Кинетическая энергия вращающегося тела

⇐ ПредыдущаяСтр 8 из 23Следующая ⇒

Приступая к изучению свободно вращающихся систем взаимодействующих частиц как целого, следует учитывать, что свойства изолированной системы частиц во многом определяются фундаментальными законами сохранения. Естественно, их роль оказывается существенной и при выборе независимых коллективных движений такой системы как целого. Выше (параграф 1.5) мы убедились в том, что с законом сохранения импульса системы связано её свободное поступательное движение. Естественно ожидать, что и с законом сохранения момента импульса частицы при некоторых условиях также можно связать специфическое коллективное движение, называемое свободным вращением. Среди других возможных типов коллективного движения системы частиц (перечислили? ) оно выделено тем, что соответствует внутреннему движению в модели с максимально простым выражением для энергии взаимодействия; убедимся в этом. В повседневной жизни мы довольно часто сталкиваемся со свободным вращением. Оно поражает нас своей «непохожестью» на более привычное поступательное движение. Его наглядной характеристикой служит угловая скорость – аналог скорости поступательного движения. Однако в отличие от линейной скорости величина и направление вектора угловой скорости даже при отсутствии внешнего воздействия сохраняется далеко не всегда. Это обстоятельство делает свободное вращение системы частиц как целого предметом нашего анализа.

Рис. 3.2. Вращение а. т. т. вокруг оси симметрии

Переходя к рассмотрению свободного вращения системы многих частиц как целого, рассмотрим простейший случай, когда все вклады в энергию взаимодействия между частицами постоянны:

. При таком подходе этот тип коллективного внутреннего движения может быть описан в модели абсолютно твёрдого тела (а. т. т.; см. [3, с. 7]); это значит, что всякого рода деформациями, которые могут происходить при движении тела, мы можем пренебречь и полагать, что расстояния между частицами тела остаются постоянными. Здесь уместно заметить, что такое описание применимо как к планетным системам, так и к атомным или молекулярным системам при неизменных расстояниях между составляющими их объектами. Обсудим сначала свободное вращение а. т. т. как целого вокруг его оси симметрии

(рис. 3.2).

Прежде заметим, что ось симметрии а. т. т. всегда проходит через его центр инерции; центр масс (с. 16 данного пособия). Действительно, в собственной системе отсчёта (ССО или ИСО) центр инерции покоится, поступательное движение отсутствует, и, соответственно, импульс центра масс системы: . В то же время при вращении вокруг оси все частицы , составляющие а. т. т., движутся со скоростями , кроме тех, которые находятся на оси вращения. Поэтому, приняв ось симметрии а. т. т. за ось (рис. 3.2), получим собственную систему отсчёта (ССО), в которой закон сохранения внутренней энергии системы частиц принимает вид:

. (3.3)

Употребляя здесь понятие внутренней энергии, мы имеем в виду не полную энергию данной системы, а только ту её часть, которая участвует и изменяется в рассматриваемом явлении. В нашем случае – кинетическая энергия частиц, участвующих во вращательном движении. И тогда мы приходим к закону сохранения кинетической энергии вращения абсолютно твёрдого тела (а. т. т.):

. (3.4)

Учитывая предыдущий параграф в той его части, что предпочтительной характеристикой при вращательном движении является момент импульса , получим аналитическое выражение для собственного момента импульса а. т. т.. Собственный момент импульса (и не только твёрдого тела) принято обозначать буквой ; это, как мы знаем, величина векторная. Его направление совпадает с выбором оси Z ^!, что и отображено на рис. 3.2. При получении уравнения для собственного момента импульса а. т. т. будем учитывать симметрию задачи – вращение происходит вокруг оси симметрии Z ^!, а так же то, что собственный момент складывается из импульсов отдельных частиц, составляющих твёрдое тело: .

Рис. 3.3. Движение i-й частицы

При свободном вращении относительно оси отдельные частицы, составляющие абсолютно твёрдое тело, совершают движение по окружностям, расположенным в плоскостях, перпендикулярных оси вращения а. т. т. как целого (рис. 3.2). Естественно, достаточно рассмотреть движение частиц, принадлежащих типичной плоскости Х ^/, Y ^/. Для i-й частицы в этой плоскости момент импульса запишется (см. рис. 3.3):

. (3.5)

Здесь в векторном произведении использован тот факт, что векторы R_i, и взаимно перпендикулярны и, кроме того, учтено . Читателю следует подумать, почему угловая скорость у частиц общая?

Чтобы получить аналитическое выражение для собственного момента импульса твёрдого тела относительно собственной оси, осталось просуммировать выражение (3.5) по всем частицам на выделенной мысленно плоскости Х ^/, Y ^/ (рис. 3.3), а затем по всем плоскостям, в которых движутся частицы (рис. 3.2). В результате получим:

. (3.6)

Здесь мы воспользовались результатами предыдущего параграфа в той его части, которая касается инерционных свойств частицы к вращательному движению, и, введя понятие момент инерции а. т. т. относительно оси симметрии, , обозначили механизм его вычисления.

Наконец, применяя те же приёмы, найдём аналитическое выражение для кинетической энергии вращения. Воспользовавшись взаимосвязью линейной и угловой скоростей , уравнение (3.4) приводим к виду:

. (3.7)

Полученные нами выражения величин момента импульса , момента инерции J и кинетической энергии для свободного вращения а. т. т. вокруг его оси симметрии (центра инерции) являются естественным обобщением формул предыдущего параграфа. Собственный момент импульса S _z º и угловая скорость направлены строго по оси симметрии а. т. т., а значение угловой скорости не изменяется .

Формулы (3.6) и (3.7) устанавливают искомые взаимосвязи фундаментальных физических величин – собственного момента импульса и кинетической энергии вращения с наглядной характеристикой свободного вращения – угловой скоростью , а также выражают кинетическую энергию вращения через собственный момент импульса S _z. Внешне они напоминают выражения импульса и кинетической энергии поступательного движения через его наглядную характеристику – скорость u_сист:

; . (3.8)

Поэтому, сравнивая формулы (3.8) и (3.6), (3.7), можно утверждать, что момент инерции а. т. т. J относительно оси симметрии Z ^/ и собственный момент импульса S _z играют по отношению к свободному вращению вокруг этой оси ту же роль, какую играют масса системы и её импульс по отношению к поступательному движению. Это означает, что момент инерции J действительно характеризует инертные свойства твёрдого тела по отношению к вращению вокруг оси симметрии. Однако в отличие от массы системы момент инерции J определяется не только массами отдельных частиц , но и их распределением относительно оси симметрии.

⇐ Предыдущая 3 4 5 6 789 10 11 12 Следующая ⇒