы наблюдаем некоторую закономерность распределения.

Теоретические распределения – это хорошо изученные в теории распределения, представляющие собой зависимости между плотностями распределения и значениями признака, отражающие закономерности распределения. Они описываются статистическими функциями, параметры которых вычисляются по статистическим характеристикам изучаемой совокупности.

В статистической практике наиболее широко используют следующие теоретические распределения:

• Биномиальное распределение – для описания распределения дискретного альтернативного признака. Оно представляет собой распределение вероятности исходов события, которые можно оценить как положительные или отрицательные.

• Распределение Пуассона – для изучения маловероятных событий в большой серии независимых испытаний (объем совокупностей n ≥ 100, доля единиц, обладающих данным признаком q ≤ 0, 1). Например, количество бракованных деталей в массовом производстве, число отказов автоматических линий – т.е. распределение Пуассона обычно применяется в статистическом контроле качества в массовом производстве.

• Распределение Максвелла применяется при исследовании признака, для которого заранее известно, что распределение имеет положительную асимметрию. Чаще всего Распределение Максвелла используется при описании технологических характеристик производственных процессов.

• Распределение «Стьюдента» применяют для описания распределения ошибок в малых выборках (n < 30). Распределение Стьюдента используется только при оценке ошибок выборок, взятых из генеральной совокупности с нормальным распределением признака.

• Нормальное распределение (распределение Гаусса) применяется для описания распределения признаков, на которые действуют множество независимых факторов, среди которых нет доминирующих.

При построении нормального распределения начало координат по оси Х переносится в точку центра распределения, а значения переменной х пересчитываются в единицы σ (рис.5.5).

Рис. 5.5. Кривая нормального распределения

Данная кривая симметрична относительно максимальной ординаты. Максимальная ордината соответствует значению признака, равного. В интервале ± находится 68, 3% всех вариант (значений признака); в интервале ±2 – 95, 4%; в интервале ±3 – 99, 7%.

Для удобства расчета теоретических частот введены понятия:

- нормированного отклонения

(5.33)

- нормированной функции плотности нормального распределения

(5.34)

Значения этой функции табулированы, т.е. представлены в статистических таблицах.

По эмпирическим данным можно получить приблизительное представление о форме исследуемого ряда распределения. Для этого строят соответствующие графики. Эмпирическая кривая распределения дает первые представления о том, какое теоретическое распределение может ей соответствовать.

При изучении формы распределения последовательно решаются три задачи:

1) Выявляется общий характер распределения (оценивается степень однородности совокупности, асимметрия и эксцесс).

2) Проводится выравнивание (аппроксимация, моделирование) эмпирического распределения.

Для этого рассчитывают теоретические частоты и строится теоретическая кривая заданной формы.

3) Проводится проверка соответствия построенного теоретического распределения заданному эмпирическому распределению с помощью критериев согласия.

1. Выяснение общего характера распределения.

Заключается в оценке степени однородности совокупности, уровня асимметрии и эксцесса.

Если распределение имеет одну вершину и коэффициент вариации не превышает 33%, то совокупность считается количественно однородной. Для ее характеристики можно использовать среднее значение признака и среднее квадратическое отклонение ().

Неоднородные совокупности исследоваться не могут.

Для однородных совокупностей проводится оценка показателей, которые характеризуют асимметрию.

Симметричным считается такое распределение, в котором частоты появления двух вариант, равноотстоящих от центра распределения, равны между собой (рис.5.6).

Рис. 5.6. Симметричное распределение

Самый простой показатель для оценки асимметрии – это соотношение между показателями, характеризующими центр распределения: (– Ме) и (– Мо). Чем больше разница, тем выше асимметрия.

Если в результате расчета получили положительную разницу, то асимметрия - правосторонняя, если отрицательную - левосторонняя.

Для симметричного распределения. Для правосторонней асимметрии, для левосторонней –.

Чтобы сравнить несколько рядов распределения по уровню асимметрии рассчитывают относительные показатели.

1. Коэффициент асимметрии Пирсона:

(5.35)

В одновершинных распределениях величина этого показателя изменяется от –1 до +1.

Для нормального распределения A_s = 0, при A_s > 0 – правосторонняя асимметрия, при A_s < 0 – левосторонняя асимметрия (рис. 5.7).

Рис. 5.7. Асимметрия распределения

2. Наиболее точный и распространенный показатель асимметрии рассчитывается через центральный момент третьего порядка.

(5.36)

Предыдущие относительные показатели не позволяют оценить степень существенности асимметрии. Третий показатель может использоваться для оценки степени существенности асимметрии. При этом рассчитывается следующее отношение:

, (5.37)

где – средняя квадратичная ошибка асимметрии, которая зависит от объема совокупности и определяется по следующему выражению:

, (5.38)

n – количество единиц в совокупности.

Результатом расчета могут быть два варианта:

1) ≤ 3 – асимметрия не существенна и возникла случайно.

2) > 3 – асимметрия существенна и распределение признака в генеральной совокупности нельзя считать симметричным.

Если мы доказали, что асимметрия незначительна, то производим оценку эксцесса – выпада вершины.

Эксцесс – показатель отличия ряда распределения от нормального закона по концентрации отдельных значений признака около центра распределения.

Для оценки эксцесса используется показатель, основанный на расчете центрального момента четвертого порядка.

(5.39)

Для нормального распределения = 3 и, следовательно, Е_х = 0, при Е_х > 0 – островершинное, при Е_х < 0 – плосковершинное (рис. 5.8).

Для оценки степени эксцесса рассчитывают отношение:

, (5.40)

где средняя квадратическая ошибка эксцесса зависит от объема совокупности и рассчитывается:

(5.41)

Если – эксцесс не свойственен распределению признака в генеральной совокупности, если – эксцесс значителен и эмпирическое распределение не относится к кривым, подчиняющимся законам нормального распределения.

Рис. 5.8. Эксцесс распределений

Если асимметрия и эксцесс незначительны, то возможно, что рассматриваемое эмпирическое распределение соответствует нормальному распределению.

2. Выравнивание эмпирического распределения

При выравнивании эмпирического распределения по кривой нормального распределения необходимо последовательно выполнить следующие действия:

1. Определить значения нормированных отклонений t_i по формуле (5.31).

2. Рассчитать с помощью формулы (5.32) или выбрать из соответствующей статистической таблицы значения нормированной функции плотности нормального распределения y_t.

3. Определить теоретические частоты:

(5.42)

4. Сделать проверку соответствия построенного теоретического распределения заданному эмпирическому распределению

Для оценки расхождения эмпирического и теоретического распределения можно использовать два подхода: первый связан с построением графиков, второй – с расчетом критериев согласия.

По графику не всегда можно оценить существенность расхождения эмпирической и теоретической кривой распределения. Поэтому расчет степени существенности проводят с помощью критериев согласия.

Все критерии согласия основаны на использовании различных мер расстояний между анализируемым эмпирическим распределением и построенным теоретическим распределением.

1. Из всех критериев наиболее часто используется критерий Пирсона (– критерий):

(5.43)

Чем больше разница между наблюдаемыми и теоретическими частотами, тем больше значение критерия Пирсона.

Чтобы определить какие значения существенные, а какие возникли случайно, определяют:

1) расчетное значение – критерия для исследуемого распределения _расч.;

2) табличное значение _табл..

Табличное значение показывает максимально допустимую величину расхождений между эмпирическими и теоретическими частотами. При определении табличного значения учитывают число степеней свободы (k) и уровень значимости (α ).

Для нормального распределения:

k = n – 3, (5.44)

где n – число групп.

Уровень значимости α выбираем исходя из следующего предположения:

p(_расч.> _табл) = α.

В расчетах принимаем α =0, 05 или α =0, 01.

3) Сравниваем значения критериев Пирсона.

а) _расч.> _табл – значение попало в критическую область и расхождение между частотами существенно и не случайно. Гипотеза о близости к нормальному распределению отвергается.

б) _расч.≤ _табл – максимально допустимая величина расхождений не превышена и гипотеза о близости эмпирического распределения к нормальному не отвергается.

2. Критерий Романовский:

(5.45)

Если Ro > 3, то расхождение существенно и не случайно. Если Ro ≤ 3, то расхождение случайно и гипотеза о нормальном характере эмпирического распределения не отвергается.

3. Критерий согласия Колмогорова:

При сравнении эмпирического и теоретического распределения учитываются накопленные частоты (S):

(5.46)

Исходя из полученного значения по таблице вероятности определяют вероятность близости между эмпирическими и теоретическими частотами.

⇐ Предыдущая 4 5 6 7 8 91011 12 13 Следующая ⇒