Определение корней трансцендентного уравнения методом половинного деления

Пусть корень уравнения отделен и находится на отрезке , то есть , причем (здесь - непрерывная функция).

Рис. 6

Возьмем на отрезке промежуточную точку так, чтобы она являлась серединой отрезка , то есть . В результате этой операции этот отрезок точкой разделяется на два равных отрезка: и , длина которых равна (рис. 6).

Если , то - точный корень уравнения . Если же , то из двух образовавшихся отрезков и выбираем тот, на концах которого функция принимает значения противоположных знаков; обозначим его . Затем отрезок также делим пополам и проводим те же рассуждения. Получаем отрезок , длина которого равна . Процесс деления отрезка пополам продолжаем до тех пор, пока на каком-то этапе либо середина отрезка будет корнем уравнения, либо будет получен отрезок такой, что и (число указывает на количество проведенных делений). Числа - корни уравнения с точностью до . За приближенное значение корня, как указывалось выше, следует взять , причем погрешность не превышает .

Пример 4.

Определить наименьший корень уравнения , точность расчета .

Решение.

Определим корни этого уравнения аналитически. Функция определена на всей числовой оси. Составим таблицу знаков функции.

Таблица 1

		-2	-1
	-	+	-	-	+	+

Из Таблицы 1 видно, что первый корень содержится в интервале . Возьмем для пробы и найдем .

Таблица 2

		-2	-1
	-	+	-	-	+

Следовательно, корни уравнения находятся в интервалах , , .

Уточним меньший корень, лежащий в интервале , методом деления отрезка пополам. Для удобства вычислений составим Таблицу 3 (знаки «-» и «+» в верхних индексах означают, что и ).

Таблица 3


1.	2.	3.	4.	5.	6.	7.
	-3	-2	-2, 5	-15, 625	18, 75	0, 125
	-3	-2, 5	-2, 75	-20, 8	22, 689	-1, 111
	-2, 75	-2, 5	-2, 625	-17, 99	20, 67	-, 32
	-2, 625	-2, 5	-2, 563	-16, 84	19, 701	-0, 139
1.	2.	3.	4.	5.	6.	7.
	-2, 563	-2, 5	-2, 532	-16, 23	19, 233	0, 003
	-2, 563	-2, 532	-2, 548	-16, 54	19, 479	-0, 071
	-2, 546	2, 532	-2, 54	-16, 39	19, 356	-0, 034
	-2, 540	2, 532	-2, 536	-16, 31	19, 293	-0, 014
	-2, 536	2, 532	-2, 534	-16, 27	19, 263	-0, 007
	-2, 534	2, 532	-2, 533	-16, 25	19, 248	-0, 002
	-2, 533	2, 532

Таким образом, корень уравнения .

Порядок выполнения расчетно-графической работы.

1. Проанализировать схему заданной рамы и выбрать основную систему метода перемещений. Внести такие изменения в заданную схему рамы, которые позволят оценить параметр критической нагрузки;

2. Произвести оценку параметра устойчивости, то есть найти диапазон его значений;

3. Записать уравнение устойчивости, приравняв определитель, составленный из коэффициентов канонических уравнений, нулю;

4. Решить уравнение устойчивости, определив наименьший его корень;

5. Определить критическое значение параметра нагрузки и величины критических сил;

6. Определить коэффициенты приведенной длины сжатых стержней;

7. Определить отношения перемещений при потере устойчивости и на схеме рамы показать приближенный вид формы потери устойчивости.

Примеры расчета рам на устойчивость.

Пример 5.

Схема рамы представлена на рис. 7, даны все размеры отношения жесткостей элементов, нагрузка однопараметрическая.

Требуется определить критическое значение параметра и критические силы , .

Рис. 7

1. Выбор основной системы метода перемещений.

Заданная расчетная схема дважды кинематически неопределима:

Основная система метода перемещений приведена на рис. 8.

Рис. 8

2. Уравнение устойчивости для основной системы имеет вид:

(4)

3. Для сжатых элементов рамы (В1, С2) определяют параметры продольных сил . Далее найденные значения приводят к одному параметру, например, , тогда параметр , где :

4. Для определения коэффициентов необходимо построить единичные эпюры изгибающих моментов. При этом необходимо отметить, что для сжатых стержней эпюры моментов криволинейные (см. Таблицу 1 Приложения), а в остальных стержнях моменты изменяются по линейному закону. Единичные эпюры приведены на рисунке 9.

5. Определение коэффициентов .

По эпюрам и статическим способом определяем коэффициенты канонических уравнений (рис.10).

Рис. 9

Рис. 10

Чтобы решить полученное трансцендентное уравнение необходимо, в первую очередь, получить какое-либо приближенное значение корня или диапазон его существования. Поэтому необходимо выполнить оценку критического параметра сверху и снизу.

Для оценки сверху критического параметра вводим в заданную систему (рис. 7) дополнительную горизонтальную связь, которая ликвидирует горизонтальное перемещение ригеля (рис. 11). Полученная расчетная схема становится более жесткой, устойчивость выше.

Для полученной схемы (рис. 11) степень кинематической неопределимости равна единице ( ). Система канонических уравнений принимает вид:

Рис. 11

Единичная эпюра изгибающих моментов приведена на рис. 12.

Рассмотрев равновесие узла, получаем:

Уравнение устойчивости:

или

Рис. 12

Согласно таблице № 2 Приложения определяем приближенное значение параметра устойчивости

Оценка снизу. Параметр устойчивости определяется для рамы, полученной из заданной схемы при помощи удаления одной из связей. Для этого в левом верхнем узле рамы вводим шарнир (рис. 13).

Рис. 13

Задача решается методом перемещений. Степень кинематической неопределимости равна единице ( ). Основная система метода перемещений и единичная эпюра изгибающих моментов приведены на рис. 14.

Уравнение устойчивости принимает вид:

Рис.14.

Статическим методом определяем :

а уравнение устойчивости: .

Согласно таблице № 2 Приложения определяем второе приближенное значение параметра устойчивости:

Таким образом, параметр устойчивости для уравнения (5) заключается в пределах:

Из диапазона величин, полученных при оценке, задаемся несколькими значениями аргумента (например ), вычисляем значения функции , т.е. левой части уравнения (5), и строим график этой функции. Пересечение кривой с осью абцисс дает приближенное значения корней. Дальнейшие вычисления функции удобно свести к табличной форме.

№			2, 1	2, 2
	0, 859	0, 656	0, 8437	0, 8273
	0, 598	0, 0893	0, 5565	0, 51
	-1, 4743	-5, 2895	-1, 738	-2, 01
	0, 9313	0, 8393	0, 924	0, 9164
	0, 8673	0, 7044	0, 8538	0, 8398
	16, 583	-98, 014	6, 8574	-3, 068

Значения функции в 1, 2, 3, 4 строках в таблицы берутся из таблицы 2 приближения в Приложении. По данным 6-той строки строим график функций (рис. 15).

Рис. 15

Корень уравнения устойчивости (5) , а соответствующее значение параметра нагрузки:

Коэффициент приведенной длины первого стержня определяется по формуле:

для второго стержня:

Форму потери устойчивости вычислим из соотношения, которое получается:

Форма потери устойчивости системы показана на рис. 16.

Рис. 16

Пример 2. Схема рамы представлена рис. 17, даны её размеры отношение жесткостей элементов , нагрузка однопараметрическая, коэффициенты пропорциональности нагрузки .

Дано:

Рис. 17

1. Выбор основной системы метода перемещений.

Заданная расчетная схема дважды кинематически неопределима:

Основная система метода перемещений приведена на рис. 18.

Рис. 18

2. Уравнение устойчивости для основной системы имеет вид (4):

3. Для сжатых элементов рамы определяют параметры продольных сил , и эти параметры выражаются через один параметр по формуле:

4. Определение коэффициентов уравнения (4) производится статическим методом, используя единичные эпюры изгибающих моментов. При этом необходимо отметить, что для сжатых стержней эпюры моментов (рис. 19а, б).

Рис. 19

5. Уравнение устойчивости в развернутом виде имеет вид:

(6)

Для решения полученного трансцендентного уравнения устойчивости необходимо определить приближенное значение , чтобы сузить его поиск. Поэтому необходимо в первую очередь оценить параметр сверху.

6. Оценка сверху критического параметра . В заданную схему (рис. 17) вводим дополнительную горизонтальную связь, которая ликвидирует горизонтальное перемещение ригеля. Основная система метода перемещений приведена на рис. 20, а единичная эпюра моментов – на рис. 21.

Рис. 20

Уравнение устойчивости имеет вид:

Рис. 21

Рассмотрев равновесие узла 2, получаем:

или .

Согласно Таблице 2 Приложения приближенное значение параметра устойчивости .

7. Оценка критического параметра снизу. В заданную расчетную схему (рис. 17) вводим в левый верхний узел шарнир, то есть раскрепощаем систему. Основная система метода перемещений приведена на рис. 22.

Рис. 22

Уравнение устойчивости имеет вид:

Из условия равновесия ригеля получим выражение для , используя единичную эпюру изгибающих моментов (рис. 23):

Рис. 23

или после преобразований: .

Согласно Таблице 2 Приложения приближенное значение параметра устойчивости .

Таким образом, параметр устойчивости для заданной схемы находится в пределах:

Вернемся к решению задачи. Статическим методом уже были определены коэффициенты канонического уравнения (6), которое в развернутой записи имеет вид:

Из диапазона величин, полученных при оценке параметра снизу и сверху, задаемся несколькими значениями аргумента (например, ), вычисляем значения функции , т.е. левой части уравнения, и строим график этой функции (рис. 24). Пересечение кривой с осью абцисс дает приближенной значение корней. Наименьший корень расположен между значениями аргументов 2 и 3, ближе к значению 2. Второй, больший корень – немного больше 5. Для уточнения значения корня вычислим функцию при . Вычисления нужно производить с большой точностью. Расчёты удобно вести при помощи микрокалькулятора, позволяющего вычислять тригонометрические функции при .

Рис. 24.

Таким образом, наименьший корень лежит в пределах где

Значение корня уточняем при помощи линейной интерполяции (рис 24, б)

1-приближение

Вычисляем значение при полученном в первом приближении значения корня . Теперь установлено, что наименьший корень лежит в пределах , где , .

2 –приближение

Полученное значение корня можно принять как определенное с точностью до трех значащих цифр.

Соответствующее значение параметра нагрузки:

Критические значения сил:

Для данной задачи физически возможна потеря устойчивости средней стойки при , т.е. одна из форм потери устойчивости основной системы и заданной совпадают.

Поэтому нужно вычислить отдельно критическую силу средней стойки. Для нее, как для стержня с двумя шарнирными опорами, эйлерова критическая сила:

Она значительно превышает найденное значение . Таким образом, окончательно критическое значение всей рамы в целом определяется найденным выше значением параметра .

Коэффициент приведенной длины первого стержня определим по формуле , а других стержней

В данном примере имеем:

Вычисляем отношение перемещений (форму потери устойчивости):

отсюда

Соответствующая форма потери устойчивости показана на рис. 25.

Рис. 25

Пример 7. (сокращенный: производится лишь оценка параметра устойчивости). Схема рамы приведена на рис.26. Размеры , , , коэффициенты пропорциональности , , коэффициенты пропорциональности изгибных жесткостей стоек и ригеля ,

Рис. 26

Для данной схемы имеем:

Постановкой шарнира С (рис. 27) разбиваем раму на две части для которых параметр устойчивости определяем в отдельности.

Рис. 27

Для этого в соответствии с методом перемещений в жестких узлах:

отсюда

Таким образом, критический параметр устойчивости заданной рамы лежит в пределах

Значение параметра критической нагрузки для заданной рамы, полученное из решения полного уравнения устойчивости (т.е. для дважды кинематически неопределимой системы)

Пример 8. Требуется определить критическую силу и расчетную длину сжатой стойки в раме с абсолютно жестким ригелем (рис. 28, а).

Относительные жесткости стержней рамы, приведенные к единичному множителю:

- левая стойка: ;

- правая стойка: .

Решение.

1. Рама обладает линейной подвижностью ригеля, узлы которого не способны к повороту. Следовательно, .

Рис. 28

2. Уравнение устойчивости на основании, будет иметь вид:

3. Основная система получена при помощи введения одной линейной связи (рис. 28, б).

4. Зададим введенной дополнительной связи принудительное единичное смещение. Деформационная схема основной системы от этого смещения приведена на рис. 29, а. Строим единичную эпюру моментов (рис. 29, б).