Относительность длины отрезка

Рис. 4.3. К установлению взаимосвязи пространственных интервалов в системах S и S^/

Для установления соотношения длин отрезков в подвижной

и неподвижной

инерциальных систем отсчёта (ИСО) обратимся к рис. 4.3. Система S ^/ движется со скоростью V направо вдоль оси х системы S. Установление соотношения длин отрезков требует выполнения математической операции деления, например, длины l в неподвижной системе отсчёта S на длину l_о в движущейся системе отсчёта S ^/, т.е. l / l_о.

Для определения длины отрезка (l, или l_о), как правило, привлекается процесс сравнения с эталоном длины. Такую процедуру в нашем повседневном опыте нам приходится выполнять регулярно. Однако заметим, эталон единицы длины у нас определён; это система интернациональная СИ, в которой единица длины метр, и внесистемные единицы. Здесь сложение; неинвариантность понятия одновременности удалённых событий в произвольно движущихся ИСО (см. (4.6)), и принцип существования предельной скорости указывают на то, что единица длины в каждой из систем отсчёта должна определяться скоростью света с и временным интервалом соответствующей ИСО. Отсюда немедленно следует, интервал единица длины в ИСО S ^/ Dl_о = с× t ^/, а в инерциальной системе отсчёта S Dl = с× t. И тогда длина отрезка в движущейся системе отсчёта l ^/ = l_о/Dl_о = = l_о/с× t ^/, а в неподвижной S системе l = l_о/Dl = l_о/с× t. Отсюда соотношение длин отрезков запишется:

l / l ^/ . (4.7)

Учитывая формулу (4.6), длина тела l, измеренная в неподвижной ИСО в направлении её движения, запишется:

(4.8)

где l ^/ – длина отрезка в подвижной системе отсчёта. Иначе говоря, длина отрезка (тела), измеренная в движущейся ИСО в направлении её движения l ^/, испытывает сокращение. Максимальной длиной тело обладает в системе отсчёта, в которой оно покоится.

Сделанный вывод относится к размерам тела лишь в направлении движения ИСО. В поперечном направлении размеры тела не изменяются, так что, например, объём куба при измерении в движущейся инерциальной системе отсчёта изменяется по закону

; (4.9)

здесь под корнем отношение V²/с² заменено постоянной b – бета, что упрощает запись и чаще встречается в литературе.

В заключение следует подчеркнуть, описанные выше эффекты не связаны с действием каких-либо сил. Они отражают лишь неинвариантность понятий промежутка времени и длины в мире событий.

4.5. Преобразования Лоренца

Завершая анализ свойств пространства и времени, будем исходить из твёрдо установленных на опыте фундаментальных принципов. Из них, в частности, следует, процедура синхронизации часов в произвольной инерциальной системе отсчёта (ИСО) может осуществляться светом, и при этом с > V, но необязательно с > > V.

Рис. 4.4. Пояснения к преобразованиям Лоренца

Снова обратимся к случаю, когда система S ^/ движется со скоростью V направо вдоль оси Х системы S (рис. 4.4). Координата события в • А

– это расстояние, измеренное от точки А до начала отсчёта движущейся ИСО S ^/ (верхняя пунктирная линия). То же расстояние, измеренное по отношению к неподвижной системе отсчёта S, запишется (см. рис. 4.4):

. (4.10)

Учитывая взаимосвязь длин отрезков в подвижной и в неподвижной системе отсчёта уравнения (4.8), может быть записано в виде:

. (4.11)

Приняв к сведению, что тождественно равно , на символическом языке (рис. 4.4), на основе выражений (4.10) и (4.11) немедленно получаем систему уравнений:

. (4.12)

Поскольку левые части системы уравнений (4.12) равны, после несложных преобразований пытливый читатель получает уравнение, отражающее взаимосвязь координат в движущейся (S ^/ ) и неподвижной (S) инерциальных систем отсчёта (ИСО):

; . 4.13)

Убедились? Теперь перейдём к получению взаимосвязи моментов времени произвольного события. Из формулы (4.6) время в движущейся системе отсчёта , умножив числитель и знаменатель на множитель , приходим к уравнению вида: . Здесь учтено, V× t – расстояние, пройденное движущейся ИСО S ^/ за время t. Если принять к сведению, что отношение V²/с² может быть заменено постоянной b – бета, приходим к взаимосвязи моментов времени произвольного события и релятивистскому закону сложения скоростей вида:

. . (4.14)

Такого рода соотношения (4.13) и (4.14) называются преобразованиями Лоренца. Впервые они были выполнены Лоренцем. Он обратил внимание на то, что после таких преобразований форма уравнений Максвелла в теории электромагнетизма не изменяется. Для Эйнштейна этот факт оказался решающим аргументом при формулировке принципа относительности и существования предельной скорости движения материальных объектов.

4.6. Пространственно-временной интервал
как объективная характеристика мира событий

Из преобразований Лоренца (4.13) и (4.14) следует, расстояние Dr и промежуток времени Dt сами по себе не пригодны для объективного описания пространственно-временных отношений между событиями в совокупности произвольно движущихся ИСО. Задача состоит в том, чтобы найти комбинацию из неинвариантных по отдельности величин Dr и Dt, которая не изменялась бы относительно всех ИСО.

Решая её, следует исходить лишь из твёрдо установленного факта неизменности скорости света в любых двух ИСО. А именно, рассмотрим относительно систем S и S ^/ два специфических события – испускание светового сигнала и последующий его приём. Из равенства с ^/ = с следует, что для таких событий с ^/ = Dr ^/ /Dt^/ = Dr/Dt = с. Это значит, что определённая комбинация из расстояния Dr и промежутка времени Dt

с²× (Dt ^/ )² – (Dr ^/ )² = с²× (Dt)² – (Dr)² = 0

остаётся здесь неизменной, хотя сами по себе расстояние (Dr ¹ Dr ^/ ) и промежуток времени (Dt ¹ Dt ^/ ) могут изменяться.

Переходя к рассмотрению пары произвольных событий, введём для них, по аналогии с приведённым примером, новую величину DI, называемую пространственно-временным интервалом между событиями или просто интервалом. По определению квадрат интервала запишется:

DI² = с²× Dt² – Dr² = с²× Dt² – Dx² – Dy² – Dz². (4.15)

Если в предыдущем примере он был равен нулю, то для произвольных событий он отличен от нуля. Однако, согласно преобразованиям Лоренца (4.13), (4.14) остаётся инвариантом, неизменным в любой ИСО:

DI ^/ º DI. (4.16)

Убедимся в этом. В системе S ^/

Dt ^/ = g× ; Dx ^/ = g× (Dx – V× Dt); Dy ^/ = Dy; Dz ^/ = Dz; здесь g = 1/ .

Тогда, с учётом (4.13) DI ^/ ² = с²× Dt ^/ ² – Dx ^/ ² – Dy ^/ ² – Dz ^/ ² =

= c²× g²× – g²× (Dx – V× Dt)² – Dy² – Dz² =

= c²× g²× – g²× – Dy² – Dz².

В последнем равенстве после раскрытия квадратных скобок слагаемые, с удвоенным произведением, сокращаются. Объединив члены с Dt² и Dx², получаем

DI ^/ ² = Dt²× g²× (с² – V²) – Dx²× g²× (1 – V²/с²) – Dy² – Dz² = с²× Dt² – Dx² – Dy² – Dz² = DI ²,

Здесь пытливый читатель должен увидеть, что произведение скобок с g² ведёт к 1.

Проведённые преобразования позволяют утверждать, что именно интервал DI, а не расстояние Dr и промежуток времени Dt по отдельности следует считать объективной характеристикой пространственно-временных отношений. Таким образом, «переворот, произведённый Эйнштейном во взглядах на пространство и время, вовсе не сводится к установлению взаимосвязей пространственных и временных отношений или относительности некоторых понятий. Заслуга Эйнштейна, скорее, в том, что вместо одних «очевидно» инвариантных величин (Dr и Dt) он ввёл другие инвариантные величины (DI), более пригодные для отражения объективных свойств мира событий, установления подлинного единства пространственных и временных отношений» [2].

Убедимся в том, что понятие интервала DI богаче понятия расстояния. Расстояния в пространстве либо всегда положительны, либо равны нулю: Dr ³ 0. В то же время в мире событий кроме DI ² < 0 – пространственноподобных интервалов, могут существовать интервалы с DI ² > 0, называемые времениподобными и с DI ² = 0 – светоподобными. Для пар событий, разделённых времениподобными интервалами с DI ² > 0, вместо интервала DI можно ввести более удобное понятие – собственное время движущегося объекта. Действительно, пусть в системе S с постоянной скоростью u движется частица с массой m ¹ 0. За промежуток времени Dt она сместится на расстояние Dr = u× Dt. Интервал DI между событиями, соответствующий началу и концу её движения, в системе S равен:

DI =

Перейдём в ССО (собственную или сопровождающую систему отсчёта) S ^/ = S_о, движущуюся относительно S с той же скоростью , что и сама частица. В ней скорость частицы , так что пространственно-временной интервал , где – промежуток времени между событиями по часам в ССО. Из инвариантности интервала следует инвариантность промежутка времени:

. (4.17)

Величину принято называть собственным временем частицы (и связанной с нею ССО).

В заключение параграфа заметим, несмотря на то, что хотя промежуток времени Dt между парой одних и тех же удалённых событий с DI ² > 0 относителен, понятия «раньше», «позже», «одновременно» для этой пары событий абсолютны. Они все, согласно (4.17), определяются инвариантной величиной . Иными словами, если > 0, то из двух событий второе происходит позже (Dt > 0), если < 0, то оно происходит раньше (Dt < 0), и, наконец, если = 0, то оба события одновременны (Dt = 0) во всех ИСО. Иначе говоря, для времениподобных интервалов знак времени не зависит от выбора ИСО.

⇐ Предыдущая 6 7 8 9 101112 13 14 15 Следующая ⇒