Вычисление момента инерции для простейших тел

⇐ ПредыдущаяСтр 9 из 23Следующая ⇒

В предыдущем параграфе было показано, что момент инерции может быть представлен как произведение массы а. т. т. на квадрат эффективного радиуса оси инерции: . Здесь , имеющий смысл среднего квадрата расстояния от оси симметрии, может быть представлен в виде: .

В частном случае для системы N частиц с одинаковой массой m_i = m средний квадрат расстояния от оси симметрии может быть представлен следующим образом:

и для тонкого обруча радиусом r, когда все R_i = r = const,

. (3.9)

Читателю желательно самостоятельно проделать преобразования, поскольку они требуют сопровождения внутренней речью. В частности, нужно не забыть, что m_i = m и что запись суммы требует произведения массы m на квадрат расстояния r. Убедились в этом самостоятельно? Было бы неплохо тонкий обруч отобразить на рисунке с обозначением заданных величин.

Рис. 3.4. К вычислению момента инерции стержня

Если частицы в а. т. т. распределены непрерывно с плотностью массы r = m/V, то суммирование может быть заменено интегрированием. Убедимся в этом на вычислении момента инерции стержня длиной L относительно оси Z, проходящей через его центр инерции (рис. 3.4), максимальный поперечный размер стержня во много раз меньше длины стержня. Момент инерции J_z запишется:

, (3.10)

где dm – элементарная масса стержня, удалённая от оси вращения Z на расстояние r и обладающая моментом инерции dJ = r²× dm. Поскольку плотность материала стержня r одинакова по всей длине, элементарная масса может быть записана: dm = r× dV = r× S× dr; здесь S – площадь поперечного сечения стержня, а dr – длина бесконечно малого элемента стержня массой dm. Подставляя эти значения в уравнение (3.10) приходим к выражению: . Вынося постоянные r и S из под знака интеграла, приходим к интегралу простейшего вида: . Как следует из рис. 3.4, пределы интегрирования изменяются от –L/2 до + L/2 (?! ) и тогда момент инерции стержня запишется:

Проведя несложные преобразования, пытливый читатель приходит к уравнению вида: . Наконец, приняв к сведению, что r× S× L = m, настойчивый читатель приходит к тому, что относительно оси центра масс Z момент инерции стержня J_z = (1/12)× m× L². Самостоятельно преобразования проделали?

Рис. 3.5. К вычислению момента инерции для мгновенной оси Z^/.

Описание свободного вращения стержня можно упростить, воспользовавшись тем, что угловая скорость w_сист._z, будучи общей для всех элементарных масс, не зависит от параллельного переноса оси вращения. Допустим, что наш стержень свободно вращается вокруг оси симметрии Z, проходящей через центр инерции с угловой скоростью w_Z. Рассмотрим теперь его вращение вокруг мгновенной оси Z ^/, параллельной оси Z
(рис. 3.5). В этом случае мы, по существу, имеем дело с комбинацией двух движений – «чистого» вращения вокруг оси Z, характеризуемого моментом импульса L_z = J× w_z, и поступательного движения центра инерции стержня по окружности радиуса R = L/2, где R – расстояние между осями Z и Z ^/, со скоростью u_сист = R× w_z. Сумму кинетических энергий K поступательного движения и вращения системы частиц в этом случае можно представить в виде:

. (3.11)

Входящий в формулу (3.11) эффективный момент инерции J_эф относительно мгновенной оси Z ^/ равен:

, (3.12)

где R – расстояние между осями Z и Z ^/. Формула (3.12) называется формулой Гюйгенса-Штейнера [2] и позволяет вычислять момент инерции для простейших систем. Убедимся в том, что она имеет право на существование. Рассмотрим свободное вращение системы, представленной на рис. 3.5 относительно оси Z ^/. По формуле Гюйгенса-Штейнера эффективный момент инерции J_эф складывается из момента инерции стержня относительно оси его центра масс J_z и момента инерции центра масс стержня по отношению к оси Z ^/. Подставляя в выражение (3.12) заданные параметры, приходим к выражению вида: . По условию задачи ось вращения Z ^/ удалена от центра масс стержня на половину его длины, т.е. R = L/2, и тогда J_эф = (1/12)× mL² + m× (1/2L)². После несложных преобразований пытливый читатель придёт к выражению J_эф = = (1/3)× mL². Убедились в этом? Итак, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через один из его концов равен одной третьей от произведения массы на квадрат его длины, тогда как относительно оси, проходящей через центр масс всего лишь 1/12 от произведения массы на квадрат длины стержня.

Проверим результат формулы (3.12) J_эф = (1/3)× mL² через математическую операцию интегрирования. Воспользуемся формулой (3.10), и рис. 3.6. Как следует из рис. 3.6, пределы интегрирования изменяются от нуля до L и уравнение (3.10) принимает вид:

Рис. 3.6. К вычислению момента инерции для мгновенной оси Z^/

Подставив вместо r верхний предел интегрирования L, читатель придёт к выражению:

. Наконец, учитывая, что rSL = m, приходим к выражению , что подтверждает результат, полученный по формуле (3.12).

Применяя дифференциально-интегральное исчисление можно вычислить момент инерции для однородного:

точечного тела, находящегося на расстоянии R от заданной оси вращения J = mR²;

сплошного шара относительно оси, проходящей через его центр J = (2/5)× mR²;

полого цилиндра относительно оси, проходящей параллельно его стенкам через центр масс, как разность моментов инерции наружного и внутреннего (отсутствующего) цилиндров J = 1/2m₁× R₁² – 1/2 m₂× R₂², или J = 1/2m× (R₁² + R₂²), где m = m₁ – m₂ есть масса полого цилиндра. Для пытливого читателя следует заметить, при попытке получить конечное выражение учтите, что в выражение массы m_i так же входит R_i; может помочь в преобразованиях. Удачи.

Основное уравнение вращения

Наши рассуждения в работе [3] и те, которые представлены в предыдущих параграфах, позволяют утверждать, что концепция дальнодействия позволила нам во многих случаях рассматривать вещество как систему взаимодействующих частиц в условиях внешнего воздействия. В свою очередь эти внешние воздействия созданы другими материальными объектами. Естественно, понятие вещества при этом следует трактовать весьма широко. В наших рассуждениях это были: планетная система, кристалл или газ в сосуде. Очевидно, единообразного описания столь различных объектов можно достичь только в рамках какого-то общего приближённого подхода. И контуры его нами были фактически намечены не только в работе [3], но и в предыдущих параграфах. В частности, нам удалось показать, что систему исходных взаимодействующих частиц в определённых условиях можно смоделировать эквивалентной системой независимых «квазичастиц». Следующий шаг, который нам удалось сделать, это переход от модели свободной частицы к модели несвободной частицы, находящейся во внешнем поле. Естественно, модель несвободной «квазичастицы» сложнее модели частицы, поэтому ограничимся анализом лишь простейших систем непрерывно взаимодействующих частиц, которые моделируются изученными выше «квазичастицами». К ним, в частности, относятся «квазичастица» с приведённой массой и центр инерции, с которыми нам приходилось работать и ранее [3].

В предыдущих рассуждениях нам удалось достичь сколько-нибудь полного описания движения материальных объектов только в приближении а. т. т., которому соответствует простейшее предположение об энергии парного взаимодействия: . В этом случае все движения системы взаимодействующих частиц сводятся к свободным поступательному движению и её вращению как целого, моделируемым движением простейшего типа «квазичастиц» – центра инерции. Это приближение интересно тем, что оно передаёт особенности свободного движения системы взаимодействующих частиц как целого, свойства которой могут быть далеки от свойств и а. т.т., и реальных твёрдых тел. Поэтому это приближение может оказаться полезным при описании внешнего воздействия на такие объекты, рассматриваемые как целое. Учесть внешнее воздействие в этом случае также можно, если только оно достаточно слабое. Это означает, что в любой момент времени для каждой пары частиц должно выполняться условие , где выражения для энергий вращения и относительного движения пары частиц включают и вклады энергии внешнего взаимодействия. Для нас здесь существенно то, что система сохраняет свойства целого.

Приступая к изучению движения системы частиц при наличии внешнего воздействия целесообразно начать с введения характеристик такого воздействия. Если оговорённые выше условия выполняются, т. е. к системе применимо приближение а. т. т., то внешнее воздействие на неё сводится, лишь, к воздействию на поступательное движение и вращение системы частиц как целого. В этом случае систему частиц уже нельзя считать изолированной, подобное воздействие непосредственно связано с нарушением свойств однородности и изотропности пространства. В связи с этим за характеристики внешнего воздействия на систему частиц целесообразно выбрать «темп», (быстроту) изменения со временем её фундаментальных физических величин – импульса и момента импульса неизолированной системы частиц как целого.

С этой целью запишем импульс и момент импульса системы непрерывно взаимодействующих частиц на случай, когда имеет место внешнее воздействие:

, . (3.13)

Здесь – импульс i-й частицы, определяемый как взаимодействием частиц, так и внешним воздействием, R – радиус-вектор центра инерции по отношению к оси вращения (см., например, рис. 3.6), S(t) – собственный момент импульса системы частиц (относительно оси симметрии, центра масс, см. формулу (3.6)).

И тогда «темп» (быстрота) изменения импульса системы со временем определяется лишь внешним воздействием на систему частиц, поскольку благодаря свойствам ньютоновских сил взаимодействия (см. [3], с. 27), сумма внутренних сил обращается в нуль. Аналитически это запишется:

. (3.14)

Аналогично в качестве специфической характеристики внешнего воздействия на вращение системы частиц как целого выберем «темп» изменения со временем момента импульса системы частиц. Аналитически это запишется (см. 3.13):

. (3.15)

Поскольку R – радиус-вектор центра инерции является величиной постоянной, то производная от векторного произведения приводит к выражению ; здесь использована формула (3.14), желательно проделать преобразования самостоятельно. Производная от собственного момента импульса системы частиц, с учётом выражения (3.6) приводит второе слагаемое правой части уравнения (3.15) к виду:

и тогда, наконец, мы получаем уравнение (3.15) в виде:

+ . (3.16)

Таким образом, из приведённого рассмотрения следует, внешнее воздействие на систему взаимодействующих частиц как целое можно описать независимыми величинами:

вектором полной силы , воздействующим на импульс центра инерции системы ;

вектором вращающего момента , воздействующим на собственный момент импульса системы в ССО.

Независимость приведённых величин видна хотя бы из того, что из равенства не следует равенство , и наоборот. Они отражают нарушения внешним воздействием соответственно однородности ( ¹ 0) и изотропности ( ) пространства.

До сих пор мы рассматривали лишь результаты внешнего воздействия на фундаментальные характеристики системы частиц – импульс P_сист и момент импульса L_сист. Для дальнейшего анализа необходимо получить выражение для энергии внешнего воздействия на систему частиц. Чтобы упростить рассмотрение, ограничимся потенциальными внешними силами, для которых [см. 3, с. 28]. Тогда очевидно, что для системы частиц в приближении а. т. т. энергия внешнего воздействия:

. (3.17)

Наша цель – конкретизировать аналитическое выражение для энергии внешнего воздействия в известных внешних полях, выразив его через характеристики системы частиц в приближении а. т. т. – радиус-вектор центра инерции R и углы поворота j_i_. Для этого проанализируем изменение этой величины при смещении каждой частицы на dr_i:

. (3.18)

При сдвиге системы частиц как целого на dR, а все dr_i º dR, из уравнения (3.18) с учётом того, что мы имеем дело с потенциальными силами, следует: dU_пост = – = – = – . Отсюда немедленно приходим к тому, что

. (3.19)

Аналогично рассуждая при повороте системы частиц как целого на угол dj _zвокруг оси Z, проходящей через центр инерции, все dr_i º [dj_z r_i]. Поэтому из уравнения (3.18) приходим к выражению вида:

Отсюда следует, что вращающий момент

. (3.20)

Таким образом, в потенциальном поле сил, векторные характеристики внешнего воздействия на систему частиц – полная сила и вращающий момент – могут быть выражены через более простые скалярные характеристики внешнего воздействия – энергию поступательного движения U_пост(R) и вращения U_вр(j) во внешнем поле. Поскольку внешние воздействия независимы (с. 46), энергия системы частиц принимает вид суммы:

U_пост(R) + U_вр(j). (3.21)

Теперь мы готовы к тому, чтобы ответить на основной вопрос данного параграфа – как выглядит закон механики для вращательного движения. Во-первых, нам удалось установить, если система частиц, имеющая выделенную ось или центр, испытывает внешнее воздействие, то результатом этого воздействия является изменение её момента импульса ; где J – характеристика инерционных свойств системы к вращению. Во-вторых, при рассмотрении свободного вращения нам удалось установить аналитическое выражение для кинетической энергии вращения K = Jw²/2. В-третьих, мы нашли аналитическое выражение, связывающее вращающий момент с изменением потенциальной энергией внешнего воздействия на систему частиц . Учитывая, что работа равна изменению энергии, взятой с противоположным знаком, аналитическое выражение для работы при вращательном движении запишется:

. (3.22)

Работа при вращении идёт на изменение кинетической энергии вращения K = Jw²/2. Элементарное изменение работы равно элементарному изменению энергии, т.е. dA_вр = dK_вр = d(Jw²/2), и тогда, продифференцировав выражение кинетической энергии вращения, уравнение (3.22) может быть представлено в виде (проделали преобразования? ):

Если учесть, что , приходим к уравнению: . И, наконец, обозначив угловое ускорение dw/dt символом e-эпсилон, приходим к основному уравнению вращения:

. (3.23)

Момент силы, действующий на тело, равен произведению момента инерции на угловое ускорение.

⇐ Предыдущая 4 5 6 7 8910 11 12 13 Следующая ⇒