Работа и энергия. Всемирное тяготение

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 23Следующая ⇒

Выше и в предыдущих рассуждениях [3], главным образом рассматривались ситуации, в которых материальные объекты моделировались свободными частицами. Это позволило установить характеристики состояния свободной частицы, взаимосвязанные со свойствами пространства и времени. Однако применение модели свободной частицы довольно ограничено, поскольку возможно лишь при отсутствии (или при взаимной компенсации) взаимодействий или внешних воздействий.

Переходя к более реальным случаям, целесообразно исследовать такие ситуации, когда материальные объекты испытывают непрерывное внешнее воздействие, но к ним, всё же, применима модель частицы. Это означает возможность моделирования материальных объектов «несвободными» частицами, характеристики состояния которых изменяются со временем.

Модель «несвободной» частицы обладает рядом дополнительных преимуществ. В частности, такую частицу можно использовать в качестве «зонда» при исследовании характеристик внешних воздействий и их взаимосвязей со свойствами пространства и времени. Кроме того, в модели «несвободной» частицы известные характеристики состояния свободной частицы не остаются со временем без изменений. Наглядный процесс перемещения по траектории может быть связан с изменением этих характеристик со временем, определяемым характером внешнего воздействия. Поэтому содержание данной главы сводится к установлению объективных характеристик внешнего воздействия на частицу и открытию и применению законов, управляющих изменением характеристик состояния частицы со временем.

2.1. Характеристики несвободной частицы.
К вопросу о понятии силы в динамике

Будем исходить из того, что происходящие в природе процессы, как правило, обусловлены взаимодействием материальных объектов друг с другом. Поэтому реализация модели несвободной частицы связана с возможностью отделения частицы от её окружения. Иными словами, предполагается, что изолированную физическую систему можно мысленно расчленить на две неравноправные части – выделенный материальный объект, моделируемый частицей, характеристики состояния которой изменяются со временем, и все остальные материальные объекты, создающие неизменное внешнее воздействие. Неизменность внешнего воздействия понимается в том смысле, что обратное воздействие движущейся частицы на эти объекты не учитывается. Это означает, если допускается, что внешнее воздействие изменяется со временем, то это должно происходить по заданному закону, определяемому объектами, но не движущейся частицей.

В модели несвободной частицы будем исходить из того [2], что основные характеристики свободной частицы – импульс, энергия – применимы к материальным объектам даже при наличии внешнего воздействия. Для этого обратимся к типичной экспериментальной ситуации (рис. 2.1).

Пусть свободная частица с импульсом в момент времени t попадает в ограниченную область пространства, в которой она «чувствует» какое-то внешнее воздействие. Спустя промежуток времени Dt она покидает эту область, и мы вновь обнаруживаем свободную частицу, но с другим импульсом . Подчеркнём, формулы для импульса и энергии свободной частицы в моменты времени t и Dt справедливы при одном и том же значении массы, иначе нельзя было бы утверждать, что это та же самая частица. Естественно предположить, эти формулы применимы и к рассматриваемой несвободной частице как в промежуток времени от t до Dt, так и в тех случаях, когда попавшая в область воздействия частица остаётся там надолго. При этом следует допустить, размеры частицы не изменяются на всех этапах воздействия и она сохраняет свою специфику; внутреннюю структуру её можно не учитывать. Примерами таких ситуаций служат пролёт небесного тела вблизи Солнца, запуск спутника на орбиту, пролёт заряженной частицы вблизи соленоида.

Рис. 2.1. Свободная частица приближается к области внешнего воздействия

Однако не все воздействия на первоначально свободную частицу удовлетворяют таким критериям. Противоположными примерами могут служить пролёт атома через область, в которой он испытывает ионизацию, т.е. делится на ион и электрон, или челябинский метеорит, пролёт которого через атмосферу сопровождался разрушением его на куски вследствие нагревания.

Совокупность накопленных человечеством экспериментальных данных по зондированию одиночными свободными частицами областей, в которых они испытывают воздействие со стороны других материальных объектов, позволяет утверждать следующее. Пока масса и размеры материального объекта, моделируемого несвободной частицей, не изменяются, его в каждый момент времени можно характеризовать, зависящими от времени, импульсом и энергией . Это означает, для него по-прежнему справедливы формулы, характерные для свободной частицы:

; ; . (2.1)

Таким образом, в соответствии с опытом можно утверждать, существуют такие внешние воздействия, при которых импульс, энергия и скорость частицы со временем изменяются. Однако они изменяются так, что в любой момент времени t для несвободной частицы справедливы формулы, типичные для свободной частицы. Их общая особенность заключается в том, что характер зависимости от времени всех остальных величин, по существу, определяется зависимостью от времени импульса частицы .

Приведённые выше формулы для импульса, энергии и скорости выглядят одинаково как для свободной, так и для несвободной частицы, поэтому знание только этих величин в фиксированный момент времени t не позволяет решить вопрос, является ли частица свободной или нет. Для этого необходимо знать, как изменяются эти величины в ближайший к t момент времени t+Dt, то есть необходимо уметь находить быстроту изменения величин , , и, прежде всего, быстроту изменения импульса. Действительно, быстрота изменения энергии dW/dt не является независимой; продифференцировав формулу энергии из выражения (2.1) по времени, получим: .

Аналогично быстрота изменения скорости из выражения (2.1) также определяется величиной , действительно: . Таким образом, быстрота изменения со временем энергии и скорости несвободной частицы по существу определяется одним вектором – быстротой изменения импульса . Ньютон первым «угадал» особую роль этой величины в динамике частицы и предложил принять её за количественную меру внешнего воздействия на несвободную частицу:

. (2.2)

Данное Ньютоном определение силы открыло путь к количественному исследованию внешних воздействий на несвободную частицу путём постановки специальных экспериментов. В них движущимися частицами зондировались области, в которых происходило воздействие, но при этом систему в целом в любой момент времени можно было мысленно «расчленить» на две независимые части – движущуюся частицу с фиксированными размерами и массой и её «неизменное» окружение. В результате этих исследований удалось выяснить свойства конкретных сил, отвечающих типичным внешним воздействиям. С некоторыми наиболее известными из типичных сил как фундаментальных, так и нефундаментальных мы ознакомились ранее [3, с. 18–20]. Их формализованное представление и логический анализ модели несвободной частицы позволяют утверждать, типичные внешние воздействия можно характеризовать законами сил вида: .

2.2. Понятие работы в механике. Мощность.
Кинетическая энергия

Материал данного параграфа предполагает ознакомление с содержанием параграфа 2.3. работы [3, с. 23–25].

В предыдущих параграфах было показано, что изменение со временем таких фундаментальных характеристик как импульс и энергия, по существу, определяется только одной характеристикой внешнего воздействия – силой . Тем не менее, специфические характеристики внешнего воздействия, ответственные за изменение со временем указанных величин, также представляют определённый интерес. Чтобы убедиться в этом, подставим в быстроту изменения энергии (2.1) выражение для силы (2.2). Тогда дополнительная характеристика внешнего воздействия на частицу, называемая мощностью, и являющаяся скалярной величиной, примет вид:

. (2.3)

В общем случае выражение для мощности является важным инструментом изучения внешнего воздействия на частицу. Не в последнюю очередь это обусловлено тем, что действие внешней силы и скорость частицы могут быть взаимно перпендикулярны, либо взаимно параллельны. В результате этого мощность может быть равна нулю, тогда как проекции силы отличны от нуля. Это приводит к тому, что энергия частицы, изменение которой со временем «управляется» мощностью P, сохраняется при наличии внешнего воздействия; частным примером может служить конический маятник.

Несмотря на то, что сила – универсальная характеристика внешнего воздействия на частицу, использование такой дополнительной характеристики как мощность позволяет упростить описание этого воздействия. Прежде чем убедиться в этом, напомним, в модели несвободной частицы её движение происходит в «неизменных» внешних условиях. Эта неизменность обеспечивается за счёт того, что к окружающим несвободную частицу материальным объектам так же применима модель частицы. Однако масса этих объектов очень велика. При анализе такой ситуации полезны результаты обсуждения двухчастичного распада (параграф 1.4.), происходящего в условиях резкого различия масс конечных частиц. И хотя для свободной частицы импульс и энергия являются равноправными и взаимосвязанными характеристиками, в этих процессах они ведут себя довольно неравноправно. Действительно, фактически в них происходит обмен энергией без обмена импульсом. Тем самым, энергия оказывается более «чуткой» характеристикой всякого взаимодействия, чем импульс. Отсюда немедленно следует, в модели несвободной частицы изменением импульсов окружающих её объектов фактически можно пренебречь, и всё взаимодействие частицы и её окружения сводится к обмену одной только энергией.

Изложенные соображения заставляют внимательно проанализировать влияние окружения частицы на изменение её кинетической энергии. Из определения мощности (2.3) для малых промежутков времени её изменение dK запишется: . Стоящую справа скалярную величину, определяемую внешним воздействием, принято называть элементарной работой силы над частицей [3, с. 25]:

. (2.4)

Ранее [3, с. 24] мы называли её мерой изменения механического состояния частицы; аналитическая запись (2.3) не противоречит этому «взрослеющему» утверждению.

Работа силы за промежуток Dt времени находится интегрированием. Она характеризует изменение кинетической энергии частицы K₂ – K₁ º A₂₁ под воздействием окружающих её объектов. В зависимости от знака работы A₂₁ кинетическая энергия частицы либо возрастает (A₂₁ > 0), либо убывает (A₂₁ < 0). Поскольку совершённая работа определяется изменением кинетической энергии в начальном и конечном состояниях и не «чувствительна» к характеру движения, она, энергия, есть функция состояния движения; т.е. убыль кинетической энергии на одну и ту же величину всегда даёт одну и ту же работу (быстро или медленно, равномерно или нет, менялась скорость).

Из элементарного курса физики известно, что кинетическая энергия определяется выражением: . Пытливый читатель может в этом убедиться, воспользовавшись дифференциально-интегральным исчислением. Действительно, подставив (2.2) в (2.4) приходим к выражению вида dA = dp× u = mu× du. Интегрирование полученного выражения даёт уравнение вида: .

Самостоятельно выполняя предложенные преобразования, приобретаете навыки понимания содержания физики на символическом языке.

2.3. Потенциальная энергия как характеристика
внешнего воздействия

В предыдущем параграфе установлено, существуют воздействия, в ходе которых имеет место обратимый обмен энергией между несвободной частицей и её окружением; в этом мы убедились на примере кинематической характеристики «скорость». Такой обмен, как известно, качественно напоминает двухчастичный распад на частицы существенно разных масс. Поскольку скорость характеризует быстроту изменения кинематической характеристики «положение» частицы, следует научиться характеризовать внешнее воздействие также некой энергией, «чувствительной» к «положению» частицы в пространстве. Это может упростить описание внешнего воздействия на несвободную частицу; кроме того, открывает путь к упрощению анализа движения несвободной частицы в стационарных состояниях, в чём мы имели возможность убедиться ранее [3, с. 29–30].

Для упрощения математического описания, рассмотрим внешнее воздействие на несвободную частицу, совершающую одномерное движение вдоль прямой, например оси Х. Допустим, что вдоль этой оси действует сила F(х), зависящая только от положения частицы на оси х, но не зависящая ни от скорости u_х, ни от времени t; к такого рода силам относятся сила упругости, сила тяготения, сила трения и однородные силы, например, mg. С точки зрения математики, силу F(х), зависящую только от одного аргумента, можно рассматривать как производную от другой функции U(х), «чувствительной» к положению частицы х:

, (2.5)

где знак «минус» выбирается по историческим причинам. Тогда функция U(х) по отношению к известной силе F(х) служит первообразной и её можно найти интегрированием: , где С – произвольная постоянная. В частности, для однородной силы тяготения вблизи Земли первообразная U(x) = –F_о× х + С, где F_о = –mg, поскольку ось z направлена вверх от поверхности Земли, а постоянную С принято выбирать равной нулю. Отсюда немедленно следует, что вновь введённая скалярная величина U(z) = mgz (в школьном курсе U(h) = mgh) и имеет размерность энергии.

Найдём работу однородной силы тяготения вблизи Земли. Элементарная работа этой силы вида (2.5) dA = –m× g× dz º –dU. Поскольку интеграл от дифференциала равен поддифференциальному выражению, получаем уравнение вида: . Произведение mgz_i есть не что иное как энергия, определяемая положением несвободной частицы в её окружении, и обозначается символом U, тогда работа, совершаемая над частицей между точками z₁ и z₂, запишется:

, (2.6)

и, как видим, определяется разностью этой энергии U(z) в точках z₁ и z₂. Её принято называть потенциальной энергией частицы во внешнем поле, а формулы (2.5) и (2.6) показывают, что и работу силы, и саму силу удаётся выразить через эту скалярную величину. В свою очередь, силы, работа которых зависит от начального и конечного состояний, но не зависит от длины и формы траектории, называют потенциальными.

Следует заметить, формулы (2.5) и (2.6) важны тем, что установлена принципиальная возможность описывать внешние воздействия с помощью более простой, по сравнению с силой, скалярной величины U – потенциальной энергии частицы во внешнем поле. Она имеет смысл той доли энергии материальных объектов, создающих неизменное внешнее воздействие, которая может участвовать в обратимом обмене энергией с движущейся несвободной частицей.

В заключение подчеркнём, помимо простоты описания внешнего воздействия понятие потенциальной энергии имеет перед понятием силы то преимущество, что оно не так жёстко связано с моделью частицы. Как одно из проявлений фундаментального понятия энергии – она сохраняет свой смысл и тогда, когда модель частицы оказывается неприменимой. В частности, это относится для электрона в атоме. Более того, понятие энергии здесь окажется первой ступенькой на пути к описанию взаимодействия материальных объектов.

⇐ Предыдущая 1 2 3 456 7 8 9 10 Следующая ⇒