Расчет стержневых систем на устойчивость методом перемещений

Строительный институт

Кафедра строительной механики

Расчет стержневых систем на устойчивость методом перемещений

Учебно-методическое пособие для выполнения расчетно-графической работы по Строительной механике для студентов, обучающихся по направлению 08.03.01 Строительство, профилю Промышленное и гражданское строительство, по специальности 271101.65 Строительство уникальных зданий и сооружений очной формы обучения

Составители В.Г. Соколов, доктор технических наук, А.В. Березнев, кандидат технических наук, Ю. В. Огороднова,

Кандидат технических наук, доцент, И.О. Разов, кандидат технических наук

Тюмень

ТИУ

2017

Расчет стержневых систем на устойчивость методом перемещений: учебно-методическое пособие для выполнения расчетно-графической работы для студентов, обучающихся по направлению 08.03.01 Строительство, профилю Промышленное и гражданское строительство, по специальности 271101.65 Строительство уникальных зданий и сооружений очной формы обучения / сост. Соколов В.Г., Березнев А.В., Огороднова Ю.В., Разов И.О.; Тюменский индустриальный университет. – 1-е изд. – Тюмень: Издательский центр БИК, ТИУ, 2017. – 60с.

Методические указания рассмотрены и рекомендованы к изданию
на заседании цикловой комиссии отделения информационных технологий и вычислительной техники

«16» сентября 2015 года, протокол № 1

Аннотация

Учебно-методическое пособие разработано на основании рабочих программ ФГБОУ ВО «Тюменский индустриальный университет» дисциплины строительная механика для студентов строительных специальностей и направлений. Предлагаемое пособие способствует развитию у студентов как общекультурных, так и профессиональных компетенций. В пособии рассматриваются теоретические вопросы устойчивости систем с конечным и бесконечным числом степеней свободы. Определение критических сил для плоских рам методом перемещений, как известно, связано с преодолением весьма больших трудностей, главнейшие из которых связаны с решением трансцендентных уравнений устойчивости. В учебном пособии рассмотрены примеры решения задач по определению критических сил на основе таких уравнений. С целью закрепления изученного материала в пособии приведены контрольные вопросы, задания для выполнения расчетно-графической работы, тестовые задачи.

Учебно-методическое пособие рекомендовано студентам в помощь при написании дипломных работ, а также начинающим преподавателям при подготовке к практическим занятиям по данному разделу.

СОДЕРЖАНИЕ

	ВВЕДЕНИЕ
1.	Расчет стержневых систем с конечным числом степеней свободы на устойчивость
2.	Применение метода перемещений к расчету на устойчивость плоских рам
2.1.	Основные допущения при расчете рам
2.2.	Выбор основной системы
2.3.	Определение корней трансцендентного уравнения методом половинного деления
2.4.	Порядок выполнения расчетно-графической работы
3.	Примеры расчета рам на устойчивость
	Приложение
	Контрольные вопросы
	Тестовые задачи

ВВЕДЕНИЕ

Стержневые системы, применяемые в качестве строительных конструкций, в предыдущих разделах курса строительной механики рассчитывались в основном на статическую нагрузку и рассматривались с точки зрения вопросов прочности и жесткости. При этом в ходе исследования вопросов прочности и жесткости мы специально исходили из предположения, что обнаруживаемое в расчете единственное положение равновесия сооружения является близким к реальным условиям.

Вместе с тем хорошо известно, что одного положения равновесия при анализе несущей способности далеко не достаточно, так как любой расчет связан с идеализацией конструкции, ее изготовления и эксплуатации. Инженерные объекты помимо нагрузок, учитываемых в расчетах, всегда подвергаются дополнительным малым возмущениям, стремящимся вывести их из расчетного состояния равновесия.

Таким образом, суть расчета на устойчивость заключается в проверке всех этих условий. Строительные конструкции должны находиться в состоянии устойчивого равновесия. Это означает, что если какие-либо случайные причины выведут систему из состояния равновесия, то после удаления этих причин она вернется в первоначальное состояние. Если же малым возмущениям будут отвечать большие отклонения системы, ее состояние будет неустойчивым.

Нагрузка, при которой устойчивое состояние переходит в неустойчивое называется критической. В дальнейшем основной целью расчета на устойчивость будет определение критической нагрузки (силы, параметра критической силы).

Постановка задач устойчивости прямолинейных стержней зависит от степени свободы расчетной схемы. В данном случае под степенью свободы будем понимать число независимых параметров , полностью определяющих возможные перемещения всех точек расчетной схемы. Например, устойчивость стержней очень большой жесткости ( ) определяется податливостью опорных связей. Рассмотрим несколько примеров, приведенных на рис. 1.

На рис. 1, а степень свободы стержня , так как его положение определяется одним параметром – углом поворота a вокруг нижней неподвижной опоры. Степень свободы стойки, состоящей из двух звеньев (рис. 1, б) , так как положение двух звеньев определяется при помощи двух угловых параметров и . Для реальных упругих систем (рис. 1, в) степень свободы , так как для полной деформированной схемы необходимо знать перемещения бесконечного множества точек.

Критическую силу расчетных схем, состоящих из стержней с жесткостью находят, составляя уравнения равновесия для предполагаемой формы потери устойчивости.

Рис. 1

Далее рассмотрим конкретные задачи.

Выбор основной системы

Выбор основной системы при расчете рамы на устойчивость ничем не отличается от выбора основной системы при статическом расчете рам методом перемещений.

Составим канонические уравнения метода перемещений. Их особенностью при узловой нагрузке будет отсутствие всех свободных членов

((1)

Канонические уравнения метода перемещений являются системой однородных алгебраических уравнений статического равновесия системы с числом степеней свободы, равным числу неизвестных перемещений.

Система этих уравнений удовлетворится в двух случаях:

1. Все неизвестные метода перемещений равны нулю . Это соответствует отсутствию изгиба стержней рамы, то есть рама находится в устойчивом положении.

2. Неизвестные перемещения отличны нуля ( ).

Условия ненулевого решения, то есть отклоненного смежного состояния рамы при потере устойчивости, согласно статическому методу определения критической силы заключается в равенстве нулю определителя системы канонических уравнений метода перемещений:

((2)

Коэффициенты системы (1) зависят от продольных усилий в стержнях рамы. Поэтому условие (2) является уравнением устойчивости: из него можно найти значение критической нагрузки рамы.

Коэффициенты определителя (2) определяются из основной системы метода перемещений, как реакции по -му направлению от с учетом продольно- поперечного изгиба сжатых стержней по формулам табл.1. Применяя в качестве основного параметра для одного из стержней . Поскольку все силы пропорциональны , то каждый стержень можно характеризовать параметром , линейно выражающимся через - числовой коэффициент, не зависящий от .

Таким образом, элемент определителя (2) являются функциями одного параметра и в дальнейшем это позволяет исследовать, как зависят решения системы однородных уравнений (1) от этого параметра .

Кроме того, необходимо обратить особое внимание на то, что поправочные функции и вводятся только для сжатых стержней.

Для стержней, в которых в основной системе отсутствуют сжимающие силы, поправочных множителей вводить не следует. В отличие от расчета на прочность в табл.1 приводится случай шарнирного описания стержня, в котором при наличии сжимающей силы при относительном смещении концов возникает поперечная сила. Отметим, что поперечные силы во всех случаях отнесены к первоначальным состояниям стержней, то есть к недеформированному состоянию.

Подстановка в уравнение (2) выражений коэффициентов, от параметра , и раскрытие определителя позволяют получить уравнение устойчивости:

((3)

Это уравнение трансцендентное, сложное для решения. Поэтому желательно получить какое-то либо приближенное значение корня или диапазон его существования.

Варианты оценки параметра .

Вариант №1.

Для оценки критического значения параметра нагрузки необходимо предварительно рассчитать на устойчивость две рамы. Одна рама получается из заданной схемы при помощи введения дополнительной связи. Дополнительную связь необходимо вводить таким образом, чтобы число неизвестных метода перемещений уменьшилась, а полученная новая расчетная схема была более жесткой, а устойчивость ее выше. Решая эту задачу, можно оценить значение критического параметра продольной силы сверху - . Вторая расчетная схема получается при помощи понижения степени статической неопределимости. Полученная вторая схема должна быть менее жесткой, менее устойчивой, значение критического параметра продольной силы также будет меньше. Таким образом, решая дополнительно две задачи, возможно провести оценку параметра на устойчивость сверху ( ) и снизу ( ), а искомый параметр для заданной схемы будет находиться в интервале .

Вариант № 2.

Заданную схему можно разбить на две схемы при помощи введения шарнира таким образом, чтобы одна рама была более, а вторая менее жесткой. Решая по отдельности каждую раму, получим два значения критического параметра и , а искомый параметр для заданной схемы будет находиться в интервале . Этот прием особенно удобен в том случае, когда заданная рама дважды кинематически неопределима.

Форму потери устойчивости можно установить следующим образом. В систему (1) подставить найденное значение корня тогда очевидно, определитель, составленный из коэффициентов этой системы, равен нулю, а система (1) имеет бесконечное число решений и не является линейно независимой, то есть одно из решений уравнений может быть получено как линейная комбинация других уравнений. Если же одному из неизвестных, например , придать какое-либо значение (наиболее удобно принять ) то используя уравнений системы (1), можно получить остальные неизвестные . Это аналогично определению отношений , которые и характеризуют форму потери устойчивости.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Что называется потерей устойчивости?

2. Что называется критической силой?

3. Сформулируйте статический критерий устойчивости.

4. Какое дифференциальное уравнение из теории изгиба лежит в основе вывода формулы Эйлера?

5. Запишите каноническое уравнение метода перемещений.

6. Какие формы потери устойчивости возможны в симметричных рамах?

7. Поясните смысл расчета по деформированной схеме.

Примеры расчета рам на устойчивость.

Пример 5.

Схема рамы представлена на рис. 7, даны все размеры отношения жесткостей элементов, нагрузка однопараметрическая.

Требуется определить критическое значение параметра и критические силы , .

Рис. 7

1. Выбор основной системы метода перемещений.

Заданная расчетная схема дважды кинематически неопределима:

Основная система метода перемещений приведена на рис. 8.

Рис. 8

2. Уравнение устойчивости для основной системы имеет вид:

(4)

3. Для сжатых элементов рамы (В1, С2) определяют параметры продольных сил . Далее найденные значения приводят к одному параметру, например, , тогда параметр , где :

4. Для определения коэффициентов необходимо построить единичные эпюры изгибающих моментов. При этом необходимо отметить, что для сжатых стержней эпюры моментов криволинейные (см. Таблицу 1 Приложения), а в остальных стержнях моменты изменяются по линейному закону. Единичные эпюры приведены на рисунке 9.

5. Определение коэффициентов .

По эпюрам и статическим способом определяем коэффициенты канонических уравнений (рис.10).

Рис. 9

Рис. 10

Чтобы решить полученное трансцендентное уравнение необходимо, в первую очередь, получить какое-либо приближенное значение корня или диапазон его существования. Поэтому необходимо выполнить оценку критического параметра сверху и снизу.

Для оценки сверху критического параметра вводим в заданную систему (рис. 7) дополнительную горизонтальную связь, которая ликвидирует горизонтальное перемещение ригеля (рис. 11). Полученная расчетная схема становится более жесткой, устойчивость выше.

Для полученной схемы (рис. 11) степень кинематической неопределимости равна единице ( ). Система канонических уравнений принимает вид:

Рис. 11

Единичная эпюра изгибающих моментов приведена на рис. 12.

Рассмотрев равновесие узла, получаем:

Уравнение устойчивости:

или

Рис. 12

Согласно таблице № 2 Приложения определяем приближенное значение параметра устойчивости

Оценка снизу. Параметр устойчивости определяется для рамы, полученной из заданной схемы при помощи удаления одной из связей. Для этого в левом верхнем узле рамы вводим шарнир (рис. 13).

Рис. 13

Задача решается методом перемещений. Степень кинематической неопределимости равна единице ( ). Основная система метода перемещений и единичная эпюра изгибающих моментов приведены на рис. 14.

Уравнение устойчивости принимает вид:

Рис.14.

Статическим методом определяем :

а уравнение устойчивости: .

Согласно таблице № 2 Приложения определяем второе приближенное значение параметра устойчивости:

Таким образом, параметр устойчивости для уравнения (5) заключается в пределах:

Из диапазона величин, полученных при оценке, задаемся несколькими значениями аргумента (например ), вычисляем значения функции , т.е. левой части уравнения (5), и строим график этой функции. Пересечение кривой с осью абцисс дает приближенное значения корней. Дальнейшие вычисления функции удобно свести к табличной форме.

№			2, 1	2, 2
	0, 859	0, 656	0, 8437	0, 8273
	0, 598	0, 0893	0, 5565	0, 51
	-1, 4743	-5, 2895	-1, 738	-2, 01
	0, 9313	0, 8393	0, 924	0, 9164
	0, 8673	0, 7044	0, 8538	0, 8398
	16, 583	-98, 014	6, 8574	-3, 068

Значения функции в 1, 2, 3, 4 строках в таблицы берутся из таблицы 2 приближения в Приложении. По данным 6-той строки строим график функций (рис. 15).

Рис. 15

Корень уравнения устойчивости (5) , а соответствующее значение параметра нагрузки:

Коэффициент приведенной длины первого стержня определяется по формуле:

для второго стержня:

Форму потери устойчивости вычислим из соотношения, которое получается:

Форма потери устойчивости системы показана на рис. 16.

Рис. 16

Пример 2. Схема рамы представлена рис. 17, даны её размеры отношение жесткостей элементов , нагрузка однопараметрическая, коэффициенты пропорциональности нагрузки .

Дано:

Рис. 17

1. Выбор основной системы метода перемещений.

Заданная расчетная схема дважды кинематически неопределима:

Основная система метода перемещений приведена на рис. 18.

Рис. 18

2. Уравнение устойчивости для основной системы имеет вид (4):

3. Для сжатых элементов рамы определяют параметры продольных сил , и эти параметры выражаются через один параметр по формуле:

4. Определение коэффициентов уравнения (4) производится статическим методом, используя единичные эпюры изгибающих моментов. При этом необходимо отметить, что для сжатых стержней эпюры моментов (рис. 19а, б).

Рис. 19

5. Уравнение устойчивости в развернутом виде имеет вид:

(6)

Для решения полученного трансцендентного уравнения устойчивости необходимо определить приближенное значение , чтобы сузить его поиск. Поэтому необходимо в первую очередь оценить параметр сверху.

6. Оценка сверху критического параметра . В заданную схему (рис. 17) вводим дополнительную горизонтальную связь, которая ликвидирует горизонтальное перемещение ригеля. Основная система метода перемещений приведена на рис. 20, а единичная эпюра моментов – на рис. 21.

Рис. 20

Уравнение устойчивости имеет вид:

Рис. 21

Рассмотрев равновесие узла 2, получаем:

или .

Согласно Таблице 2 Приложения приближенное значение параметра устойчивости .

7. Оценка критического параметра снизу. В заданную расчетную схему (рис. 17) вводим в левый верхний узел шарнир, то есть раскрепощаем систему. Основная система метода перемещений приведена на рис. 22.

Рис. 22

Уравнение устойчивости имеет вид:

Из условия равновесия ригеля получим выражение для , используя единичную эпюру изгибающих моментов (рис. 23):

Рис. 23

или после преобразований: .

Согласно Таблице 2 Приложения приближенное значение параметра устойчивости .

Таким образом, параметр устойчивости для заданной схемы находится в пределах:

Вернемся к решению задачи. Статическим методом уже были определены коэффициенты канонического уравнения (6), которое в развернутой записи имеет вид:

Из диапазона величин, полученных при оценке параметра снизу и сверху, задаемся несколькими значениями аргумента (например, ), вычисляем значения функции , т.е. левой части уравнения, и строим график этой функции (рис. 24). Пересечение кривой с осью абцисс дает приближенной значение корней. Наименьший корень расположен между значениями аргументов 2 и 3, ближе к значению 2. Второй, больший корень – немного больше 5. Для уточнения значения корня вычислим функцию при . Вычисления нужно производить с большой точностью. Расчёты удобно вести при помощи микрокалькулятора, позволяющего вычислять тригонометрические функции при .

Рис. 24.

Таким образом, наименьший корень лежит в пределах где

Значение корня уточняем при помощи линейной интерполяции (рис 24, б)

1-приближение

Вычисляем значение при полученном в первом приближении значения корня . Теперь установлено, что наименьший корень лежит в пределах , где , .

2 –приближение

Полученное значение корня можно принять как определенное с точностью до трех значащих цифр.

Соответствующее значение параметра нагрузки:

Критические значения сил:

Для данной задачи физически возможна потеря устойчивости средней стойки при , т.е. одна из форм потери устойчивости основной системы и заданной совпадают.

Поэтому нужно вычислить отдельно критическую силу средней стойки. Для нее, как для стержня с двумя шарнирными опорами, эйлерова критическая сила:

Она значительно превышает найденное значение . Таким образом, окончательно критическое значение всей рамы в целом определяется найденным выше значением параметра .

Коэффициент приведенной длины первого стержня определим по формуле , а других стержней

В данном примере имеем:

Вычисляем отношение перемещений (форму потери устойчивости):

отсюда

Соответствующая форма потери устойчивости показана на рис. 25.

Рис. 25

Пример 7. (сокращенный: производится лишь оценка параметра устойчивости). Схема рамы приведена на рис.26. Размеры , , , коэффициенты пропорциональности , , коэффициенты пропорциональности изгибных жесткостей стоек и ригеля ,

Рис. 26

Для данной схемы имеем:

Постановкой шарнира С (рис. 27) разбиваем раму на две части для которых параметр устойчивости определяем в отдельности.

Рис. 27

Для этого в соответствии с методом перемещений в жестких узлах:

отсюда

Таким образом, критический параметр устойчивости заданной рамы лежит в пределах

Значение параметра критической нагрузки для заданной рамы, полученное из решения полного уравнения устойчивости (т.е. для дважды кинематически неопределимой системы)

Пример 8. Требуется определить критическую силу и расчетную длину сжатой стойки в раме с абсолютно жестким ригелем (рис. 28, а).

Относительные жесткости стержней рамы, приведенные к единичному множителю:

- левая стойка: ;

- правая стойка: .

Решение.

1. Рама обладает линейной подвижностью ригеля, узлы которого не способны к повороту. Следовательно, .

Рис. 28

2. Уравнение устойчивости на основании, будет иметь вид:

3. Основная система получена при помощи введения одной линейной связи (рис. 28, б).

4. Зададим введенной дополнительной связи принудительное единичное смещение. Деформационная схема основной системы от этого смещения приведена на рис. 29, а. Строим единичную эпюру моментов (рис. 29, б).